Subiectul BAC Mate-info 2025 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $3(4 - 5i) + 5i(3 + 2i) = 2$, unde $i^2 = -1$.

2. (5p) Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 4$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = 2x + a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $(g \circ f)(1) = 1$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(6x - x^2) = \log_2(4 + x)$.

4. (5p) Se consideră mulțimea $A = \{3, 4, 5, 7, 9\}$. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$ și $B(6,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB}$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 4$ și raza cercului circumscris egală cu $4$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8\sqrt{3}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 2a \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} ax + y + 2az = a + 1 \\ ax + y = 0 \\ x + y - az = -1 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(2)) = 4$.
• b) (5p) Pentru $a = 1$, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.
• c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția unică $(x_0, y_0, z_0)$ și $x_0 = a$.

2. Se consideră polinomul $f = X^4 - 3X^3 + X^2 - 2X + m$, unde $m$ este număr real.

• a) (5p) Pentru $m = 3$, arătați că $f(1) = 0$.
• b) (5p) Determinați numerele reale $m$ pentru care $(x_1 x_2 x_3 x_4)^2 - x_1 - x_2 - x_3 - x_4 = 1$, unde $x_1$, $x_2$, $x_3$ și $x_4$ sunt rădăcinile polinomului $f$.
• c) (5p) Pentru $m = 0$, determinați numerele reale $a$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X - a$ este egal cu $a$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2 + 6}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{x(x^2 - 4)}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$, $x \in \mathbb{R}$.
• b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$, situat pe graficul funcției $f$.
• c) (5p) Arătați că $f(7x) - f(x) \le 2\sqrt{2}$, pentru orice $x \in [0,1]$.

2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x^2 - 1 + e^{2x}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^3 \left(f(x) - e^{2x}\right)\,dx = 24$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 4x\left(f(x) - 3x^2 + 1\right)\,dx = e^2 + 1$.
• c) (5p) Demonstrați că $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x \frac{f(t)}{t + 1}\,dt = 1$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_S2_M_mate-info_Subiect_09_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.