Subiectul BAC Mate-info 2025 · Rezerva Iunie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $2(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 4$.

2. (5p) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - 4$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(2 + m) = 2 - m$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $8^x \cdot 2^{1-x} = 2^7$.

4. (5p) Se consideră mulțimea $A = \{1,2,3,4,5,6\}$. Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea $A$, sunt divizibile cu $5$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(2,0)$ și $C(4,6)$. Determinați ecuația dreptei $d$ ce trece prin punctul $A$ și este paralelă cu dreapta $BC$.

6. (5p) Se consideră expresia $E(x) = \operatorname{tg} x \cdot \left(\cos\dfrac{3x}{4}\right)^2 - \cos\dfrac{x}{2}$, unde $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 0$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} ax + y - 2z = 4 \\ ay + z = 1 \\ 2x + 4y + z = 4 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1)) = 3$.
• b) (5p) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real $a$.
• c) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care soluția $(x_0, y_0, z_0)$ a sistemului de ecuații verifică inegalitatea $y_0 \geq 1$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = 4 - \dfrac{1}{2}(x - 4)(y - 4)$.

• a) (5p) Arătați că $6 * 7 = 1$.
• b) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $x * (x + 4) = 6$.
• c) (5p) Determinați tripletele $(m, n, p)$ de numere naturale, cu $m < n < p$, pentru care $m * n * p = 3$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (x - 5)\sqrt{x^2 + 2}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{2x^2 - 5x + 2}{\sqrt{x^2 + 2}}$, $x \in \mathbb{R}$.
• b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.
• c) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x^2 - 5x}{f(x)}\right)^x = 1$.

2. Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 8x^3 + 1 + \ln^2 x$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \ln^2 x\right)\,dx = 31$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x) - 8x^3 - 1}{x}\,dx = \dfrac{1}{3}$.
• c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n = \displaystyle\int_1^{e^2} \dfrac{x(\ln x)^n}{f(x) - 8x^3}\,dx$. Demonstrați că $I_{n+2} + I_n \leq 2^{n-1}(e^4 - 1)$, pentru orice număr natural nenul $n$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_S1R_M_mate-info_Subiect_05_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.