Subiectul BAC Mate-info 2024 · Simulare / model

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $2(1 - 2i) + i(4 + i) = 1$, unde $i^2 = -1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + ax - a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(3,-3)$ aparține graficului funcției $f$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(x^2 + 8) = \log_2(8 - 2x)$.

4. (5p) Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

5. (5p) În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$ și $B(4,0)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$.

6. (5p) Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$, cu $AB = 5$, $C = \dfrac{\pi}{4}$ și înălțimea $AD = 4$. Arătați că $BC = 7$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad A(a) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a & -1 & a \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},$ unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1)) = 1$.
• b) (5p) Arătați că $A(a) \cdot A(b) = A(a) - A(b) + I_3$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.
• c) (5p) Determinați matricea $X \in M_3(\mathbb{R})$ pentru care $A(1) \cdot X \cdot A(0) = I_3$.

2. Pe mulțimea $M = [3,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x \circ y = m(x - 3)(y - 3) + 3$, unde $m \in (0,+\infty)$.

• a) (5p) Arătați că $3 \circ 5 = 3$, pentru orice $m \in (0,+\infty)$.
• b) (5p) Pentru $m = 2$, arătați că $e = \dfrac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.
• c) (5p) Se consideră funcția $f: M \to M$, $f(x) = 3 + \sqrt{x - 3}$. Pentru $m = 1$, arătați că $f(x \circ y) = f(x) \circ f(y)$, pentru orice $x, y \in M$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: (1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - \dfrac{e^{-x}}{x - 1}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{(x - 1)^2 + xe^{-x}}{(x - 1)^2}$, $x \in (1,+\infty)$.
• b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.
• c) (5p) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x}{(x^2 + 1)^2}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^3 f(x)(x^2 + 1)^2\,dx = 4$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \dfrac{1}{4}$.
• c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \sqrt{x f(x)}\,dx$. Arătați că $I_n - I_{n+4} = \dfrac{2}{(n + 2)(n + 4)}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

---

Sursă PDF: 2024_E_c_Matematica_SM_M_mate-info_Model_Subiect_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.