Soluții BAC Mate-info 2024 · Simulare / model

SUBIECTUL I

1. Avem:

$$2(1-2i)+i(4+i)=2-4i+4i+i^2=2+i^2.$$

Cum $i^2=-1$, rezultă

$$2+i^2=2-1=1.$$

Deci $2(1-2i)+i(4+i)=1$.

2. Punctul $A(3,-3)$ aparține graficului funcției dacă și numai dacă $f(3)=-3$.

Calculăm:

$$f(3)=3^2+3a-a=9+2a.$$

Prin urmare:

$$9+2a=-3 \Longleftrightarrow 2a=-12 \Longleftrightarrow a=-6.$$

Răspuns:

$$\boxed{a=-6}.$$

3. Condiția de existență este:

$$x^2+8>0,\qquad 8-2x>0.$$

Prima inegalitate este adevărată pentru orice $x\in\mathbb{R}$, iar a doua dă $x<4$.

Deoarece funcția logaritmică de bază $2$ este injectivă, ecuația devine:

$$x^2+8=8-2x.$$

Rezultă:

$$x^2+2x=0 \Longleftrightarrow x(x+2)=0,$$

de unde

$$x=0 \quad \text{sau} \quad x=-2.$$

Ambele valori verifică $x<4$. Soluția este:

$$\boxed{\{-2,0\}}.$$

4. Cifra zecilor trebuie să fie pară și să aparțină mulțimii

$$A=\{1,2,3,4,5\}.$$

Astfel, cifra zecilor poate fi $2$ sau $4$, deci avem $2$ alegeri.

Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților poate fi aleasă dintre celelalte $4$ cifre, deoarece cifrele trebuie să fie distincte.

Numărul total de numere este:

$$2\cdot 4=8.$$

Răspuns:

$$\boxed{8}.$$

5. Avem:

$$\overrightarrow{OA}=(0,3),\qquad \overrightarrow{OB}=(4,0).$$

Atunci:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(0,3)+(4,0)=(4,3).$$

Cum $\overrightarrow{OC}=(4,3)$, rezultă:

$$\boxed{C(4,3)}.$$

6. Fie $D$ piciorul înălțimii din $A$ pe dreapta $BC$. Triunghiul este ascuțitunghic, deci $D$ aparține segmentului $BC$.

În triunghiul dreptunghic $ABD$, avem $AB=5$ și $AD=4$, deci:

$$BD^2=AB^2-AD^2=5^2-4^2=25-16=9,$$

de unde

$$BD=3.$$

În triunghiul dreptunghic $ACD$, unghiul de la $C$ este $\frac{\pi}{4}$. Atunci:

$$\tan C=\frac{AD}{CD}.$$

Cum $\tan \frac{\pi}{4}=1$, rezultă:

$$1=\frac{4}{CD}\Longleftrightarrow CD=4.$$

Prin urmare:

$$BC=BD+DC=3+4=7.$$

Deci

$$\boxed{BC=7}.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$A(a)= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ a&-1&a\\ 1&0&0 \end{pmatrix}.$$

a) Pentru $a=1$,

$$A(1)= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 1&-1&1\\ 1&0&0 \end{pmatrix}.$$

Dezvoltăm determinantul după prima linie:

$$\det(A(1))= 1\cdot \begin{vmatrix} 1&-1\\ 1&0 \end{vmatrix} =1\cdot(1\cdot 0-(-1)\cdot 1)=1.$$

Deci

$$\boxed{\det(A(1))=1}.$$

b) Calculăm produsul:

$$A(a)A(b)= \begin{pmatrix} 0&0&1\\ a&-1&a\\ 1&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&0&1\\ b&-1&b\\ 1&0&0 \end{pmatrix}.$$

Rezultă:

$$A(a)A(b)= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ a-b&1&a-b\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Pe de altă parte,

$$A(a)-A(b)+I_3= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ a-b&0&a-b\\ 0&0&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ a-b&1&a-b\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Prin urmare:

$$\boxed{A(a)A(b)=A(a)-A(b)+I_3}$$

pentru orice $a,b\in\mathbb{R}$.

c) Din relația demonstrată la punctul b), pentru $a=b$, obținem:

$$A(a)^2=A(a)-A(a)+I_3=I_3.$$

Deci $A(a)^{-1}=A(a)$, pentru orice $a\in\mathbb{R}$.

Ecuația este:

$$A(1)\cdot X\cdot A(0)=I_3.$$

Înmulțim la stânga cu $A(1)^{-1}=A(1)$ și la dreapta cu $A(0)^{-1}=A(0)$:

$$X=A(1)A(0).$$

Folosind formula de la b):

$$X=A(1)-A(0)+I_3.$$

Calculăm:

$$A(1)-A(0)= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

Prin urmare:

$$X= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Răspuns:

$$\boxed{ X= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}}$$

2. Pe $M=[3,+\infty)$ se definește

$$x\circ y=m(x-3)(y-3)+3,\qquad m>0.$$

a) Pentru orice $m\in(0,+\infty)$,

$$3\circ 5=m(3-3)(5-3)+3=m\cdot 0\cdot 2+3=3.$$

Deci

$$\boxed{3\circ 5=3}.$$

b) Pentru $m=2$, legea devine:

$$x\circ y=2(x-3)(y-3)+3.$$

Verificăm pentru $e=\frac72$:

$$x\circ e=2(x-3)\left(\frac72-3\right)+3 =2(x-3)\cdot\frac12+3=x-3+3=x.$$

De asemenea:

$$e\circ x=2\left(\frac72-3\right)(x-3)+3 =2\cdot\frac12(x-3)+3=x.$$

Cum $e=\frac72\in[3,+\infty)$, rezultă că

$$\boxed{e=\frac72}$$

este elementul neutru al legii de compoziție.

c) Pentru $m=1$, avem:

$$x\circ y=(x-3)(y-3)+3.$$

Pentru $x,y\in M$, avem $x-3\ge 0$ și $y-3\ge 0$, deci radicalii sunt bine definiți. În plus, $f(x)=3+\sqrt{x-3}\ge 3$, deci $f(x)\in M$, iar $f(x)\circ f(y)$ este bine definit.

Calculăm:

$$f(x\circ y)=3+\sqrt{x\circ y-3} =3+\sqrt{(x-3)(y-3)}.$$

Cum $x-3\ge 0$ și $y-3\ge 0$,

$$\sqrt{(x-3)(y-3)}=\sqrt{x-3}\sqrt{y-3}.$$

Deci:

$$f(x\circ y)=3+\sqrt{x-3}\sqrt{y-3}.$$

Pe de altă parte:

$$f(x)\circ f(y)=\bigl(f(x)-3\bigr)\bigl(f(y)-3\bigr)+3 =\sqrt{x-3}\sqrt{y-3}+3.$$

Prin urmare:

$$\boxed{f(x\circ y)=f(x)\circ f(y)}$$

pentru orice $x,y\in M$.

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f:(1,+\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1}.$$

a) Derivăm funcția pe $(1,+\infty)$. Notăm

$$g(x)=\frac{e^{-x}}{x-1}=e^{-x}(x-1)^{-1}.$$

Atunci:

$$g'(x)=-e^{-x}(x-1)^{-1}-e^{-x}(x-1)^{-2}.$$

Aducând la același numitor:

$$g'(x)=-\frac{e^{-x}(x-1)+e^{-x}}{(x-1)^2} =-\frac{xe^{-x}}{(x-1)^2}.$$

Prin urmare:

$$f'(x)=1-g'(x)=1+\frac{xe^{-x}}{(x-1)^2} =\frac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2}.$$

Deci

$$\boxed{f'(x)=\frac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2}},\qquad x\in(1,+\infty).$$

b) Asimptota oblică spre $+\infty$ are forma $y=ax+b$, unde:

$$a=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}.$$

Avem:

$$\frac{f(x)}{x}=1-\frac{e^{-x}}{x(x-1)},$$

deci

$$a=1.$$

Apoi:

$$b=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-x\bigr) =\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)=0.$$

Asimptota oblică este:

$$\boxed{y=x}.$$

c) Funcția este continuă și derivabilă pe $(1,+\infty)$. Din punctul a),

$$f'(x)=\frac{(x-1)^2+xe^{-x}}{(x-1)^2}.$$

Pentru orice $x>1$, avem $(x-1)^2>0$, $x>0$ și $e^{-x}>0$, deci:

$$(x-1)^2+xe^{-x}>0.$$

Rezultă:

$$f'(x)>0,\qquad \forall x\in(1,+\infty).$$

Astfel, $f$ este strict crescătoare pe $(1,+\infty)$, deci este injectivă.

Calculăm limitele la capetele intervalului:

$$\lim_{x\to 1^+}f(x) =\lim_{x\to 1^+}\left(x-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)=-\infty,$$

deoarece $e^{-x}\to e^{-1}>0$, iar $x-1\to 0^+$.

De asemenea:

$$\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\left(x-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)=+\infty.$$

Fiind continuă și strict crescătoare, cu limitele $-\infty$ și $+\infty$ la capetele domeniului, rezultă:

$$f\bigl((1,+\infty)\bigr)=\mathbb{R}.$$

Deci $f$ este surjectivă pe $\mathbb{R}$. Cum este și injectivă, funcția este bijectivă.

2. Se consideră funcția

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2}.$$

a) Avem:

$$f(x)(x^2+1)^2=\frac{x}{(x^2+1)^2}(x^2+1)^2=x.$$

Prin urmare:

$$\int_1^3 f(x)(x^2+1)^2\,dx=\int_1^3 x\,dx =\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3 =\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4.$$

Deci

$$\boxed{\int_1^3 f(x)(x^2+1)^2\,dx=4}.$$

b) Calculăm:

$$\int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx.$$

Folosim substituția:

$$u=x^2+1,\qquad du=2x\,dx.$$

Când $x=0$, $u=1$, iar când $x=1$, $u=2$. Astfel:

$$\int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx =\frac12\int_1^2 u^{-2}\,du =\frac12\left[-\frac1u\right]_1^2.$$

Rezultă:

$$\frac12\left(-\frac12+1\right)=\frac12\cdot\frac12=\frac14.$$

Deci

$$\boxed{\int_0^1 f(x)\,dx=\frac14}.$$

c) Pentru $x\in[0,1]$,

$$xf(x)=x\cdot\frac{x}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2}{(x^2+1)^2}.$$

Deoarece $x\ge 0$ și $x^2+1>0$, avem:

$$\sqrt{xf(x)}=\sqrt{\frac{x^2}{(x^2+1)^2}}=\frac{x}{x^2+1}.$$

Atunci, pentru orice $n\in\mathbb{N}^*$,

$$I_n=\int_0^1 x^n\sqrt{xf(x)}\,dx =\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x^2+1}\,dx.$$

Prin urmare:

$$I_n-I_{n+4} =\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x^2+1}\,dx -\int_0^1 \frac{x^{n+5}}{x^2+1}\,dx.$$

Deci:

$$I_n-I_{n+4} =\int_0^1 \frac{x^{n+1}-x^{n+5}}{x^2+1}\,dx =\int_0^1 \frac{x^{n+1}(1-x^4)}{x^2+1}\,dx.$$

Cum

$$1-x^4=(1-x^2)(1+x^2),$$

obținem:

$$I_n-I_{n+4} =\int_0^1 x^{n+1}(1-x^2)\,dx =\int_0^1 \left(x^{n+1}-x^{n+3}\right)\,dx.$$

Calculăm:

$$I_n-I_{n+4} =\left.\frac{x^{n+2}}{n+2}\right|_0^1 -\left.\frac{x^{n+4}}{n+4}\right|_0^1 =\frac1{n+2}-\frac1{n+4}.$$

Prin urmare:

$$I_n-I_{n+4} =\frac{n+4-(n+2)}{(n+2)(n+4)} =\frac{2}{(n+2)(n+4)}.$$

Deci

$$\boxed{I_n-I_{n+4}=\frac{2}{(n+2)(n+4)}}$$

pentru orice $n\in\mathbb{N}^*$.

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte au fost rezolvate în ordinea din subiect.
• Au fost verificate condițiile de existență pentru logaritmi și radicali.
• La matrice s-au folosit calcule explicite pentru determinant, produs și inversabilitate.
• La legea de compoziție s-au verificat apartenența elementului neutru și egalitatea cerută pe domeniul $M$.
• La funcția din Subiectul al III-lea s-au justificat derivata, asimptota, monotonia, limitele și bijectivitatea.
• Integralele au fost calculate cu pași intermediari, iar formula pentru $I_n-I_{n+4}$ a fost demonstrată pentru orice $n\in\mathbb{N}^*$.