Subiectul BAC Mate-info 2024 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 5$.

2. (5p) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - 6$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) + f(3a) = 0$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{3x} \cdot 5^2 = 5^x$.

4. (5p) Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea $A = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(3,0)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\vec{AC} = \vec{OB}$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $18$ și $B = \dfrac{\pi}{4}$. Arătați că $AB = 6$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $M(x) = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x+2 & x \\ 0 & 2x & x+2 \end{pmatrix},$ unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(M(1)) = 7$.
• b) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $M(x) \cdot M(2) = M(x-1)$.
• c) (5p) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $2\det(M(n)) \le \det(M(2n))$.

2. Se consideră polinomul $f = X^3 - 2X^2 - aX + 2a$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $f(2) = 0$, pentru orice număr real $a$.
• b) (5p) Pentru $a = 1$, arătați că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 1$.
• c) (5p) Determinați $a \in (0, +\infty)$ pentru care $|x_1| + |x_2| + |x_3| = 8$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x(2x - 4) + x^2 - 2x + 4$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = 2(x-1)(e^x + 1)$, $x \in \mathbb{R}$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{1 - e^x} = 4$.
• c) (5p) Arătați că ecuația $f(x) = 0$ are exact două soluții.

2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{4x}{3x^2 + 1}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_3^4 f(x)(3x^2 + 1)\, dx = 14$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = \dfrac{4}{3}\ln 2$.
• c) (5p) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = \dfrac{4\ln x}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = e$ este egală cu $\dfrac{3e^2 + 5}{4}$.

---

Sursă PDF: 2024_E_c_Matematica_S1_M_mate-info_Subiect_10_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.