Subiectul BAC Mate-info 2024 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, în care $a_1 = 2$ și $a_2 = 12$.

2. (5p) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - 8$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(1 + m) = 1 - m$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\lg(x^2 - 3x + 5) = \lg 5$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul $\sqrt{n + 1}$ să fie natural.

5. (5p) În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1, 2)$, $B(3, 0)$ și $C(5, a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că dreptele $OA$ și $BC$ sunt paralele.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC = 9$ și $B = \dfrac{\pi}{3}$. Arătați că $AB = 3\sqrt{3}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea

$$A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x \\ 0 & 0 & x - 1 \\ x & 1 & 1 \end{pmatrix},$$

unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(2)) = 3$.
• b) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(x) \cdot A(1) = 2A(x)$.
• c) (5p) Arătați că, dacă matricea $A(x)$ este inversabilă, atunci și matricea $A(-x)$ este inversabilă.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

$$x \circ y = xy + \frac{2x + 2y - 1}{4}.$$

• a) (5p) Arătați că $1 \circ 1 = \dfrac{7}{4}$.
• b) (5p) Arătați că $e = \dfrac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.
• c) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care

$$\left(\frac{1}{2} - x\right) \circ \left(\frac{1}{2} + x\right) \circ \left(\frac{1}{2} + x^2\right) = \frac{1}{2} - x^2.$$

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{4x^3}{(x - 1)^2}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{4x^2(x - 3)}{(x - 1)^3}$, $x \in (1, +\infty)$.
• b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.
• c) (5p) Arătați că ecuația $f(x) = m$ are exact două soluții, pentru orice $m \in (27, +\infty)$.

2. Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 1 + x \ln x$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^3 (f(x) - x \ln x)\, dx = 6$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^e (f(x) - x - 1)\, dx = \dfrac{e^2 + 1}{4}$.
• c) (5p) Determinați numărul real nenul $a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g: [1, 3] \to \mathbb{R}$, $g(x) = \dfrac{1}{(f(x) - x \ln x)^2}$, este egal cu $\dfrac{7\pi}{24a}$.

---

Sursă PDF: 2024_E_c_Matematica_SS_M_mate-info_Subiect_09_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.