Soluții BAC Mate-info 2024 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I

1. Într-o progresie aritmetică, rația este

$$r=a_2-a_1=12-2=10.$$

Prin urmare,

$$a_3=a_2+r=12+10=22.$$

2. Avem $f(x)=x-8$, deci

$$f(1+m)=1+m-8=m-7.$$

Condiția devine

$$m-7=1-m \iff 2m=8 \iff m=4.$$

3. Ecuația este definită deoarece

$$x^2-3x+5=\left(x-\frac32\right)^2+\frac{11}{4}>0,\quad \forall x\in\mathbb R.$$

Cum funcția logaritmică este injectivă,

$$\lg(x^2-3x+5)=\lg 5 \iff x^2-3x+5=5.$$

Rezultă

$$x^2-3x=0 \iff x(x-3)=0,$$

deci

$$x\in\{0,3\}.$$

4. Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\ldots,99$, în total

$$99-10+1=90$$

numere.

Condiția $\sqrt{n+1}\in\mathbb N$ este echivalentă cu faptul că $n+1$ este pătrat perfect. Deoarece

$$11\le n+1\le 100,$$

pătratele perfecte posibile sunt

$$4^2,5^2,6^2,7^2,8^2,9^2,10^2,$$

adică sunt $7$ cazuri favorabile. Probabilitatea este

$$P=\frac{7}{90}.$$

5. Vectorii directori ai dreptelor $OA$, respectiv $BC$, sunt

$$\overrightarrow{OA}=(1,2),\qquad \overrightarrow{BC}=(5-3,a-0)=(2,a).$$

Pentru ca dreptele să fie paralele, vectorii trebuie să fie coliniari:

$$\begin{vmatrix} 1&2\\ 2&a \end{vmatrix}=0.$$

Astfel,

$$a-4=0,$$

de unde

$$a=4.$$

6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $\angle B=\frac{\pi}{3}$. Latura $AC$ este opusă unghiului $B$, iar latura $AB$ este alăturată acestui unghi, deci

$$\tan B=\frac{AC}{AB}.$$

Cum

$$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3,$$

obținem

$$\sqrt3=\frac{9}{AB}.$$

Prin urmare,

$$AB=\frac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3.$$

SUBIECTUL al II-lea

1.

Se consideră

$$A(x)= \begin{pmatrix} 1 & x & x \\ 0 & 0 & x-1 \\ x & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

• a) Pentru $x=2$,

$$A(2)= \begin{pmatrix} 1&2&2\\ 0&0&1\\ 2&1&1 \end{pmatrix}.$$

Dezvoltăm determinantul după linia a doua:

$$\det A(2)=-1\cdot \begin{vmatrix} 1&2\\ 2&1 \end{vmatrix} =-\left(1\cdot 1-2\cdot 2\right).$$

Deci

$$\det A(2)=-(1-4)=3.$$

• b) Avem

$$A(1)= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&0&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}.$$

Fiecare coloană a lui $A(1)$ este vectorul $\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$. Prin urmare,

$$A(x)A(1)= \begin{pmatrix} 1+x&1+x&1+x\\ x-1&x-1&x-1\\ x+1&x+1&x+1 \end{pmatrix}.$$

Pe de altă parte,

$$2A(x)= \begin{pmatrix} 2&2x&2x\\ 0&0&2x-2\\ 2x&2&2 \end{pmatrix}.$$

Din egalitatea matricelor, comparând elementul de pe linia a doua, coloana întâi, obținem

$$x-1=0,$$

deci $x=1$.

Verificare pentru $x=1$:

$$A(1)A(1)= \begin{pmatrix} 2&2&2\\ 0&0&0\\ 2&2&2 \end{pmatrix} =2A(1).$$

Rezultă că numărul real cerut este

$$x=1.$$

• c) Calculăm determinantul matricei $A(x)$. Dezvoltând după linia a doua,

$$\det A(x)=-(x-1) \begin{vmatrix} 1&x\\ x&1 \end{vmatrix}.$$

Astfel,

$$\det A(x)=-(x-1)(1-x^2)=(x-1)(x^2-1)=(x-1)^2(x+1).$$

Dacă $A(x)$ este inversabilă, atunci

$$\det A(x)\ne 0 \iff x\ne 1 \text{ și } x\ne -1.$$

Pentru matricea $A(-x)$,

$$\det A(-x)=(-x-1)^2(-x+1)=(x+1)^2(1-x).$$

Cum $x\ne 1$ și $x\ne -1$, rezultă

$$\det A(-x)\ne 0.$$

Deci matricea $A(-x)$ este inversabilă.

2.

Pe $\mathbb R$ este definită legea

$$x\circ y=xy+\frac{2x+2y-1}{4}.$$

• a) Calculăm direct:

$$1\circ 1=1\cdot 1+\frac{2\cdot1+2\cdot1-1}{4} =1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}.$$

• b) Pentru orice $x\in\mathbb R$,

$$x\circ \frac12=x\cdot\frac12+\frac{2x+2\cdot\frac12-1}{4} =\frac{x}{2}+\frac{2x}{4} =x.$$

De asemenea,

$$\frac12\circ x=\frac12\cdot x+\frac{2\cdot\frac12+2x-1}{4} =\frac{x}{2}+\frac{2x}{4} =x.$$

Prin urmare,

$$e=\frac12$$

este elementul neutru al legii de compoziție.

• c) Observăm identitatea utilă

$$x\circ y+\frac12 =xy+\frac{2x+2y-1}{4}+\frac12 =xy+\frac{x+y}{2}+\frac14 =\left(x+\frac12\right)\left(y+\frac12\right).$$

Notăm $\varphi(t)=t+\frac12$. Atunci

$$\varphi(x\circ y)=\varphi(x)\varphi(y).$$

Folosind asociativitatea legii,

$$\left(\frac12-x\right)\circ\left(\frac12+x\right)\circ\left(\frac12+x^2\right)=\frac12-x^2$$

este echivalentă, prin aplicarea funcției injective $\varphi$, cu

$$(1-x)(1+x)(1+x^2)=1-x^2.$$

Deci

$$(1-x^2)(1+x^2)=1-x^2.$$

Mutând totul în aceeași parte:

$$(1-x^2)(1+x^2)-(1-x^2)=0$$ $$(1-x^2)x^2=0.$$

Rezultă

$$x^2=0 \quad \text{sau} \quad 1-x^2=0,$$

deci

$$x\in\{-1,0,1\}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1.

Se consideră funcția

$$f:(1,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{4x^3}{(x-1)^2}.$$

• a) Pentru $x\in(1,+\infty)$, derivăm folosind regula raportului:

$$f'(x)=\frac{12x^2(x-1)^2-4x^3\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}.$$

Scoatem factor comun $4x^2(x-1)$:

$$f'(x)=\frac{4x^2(x-1)\left(3(x-1)-2x\right)}{(x-1)^4}.$$

Cum

$$3(x-1)-2x=x-3,$$

rezultă

$$f'(x)=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3},\quad x\in(1,+\infty).$$

• b) Determinăm asimptota oblică prin împărțirea polinomială:

$$\frac{4x^3}{(x-1)^2} =\frac{4x^3}{x^2-2x+1} =4x+8+\frac{12x-8}{(x-1)^2}.$$

Deoarece

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{12x-8}{(x-1)^2}=0,$$

asimptota oblică spre $+\infty$ este

$$y=4x+8.$$

• c) Funcția $f$ este continuă pe $(1,+\infty)$, iar

$$f'(x)=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}.$$

Pentru $x\in(1,+\infty)$, avem $4x^2>0$ și $(x-1)^3>0$, deci semnul lui $f'(x)$ este semnul lui $x-3$. Rezultă că $f$ este strict descrescătoare pe $(1,3)$ și strict crescătoare pe $(3,+\infty)$.

Mai mult,

$$\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty,\qquad f(3)=\frac{4\cdot 27}{(3-1)^2}=27,$$

și

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$$

Astfel, pe intervalul $(1,3)$, funcția ia strict descrescător toate valorile din $(27,+\infty)$, iar pe intervalul $(3,+\infty)$, funcția ia strict crescător toate valorile din $(27,+\infty)$.

Prin urmare, pentru orice $m\in(27,+\infty)$, ecuația

$$f(x)=m$$

are exact o soluție în $(1,3)$ și exact o soluție în $(3,+\infty)$, deci are exact două soluții pe $(1,+\infty)$.

2.

Se consideră funcția

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1+x\ln x.$$

• a) Deoarece

$$f(x)-x\ln x=x+1,$$

avem

$$\int_1^3 (f(x)-x\ln x)\,dx=\int_1^3 (x+1)\,dx.$$

Calculăm:

$$\int_1^3 (x+1)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_1^3 =\left(\frac92+3\right)-\left(\frac12+1\right)=6.$$

• b) Deoarece

$$f(x)-x-1=x\ln x,$$

rezultă

$$\int_1^e (f(x)-x-1)\,dx=\int_1^e x\ln x\,dx.$$

Prin integrare prin părți, cu $u=\ln x$, $dv=x\,dx$, obținem

$$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}.$$

Prin urmare,

$$\int_1^e x\ln x\,dx =\left[\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\right]_1^e.$$

La $x=e$, valoarea este

$$\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}=\frac{e^2}{4},$$

iar la $x=1$, valoarea este

$$0-\frac14=-\frac14.$$

Deci

$$\int_1^e (f(x)-x-1)\,dx =\frac{e^2}{4}-\left(-\frac14\right)=\frac{e^2+1}{4}.$$

• c) Avem

$$f(x)-x\ln x=x+1,$$

deci

$$g(x)=\frac{1}{(x+1)^2},\quad x\in[1,3].$$

Volumul corpului obținut prin rotația graficului în jurul axei $Ox$ este

$$V=\pi\int_1^3 g^2(x)\,dx =\pi\int_1^3 \frac{1}{(x+1)^4}\,dx.$$

Calculăm:

$$\int \frac{1}{(x+1)^4}\,dx =\int (x+1)^{-4}\,dx =-\frac{1}{3(x+1)^3}.$$

Astfel,

$$V=\pi\left[-\frac{1}{3(x+1)^3}\right]_1^3 =\pi\left(-\frac{1}{3\cdot 4^3}+\frac{1}{3\cdot 2^3}\right).$$

Deci

$$V=\pi\left(-\frac{1}{192}+\frac{1}{24}\right) =\pi\cdot\frac{7}{192} =\frac{7\pi}{192}.$$

Conform enunțului,

$$\frac{7\pi}{192}=\frac{7\pi}{24a}.$$

Cum $a\ne 0$, putem simplifica $7\pi$:

$$\frac{1}{192}=\frac{1}{24a}.$$

Rezultă

$$24a=192,$$

de unde

$$a=8.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte au fost rezolvate în ordinea din subiect.
• Au fost verificate condițiile de definiție pentru logaritm, inversabilitate și intervalele funcțiilor.
• La matrice s-au calculat explicit determinantul și egalitatea matricială cerută.
• La legea de compoziție s-a verificat elementul neutru bilateral și s-a folosit o transformare injectivă pentru ecuația compusă.
• La studiul funcției s-au justificat derivata, asimptota oblică, monotonia, limitele și numărul exact de soluții.
• Integralele și volumul de rotație au fost calculate cu formulele corespunzătoare și rezultatele finale au fost simplificate.