Subiectul BAC Mate-info 2024 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, cu $a_2 = 14$ și $a_3 = 18$.

2. (5p) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 2$. Arătați că $(f \circ f)(5) = 9$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^2 + 2x + 1} = \sqrt[3]{1 - x}$.

4. (5p) Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A = \{1, 2, 3, 7, 9\}$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(2,1)$. Determinați coordonatele punctului $B$ pentru care $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{OA}$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC = 12$ și $AB = \dfrac{BC}{2}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18\sqrt{3}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad B(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & x & 1 \end{pmatrix},$ unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(B(1)) = 0$.
• b) (5p) Arătați că $B(x) \cdot B(y) - B(x + y) = xyA$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• c) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $B(x) \cdot B(x + 1) - B(2x) \cdot B(1) = xA$.

2. Se consideră polinomul $f = X^3 + aX^2 + X + 2 - a$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $f(1) = 4$, pentru orice număr real $a$.
• b) (5p) Pentru $a = 2$, determinați rădăcinile polinomului $f$.
• c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $(x_1 - x_1^2)(x_2 - x_2^2)(x_3 - x_3^2) = 4$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (x^2 - 2)e^{2x}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = 2e^{2x}(x^2 + x - 2)$, $x \in \mathbb{R}$.
• b) (5p) Calculați $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{f'(x)}$.
• c) (5p) Determinați imaginea funcției $f$.

2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^4 + 6x^2 + 1$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_{-1}^{1} (f(x) - 6x^2)\,dx = \dfrac{12}{5}$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_{1}^{6} \dfrac{x^3}{f(x) - 1}\,dx = \dfrac{\ln 6}{2}$.
• c) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x^3}\int_{0}^{x} (f(2t) - f(t))\,dt\right) = 6$.

---

Sursă PDF: 2024_E_c_Matematica_S2_M_mate-info_Subiect_03_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.