Subiectul BAC Mate-info 2023 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex z = 3 + i . Arătați că z ( z − 2i ) = 10 .

2. (5p) Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 5 x + 1 . Arătați că f ( 2 x ) − 2 f ( x ) = −1 , pentru orice număr real x . 3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^3 - 2x + 2} = x$. 4. (5p) Se consideră mulțimea A , a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A , numărul n + 5 să fie multiplu de 10 . 5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 4,0 ) și B ( 5, 4 ) . Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul O și este paralelă cu dreapta AB . 6. (5p) Se consideră triunghiul isoscel ABC , dreptunghic în A , cu aria egală cu 4 . Arătați că BC = 4 .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&-1&a\\a&a+1&-2\end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases}2x+y+2z=2\\x-y+az=4\\ax+(a+1)y-2z=a\end{cases}$, unde $a$ este număr real. a) (5p) Arătați că $\det(A(0))=8$. b) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă. c) (5p) Pentru $a=-2$, arătați că $x_0z_0+y_0=-2$, pentru orice soluție $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+(2^x-2)(2^y-2)$. a) (5p) Arătați că $2\circ3=18$. b) (5p) Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”. c) (5p) Demonstrați că $x\circ(-x)\le1$, pentru orice număr real $x$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+3\ln\dfrac{x+3}{x-1}$. a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}$, $x\in(1,+\infty)$. b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . c) (5p) Arătați că $\ln\dfrac{x+3}{3(x-1)}\ge1-\dfrac{x}{3}$, pentru orice $x\in(1,+\infty)$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=(x^2+2x)e^{-x}$. a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^3 f(x)e^x\,dx=18$. b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1\dfrac{f(x)}{x+2}\,dx=\dfrac{e-2}{e}$. c) (5p) Demonstrați că $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{x^2}\int_0^x f(t)\,dt\right)=1$.

Sursă PDF: 2023_E_c_Matematica_S1_M_mate-info_Subiect_01_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.