Subiectul BAC Mate-info 2023 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $(2-i)^2+i(4+i)=2$, unde $i^2=-1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+3$. Determinați numărul real $m$ pentru care $(f\circ f)(m)=2m$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x+1}-3\cdot 5^x=10$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu $7$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,4)$, $B(3,-2)$ și $C(2a,a)$, unde $a$ este număr real nenul. Arătați că dreptele $AB$ și $OC$ sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul $a$.

6. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\sin x+4\cos\dfrac{x}{3}\sin\dfrac{2x}{3}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=4$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a & -1 & 2a\\ 1 & -2 & a\\ 1 & 1 & 1-a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații

$$\begin{cases} ax-y+2az=0,\\ x-2y+az=0,\\ x+y+(1-a)z=0, \end{cases}$$

unde $a$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(0))=1$.

b) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) (5p) Pentru $a=-1$, determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x*y=x^2y^2-4(x+y)^2+1$.

a) (5p) Arătați că $0*1=-3$.

b) (5p) Arătați că $x*(-1)\le 2x$, pentru orice număr real $x$.

c) (5p) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale nenule, cu $m\le n$, pentru care $m*n=1$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x}{5}-\ln(x^2+x+5)$.

a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{x^2-9x}{5(x^2+x+5)}$, $x\in\mathbb{R}$.

b) (5p) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $Ox$.

c) (5p) Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are soluție unică.

2. Se consideră funcția $f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{4x}{x^3+8}$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^2 (x^3+8)f(x)\,dx=8$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^4 x f(x)\,dx=4\ln 2$.

c) (5p) Calculați $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^3}\int_0^x t\cdot f(t)\,dt\right)$.

---

Sursă PDF: 2023_E_c_Matematica_SS_M_mate-info_Subiect_06_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.