Subiectul BAC Mate-info 2023 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $a_6$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, cu $a_1 = 3$ și $a_5 = 23$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+8$. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(m,-1)$ aparține graficului funcției $f$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x-1}=9\cdot 3^{x+1}$.

4. (5p) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$. Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii $A$, care au cel mult două elemente.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(4,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$, știind că $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ și înălțimea $AD=3$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $2\sqrt{3}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea

$$A(x)= \begin{pmatrix} x & x & x\\ 1 & x & 1\\ -1 & -x & -1 \end{pmatrix},$$

unde $x$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(1))=0$.

b) (5p) Arătați că $A(x)\cdot A(y)-A(xy)=(x+y-2)A(0)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5p) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(-1)\cdot A(3)\cdot A(x)=A(y)$.

2. Se consideră polinomul $f=X^4+2X^3-8X^2+3mX+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5p) Pentru $m=2$, arătați că $f(1)=3$.

b) (5p) Pentru $m=0$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

c) (5p) Determinați numărul rațional $m$ pentru care polinomul $f$ are rădăcina $x_1=1+\sqrt{3}$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{3e^x}{x^2+x+1}$.

a) (5p) Arătați că

$$f'(x)=\frac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2},\quad x\in\mathbb{R}.$$

b) (5p) Arătați că

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(2x)}{f(x)}=+\infty.$$

c) (5p) Demonstrați că ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții, pentru orice $m\in(e,3)$.

2. Se consideră funcția $f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=6x+\ln(x+1)$.

a) (5p) Arătați că

$$\int_1^2 \left(f(x)-\ln(x+1)\right)\,dx=9.$$

b) (5p) Arătați că

$$\int_0^{e-1}\frac{f(x)-6x}{x+1}\,dx=\frac{1}{2}.$$

c) (5p) Determinați numărul real $a$, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=f(x^2)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ este egală cu $a\pi+\ln 2$.

---

Sursă PDF: 2023_E_c_Matematica_S2_M_mate-info_Subiect_07_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.