Subiectul BAC Mate-info 2022 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $8 - 6\sqrt{6} + 6(\sqrt{6} - 1) = 2$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $(f\circ f)(0)=4$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3\cdot 2^{2x}+4^x=4$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului $6$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=3x-2$ și punctul $A(a,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A$ aparține dreptei $d$.

6. (5p) Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=10$ și $\cos A=0$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $50$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea

$$A(x)=\begin{pmatrix} 1 & -x & x^2 \\ 0 & 1 & -2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1))=1$.
• b) (5p) Arătați că $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• c) (5p) Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(n)\cdot A(n+1)\cdot A(n+2)\cdot A(n+3)=A(2n^2)$.

2. Pe mulțimea $M=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție

$$x\ast y=\frac{2x}{y+2}+\frac{2y}{x+2}.$$

• a) (5p) Arătați că $1\ast 0=1$.
• b) (5p) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.
• c) (5p) Determinați $x\in M$, $x$ nenul, pentru care $x\ast\dfrac{4}{x}=x$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2+\dfrac{x}{e^x-x}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$, $x\in\mathbb{R}$.
• b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.
• c) (5p) Demonstrați că, pentru orice $m\in(1,2]$, ecuația $f(x)=m$ are soluție unică.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^5 \left(f(x)-\sqrt{x^2+9}\right)\,dx=0$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^4 \frac{x}{f(x)+x-3}\,dx=2$.
• c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{f(x)}\,dx$. Demonstrați că $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n=0$.

---

Sursă PDF: 2022_E_c_Matematica_S1_M_mate-info_Subiect_01_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.