Soluții BAC Mate-info 2022 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I

1. Calculăm direct:

$$8-6\sqrt6+6(\sqrt6-1)=8-6\sqrt6+6\sqrt6-6=2.$$

Prin urmare, egalitatea este adevărată.

2. Avem $f(x)=3x+m$. Atunci

$$f(0)=m,\qquad (f\circ f)(0)=f(m)=3m+m=4m.$$

Condiția $(f\circ f)(0)=4$ devine

$$4m=4,$$

deci

$$\boxed{m=1}.$$

3. Deoarece $2^{2x}=(2^2)^x=4^x$, ecuația devine

$$3\cdot 4^x+4^x=4.$$

Rezultă

$$4\cdot 4^x=4 \Longleftrightarrow 4^x=1.$$

Cum $4^0=1$ și funcția exponențială cu baza $4$ este injectivă, obținem

$$\boxed{x=0}.$$

4. Numerele naturale de două cifre sunt de la $10$ la $99$, deci sunt

$$99-10+1=90$$

numere.

Cifra zecilor trebuie să fie divizor al lui $6$. Dintre cifrele posibile ale zecilor, $1,2,\ldots,9$, convin

$$1,\ 2,\ 3,\ 6.$$

Pentru fiecare astfel de cifră a zecilor, cifra unităților poate fi oricare dintre cele $10$ cifre $0,1,\ldots,9$. Numărul cazurilor favorabile este

$$4\cdot 10=40.$$

Probabilitatea cerută este

$$P=\frac{40}{90}=\boxed{\frac49}.$$

5. Punctul $A(a,a)$ aparține dreptei $d:y=3x-2$, deci coordonatele lui verifică ecuația dreptei:

$$a=3a-2.$$

De aici

$$2a=2,$$

deci

$$\boxed{a=1}.$$

6. Din $\cos A=0$ rezultă

$$A=90^\circ,\qquad \sin A=1.$$

Într-un triunghi dreptunghic în $A$, latura $BC$ este ipotenuza, deci nu poate fi egală cu una dintre catete. Cum triunghiul este isoscel, laturile egale sunt catetele $AB$ și $AC$. Rezultă

$$AB=AC.$$

Deoarece $AB=10$, avem

$$AC=10.$$

Aria triunghiului se calculează cu formula

$$\mathcal A_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}.$$

Prin urmare,

$$\mathcal A_{ABC}=\frac{10\cdot 10\cdot 1}{2}=50.$$

Deci aria triunghiului $ABC$ este egală cu $\boxed{50}$.

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$A(x)=\begin{pmatrix} 1 & -x & x^2\\ 0 & 1 & -2x\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

• a) Pentru $x=1$,

$$A(1)=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Matricea este triunghiulară superior, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală:

$$\det(A(1))=1\cdot 1\cdot 1=1.$$

• b) Pentru orice $x,y\in\mathbb R$,

$$A(x)A(y)= \begin{pmatrix} 1 & -x & x^2\\ 0 & 1 & -2x\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -y & y^2\\ 0 & 1 & -2y\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Înmulțind matricile, obținem

$$A(x)A(y)= \begin{pmatrix} 1 & -(x+y) & x^2+2xy+y^2\\ 0 & 1 & -2(x+y)\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Deoarece $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$, rezultă

$$A(x)A(y)= \begin{pmatrix} 1 & -(x+y) & (x+y)^2\\ 0 & 1 & -2(x+y)\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =A(x+y).$$

• c) Folosind relația de la punctul b), avem

$$A(n)A(n+1)A(n+2)A(n+3)=A\bigl(n+n+1+n+2+n+3\bigr).$$

Deci

$$A(n)A(n+1)A(n+2)A(n+3)=A(4n+6).$$

Condiția din enunț devine

$$A(4n+6)=A(2n^2).$$

Comparând elementele de pe poziția $(1,2)$, obținem

$$-(4n+6)=-2n^2,$$

adică

$$2n^2=4n+6.$$

Împărțind la $2$,

$$n^2-2n-3=0.$$

Factorizăm:

$$(n-3)(n+1)=0.$$

Cum $n$ este număr natural, rezultă

$$\boxed{n=3}.$$

2. Pe $M=[0,+\infty)$ este definită legea

$$x\ast y=\frac{2x}{y+2}+\frac{2y}{x+2}.$$

• a) Calculăm:

$$1\ast 0=\frac{2\cdot 1}{0+2}+\frac{2\cdot 0}{1+2}=1+0=1.$$

• b) Pentru orice $x\in M$, avem

$$x\ast 0=\frac{2x}{0+2}+\frac{2\cdot 0}{x+2}=x$$

și

$$0\ast x=\frac{2\cdot 0}{x+2}+\frac{2x}{0+2}=x.$$

Deci $0$ este element neutru pentru legea $\ast$, adică

$$\boxed{e=0}.$$

• c) Căutăm $x\in M$, $x\ne 0$, deci $x>0$, astfel încât

$$x\ast \frac4x=x.$$

Calculăm:

$$x\ast \frac4x = \frac{2x}{\frac4x+2}+\frac{2\cdot \frac4x}{x+2}.$$

Deoarece $x>0$,

$$\frac{2x}{\frac4x+2} = \frac{2x}{\frac{4+2x}{x}} = \frac{2x^2}{2x+4} = \frac{x^2}{x+2},$$

iar

$$\frac{2\cdot \frac4x}{x+2}=\frac{8}{x(x+2)}.$$

Ecuația devine

$$\frac{x^2}{x+2}+\frac{8}{x(x+2)}=x.$$

Înmulțim cu $x(x+2)>0$:

$$x^3+8=x^2(x+2).$$

Deci

$$x^3+8=x^3+2x^2,$$

de unde

$$8=2x^2 \Longleftrightarrow x^2=4.$$

Cum $x>0$, rezultă

$$\boxed{x=2}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2+\frac{x}{e^x-x}.$$

Observăm că $e^x-x>0$ pentru orice $x\in\mathbb R$. Într-adevăr, funcția $g(x)=e^x-x$ are

$$g'(x)=e^x-1,$$

deci minimul se atinge la $x=0$, iar

$$g(0)=1>0.$$

• a) Derivăm:

$$f'(x)=\left(\frac{x}{e^x-x}\right)'.$$

Prin regula derivării câtului,

$$f'(x)=\frac{1\cdot(e^x-x)-x(e^x-1)}{(e^x-x)^2}.$$

Numărătorul este

$$e^x-x-xe^x+x=e^x-xe^x=e^x(1-x).$$

Așadar,

$$\boxed{f'(x)=\frac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}},\qquad x\in\mathbb R.$$

• b) Deoarece $e^x>0$ și $(e^x-x)^2>0$ pentru orice $x\in\mathbb R$, semnul lui $f'(x)$ este semnul lui $1-x$. Astfel,

$$f'(x)>0 \quad \text{pentru } x<1,$$ $$f'(1)=0,$$ $$f'(x)<0 \quad \text{pentru } x>1.$$

Prin urmare, funcția $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty,1]$ și strict descrescătoare pe $[1,+\infty)$.

• c) Vom demonstra existența și unicitatea soluției pentru $m\in(1,2]$.

Funcția $f$ este continuă pe $\mathbb R$, deoarece $e^x-x>0$ pentru orice $x\in\mathbb R$. Mai mult,

$$\lim_{x\to-\infty} \frac{x}{e^x-x}=-1,$$

deci

$$\lim_{x\to-\infty} f(x)=1.$$

De asemenea,

$$f(0)=2+\frac{0}{1}=2.$$

Pe intervalul $(-\infty,0]$, funcția este strict crescătoare, deoarece acest interval este inclus în $(-\infty,1]$. Rezultă că imaginea intervalului $(-\infty,0]$ prin $f$ este $(1,2]$.

Pentru orice $m\in(1,2]$, există deci un unic $x\in(-\infty,0]$ cu $f(x)=m$.

Rămâne să verificăm că nu există soluții cu $x>0$. Dacă $x>0$, atunci $e^x-x>0$, deci

$$\frac{x}{e^x-x}>0,$$

de unde

$$f(x)>2.$$

Cum $m\in(1,2]$, nu poate exista soluție cu $x>0$. Prin urmare, pentru orice $m\in(1,2]$, ecuația $f(x)=m$ are soluție unică.

2. Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}.$$

• a) Avem

$$f(x)-\sqrt{x^2+9}=3-x.$$

Prin urmare,

$$\int_1^5 \left(f(x)-\sqrt{x^2+9}\right)\,dx = \int_1^5 (3-x)\,dx.$$

Calculăm:

$$\int_1^5 (3-x)\,dx = \left(3x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_1^5.$$

Astfel,

$$\left(15-\frac{25}{2}\right)-\left(3-\frac12\right) = \frac52-\frac52=0.$$

Deci

$$\boxed{\int_1^5 \left(f(x)-\sqrt{x^2+9}\right)\,dx=0}.$$

• b) Observăm că

$$f(x)+x-3=\sqrt{x^2+9}.$$

Atunci

$$\int_0^4 \frac{x}{f(x)+x-3}\,dx = \int_0^4 \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,dx.$$

Deoarece

$$\left(\sqrt{x^2+9}\right)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}},$$

rezultă

$$\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,dx = \sqrt{x^2+9}\Big|_0^4.$$

Deci

$$\sqrt{4^2+9}-\sqrt{0^2+9}=\sqrt{25}-\sqrt9=5-3=2.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\int_0^4 \frac{x}{f(x)+x-3}\,dx=2}.$$

• c) Pentru $x\in[0,1]$, avem

$$f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}.$$

Cum $3-x\ge 2$ și $\sqrt{x^2+9}>0$, rezultă

$$f(x)\ge 2.$$

De asemenea, pentru $x\in[0,1]$,

$$x^n\ge 0.$$

Așadar,

$$0\le \frac{x^n}{f(x)}\le \frac{x^n}{2}.$$

Integrând pe $[0,1]$, obținem

$$0\le I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{f(x)}\,dx \le \frac12\int_0^1 x^n\,dx.$$

Dar

$$\frac12\int_0^1 x^n\,dx=\frac12\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2(n+1)}.$$

Cum

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2(n+1)}=0,$$

din teorema cleștelui rezultă

$$\boxed{\lim_{n\to+\infty} I_n=0}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte sunt rezolvate în ordinea din subiect.
• Calculele algebrice, ecuația exponențială, probabilitatea și problema de geometrie au pașii esențiali explicitați.
• La matrice s-au folosit produsul $A(x)A(y)=A(x+y)$ și comparația elementelor pentru determinarea lui $n$.
• Pentru legea de compoziție s-au verificat elementul neutru bilateral și condiția $x>0$ la rezolvarea ecuației.
• La analiza funcției s-au precizat domeniul, semnul derivatei, monotonia și argumentul complet de unicitate.
• Integralele și limita șirului $I_n$ sunt justificate prin primitive și prin teorema cleștelui.