Subiect BAC Mate-info 2022 · Sesiunea specială · Var. 03

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $5(1+2i)-2i(5-i)=3$ , unde $i^2=-1$ .

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-2x-3$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=1+a^2$ .

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(2x^2+1)=2$ .

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$ , $B(1,6)$ și $C(4,2)$ . Determinați coordonatele punctului $D$ , știind că $\vec{AB}=\vec{DC}$ .

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , astfel încât $BC=10$ și $\sin B=2\sin C$ . Arătați că lungimea laturii $AB$ este egală cu $2\sqrt{5}$ .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele

O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\quad\text{și}\quad A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-x&0\\x&1-x&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$ unde $x$ este număr real. **a)** **(5p)** Arătați că $\det(A(1))=1$. **b)** **(5p)** Arătați că $(A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3$, pentru orice număr real $x$. **c)** **(5p)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(x)\cdot A(x)=xA(x)-(x-1)I_3$. **2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x+y)^2-2(x-y)-3$. **a)** **(5p)** Arătați că $0\ast 2=5$. **b)** **(5p)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast(x+1)=8$. **c)** **(5p)** Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast n=2mn$. ## SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) **1.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=(x^2-5x+10)\sqrt{x}$. **a)** **(5p)** Arătați că $f'(x)=\dfrac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}$, $x\in(0,+\infty)$. **b)** **(5p)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$. **c)** **(5p)** Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)^{\frac{x}{5}}=\dfrac{1}{e}$. **2.** Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+e^x+\dfrac{1}{e^x+1}$. **a)** **(5p)** Arătați că $\displaystyle\int_0^2\left(f(x)-\dfrac{1}{e^x+1}\right)\,dx=e^2+1$. **b)** **(5p)** Arătați că $\displaystyle\int_{-1}^1 e^x\left(f(x)-x-e^x\right)\,dx=1$. **c)** **(5p)** Determinați numărul real $m$ pentru care $\displaystyle\int_0^1 x\left(f(x)+f(-x)\right)\,dx=\dfrac{m}{2}-\dfrac{2}{e}$. --- **Sursă PDF:** [2022_E_c_Matematica_SS_M_mate-info_Subiect_03_LRO.pdf](https://pro-matematica.ro/bacalaureat/2022/2022_E_c_Matematica_SS_M_mate-info_Subiect_03_LRO.pdf) — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.

Subiectul BAC Mate-info 2022 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)