Subiect BAC Mate-info 2022 · August–Septembrie · Var. 07

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $2i(3-i)-6i=2$ , unde $i^2=-1$ .

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-mx$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(-1)=f(1)$ .

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $27^{x-1}=9^x$ .

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu $3$ .

5. (5p) În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,2)$ și $B(1,-1)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}$ .

6. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\sin 2x-2\operatorname{tg}x\cdot\sin\dfrac{2x}{3}$ , unde $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ . Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$ .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele

A(x)=\begin{pmatrix}x&1-x&1\\1-x&x&1\\1&1&0\end{pmatrix},$$ unde $x$ este număr real. - **a)** **(5p)** Arătați că $\det(A(0))=2$. - **b)** **(5p)** Arătați că $A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=2I_3$, pentru orice număr real $x$. - **c)** **(5p)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)=3A(1)+2I_3$. **2.** Pe mulțimea $M=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x\ast y=\dfrac{xy(x+y)}{xy+1}$. - **a)** **(5p)** Arătați că $1\ast 3=3$. - **b)** **(5p)** Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”. - **c)** **(5p)** Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale nenule, cu $m\le n$, pentru care $\dfrac{1}{m}\ast\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{16}\cdot(m\ast n)$. ## SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) **1.** Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{e^x}$. - **a)** **(5p)** Arătați că $f'(x)=\dfrac{(x-1)(4-x)}{e^x}$, $x\in\mathbb{R}$. - **b)** **(5p)** Arătați că axa $Ox$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$. - **c)** **(5p)** Demonstrați că ecuația $f(x)=n$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $n$. **2.** Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{x^2+4}$. - **a)** **(5p)** Arătați că $\displaystyle\int_0^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=2$. - **b)** **(5p)** Arătați că $\displaystyle\int_0^{\sqrt{5}} f(x)\,dx=\frac{19}{3}$. - **c)** **(5p)** Pentru fiecare număr natural $n$, $n\ge 2$, se consideră numărul $I_n=\displaystyle\int_1^2 \frac{x^n}{f^2(x)}\,dx$. Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $I_{n+2}+4I_n=\dfrac{3}{n-1}$. --- **Sursă PDF:** [2022_E_c_Matematica_S2_M_mate-info_Subiect_07_LRO.pdf](https://pro-matematica.ro/bacalaureat/2022/2022_E_c_Matematica_S2_M_mate-info_Subiect_07_LRO.pdf) — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.

Subiectul BAC Mate-info 2022 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)