Subiectul BAC Mate-info 2021 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $(1 + i)^2 - 2(1 + i) + 2 = 0$, unde $i^2 = -1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + ax - 5$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $M(1,2)$ aparține graficului funcției $f$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4(x^2 + 1) = \log_4 x + \log_4(x + 1)$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $2$ și cu $5$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(3,4)$, $N(0,1)$ și $P(3,0)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $P$ și este paralelă cu dreapta $MN$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $C$. Arătați că $\operatorname{tg} B = \dfrac{1}{\operatorname{tg} A}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele

$$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad A(a) = \begin{pmatrix} a + 2 & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ 3a & 0 & 2 - 3a \end{pmatrix},$$

unde $a$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(0)) = 8$.

b) (5p) Determinați matricea $B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$, știind că $aB = A(a) - 2I_3$, pentru orice număr real $a$.

c) (5p) Determinați numărul natural $n$ pentru care $\det(A(n) \cdot A(-n)) > 0$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \ast y = \dfrac{1}{2}\bigl(x + y + |x - y|\bigr)$.

a) (5p) Arătați că $2 \ast 0 = 2$.

b) (5p) Demonstrați că, dacă $a$ și $b$ sunt numere reale astfel încât $a \le b$, atunci $a \ast b = b$.

c) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(2x) \ast (x^2 + 1) \ast (-2x) = 10$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - \sqrt{x^2 + 3}$.

a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 3} - x}{\sqrt{x^2 + 3}}$, $x \in \mathbb{R}$.

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5p) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care ecuația $f(x) = a$ are soluție.

2. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + x + 3}$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2 + x + 3) f(x)\, dx = 2$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 g(x)\, dx = \ln \dfrac{9}{5}$, unde $g : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x} \cdot f(x)$.

c) (5p) Se consideră numerele reale $a$ și $b$, cu $0 \le a < b$. Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n = \displaystyle \int_a^b f^n(x)\, dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.

---

Sursă PDF: 2021_E_c_Matematica_S1_M_mate-info_Subiect_02_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.