Subiectul BAC Mate-info 2021 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați modulul numărului complex $z = ( 2 + 3i )( 2 − 3i ) − ( 9 − 3i )$.

2. (5p) Se consideră funcțiile $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f ( x ) = x − 2$ și $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g ( x ) = 5 x + 20$. Calculați $( g \circ f )( 2 )$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{x−5} = \dfrac{1}{16}$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $8$.

5. (5p) Se consideră paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 4$, $BC = 6$ și măsura unghiului $ABC$ de $120°$. Determinați modulul vectorului $\overrightarrow{AM}$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BD$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB = 12$, $AC = 16$ și $BC = 20$. Arătați că $\dfrac{r}{R} = \dfrac{2}{5}$, unde $r$ este raza cercului înscris în triunghiul $ABC$ și $R$ este raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A ( a ) = \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a − 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} ax + y − 2 z = 2 \\ 2 x + y + 3z = 1 \\ ( 2a − 1) x + 2 y + z = a \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det ( A ( 4 ) ) = 5$.

b) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care matricea $A ( a )$ nu este inversabilă.

c) (5p) Pentru $a = 3$, determinați soluțiile $( x_0 , y_0 , z_0 )$ ale sistemului de ecuații pentru care $z_0^2 = x_0 + y_0$.

2. Pe mulțimea $G = (1, +\infty )$ se definește legea de compoziție asociativă $x \ast y = \sqrt{x^{\log_3 y}}$.

a) (5p) Arătați că $4 \ast 3 = 2$.

b) (5p) Arătați că $e = 9$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

c) (5p) Determinați $x \in G$, știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „$\ast$”.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f ( x ) = \left( x^2 − 9 \right)\left( x^2 − 4 \right) + 3$.

a) (5p) Arătați că $f ' ( x ) = 2 x \left( 2 x^2 − 13 \right)$, $x \in \mathbb{R}$.

b) (5p) Arătați că $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin ( x − 3)}{f ( x) − 3} = \dfrac{1}{30}$.

c) (5p) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $f ( x ) = m$ are exact patru soluții reale.

2. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f ( x ) = 2 x \operatorname{arctg} x$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{f ( x)}{\operatorname{arctg} x} \, dx = 3$.

b) (5p) Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $\displaystyle\int_{0}^{3} f ( x ) \, dx = \dfrac{\pi}{a} − 3$.

c) (5p) Demonstrați că $\displaystyle\int_{-1}^{1} x f ( x ) \, dx = 0$.

---

Sursă PDF: 2021_E_c_Matematica_SS_M_mate-info_Subiect_07_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.