Soluții BAC Mate-info 2021 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I

1. Avem

$$z=(2+3i)(2-3i)-(9-3i)=\left(2^2+3^2\right)-9+3i=13-9+3i=4+3i.$$

Prin urmare,

$$|z|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.$$

2. Calculăm compunerea în punctul $2$:

$$f(2)=2-2=0,\qquad (g\circ f)(2)=g(0)=5\cdot 0+20=20.$$

3. Ecuația este

$$4^{x-5}=\frac1{16}=4^{-2}.$$

Cum bazele sunt egale și $4>0,\ 4\ne 1$, rezultă

$$x-5=-2 \quad\Longrightarrow\quad x=3.$$

4. Sunt $900$ numere naturale de trei cifre, de la $100$ la $999$.

Pentru ca produsul cifrelor să fie $8$, toate cifrele sunt nenule. Tripletele de cifre cu produsul $8$ sunt permutările lui

$$(1,1,8),\quad (1,2,4),\quad (2,2,2).$$

Numărul cazurilor favorabile este

$$3+6+1=10.$$

Probabilitatea cerută este

$$P=\frac{10}{900}=\frac1{90}.$$

5. Notăm $\vec{BA}=\vec u$, $\vec{BC}=\vec v$, unde $|\vec u|=4$, $|\vec v|=6$ și $\angle(\vec u,\vec v)=120^\circ$. Dacă $B$ este originea, atunci

$$A=\vec u,\qquad D=\vec u+\vec v,\qquad M=\frac{\vec u+\vec v}{2}.$$

Deci

$$\vec{AM}=M-A=\frac{\vec v-\vec u}{2}.$$

Prin urmare,

$$|\vec v-\vec u|^2=|\vec v|^2+|\vec u|^2-2|\vec u||\vec v|\cos120^\circ =36+16-48\cdot\left(-\frac12\right)=76.$$

Rezultă

$$|\vec{AM}|=\frac{\sqrt{76}}2=\sqrt{19}.$$

6. Verificăm mai întâi că triunghiul este dreptunghic:

$$12^2+16^2=144+256=400=20^2.$$

Deci triunghiul este dreptunghic în $A$. Aria sa este

$$\Delta=\frac{12\cdot16}{2}=96,$$

iar semiperimetrul este

$$s=\frac{12+16+20}{2}=24.$$

Raza cercului înscris este

$$r=\frac{\Delta}{s}=\frac{96}{24}=4.$$

Pentru un triunghi dreptunghic, raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză:

$$R=\frac{20}{2}=10.$$

Astfel,

$$\frac rR=\frac4{10}=\frac25.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$A(a)= \begin{pmatrix} a&1&-2\\ 2&1&3\\ 2a-1&2&1 \end{pmatrix}.$$

• a) Pentru $a=4$,

$$A(4)= \begin{pmatrix} 4&1&-2\\ 2&1&3\\ 7&2&1 \end{pmatrix}.$$

Calculăm determinantul:

$$\det A(4) =4(1\cdot1-3\cdot2)-1(2\cdot1-3\cdot7)-2(2\cdot2-1\cdot7).$$ $$\det A(4)=4(1-6)-(2-21)-2(4-7)=-20+19+6=5.$$

• b) Calculăm determinantul pentru $a\in\mathbb R$:

$$\det A(a)= a(1\cdot1-3\cdot2)-1(2\cdot1-3(2a-1))-2(2\cdot2-1(2a-1)).$$ $$\det A(a)=-5a-(2-6a+3)-2(4-2a+1)=5a-15=5(a-3).$$

Matricea nu este inversabilă dacă și numai dacă determinantul este nul:

$$5(a-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad a=3.$$

• c) Pentru $a=3$, sistemul devine

$$\begin{cases} 3x+y-2z=2,\\ 2x+y+3z=1,\\ 5x+2y+z=3. \end{cases}$$

Scăzând a doua ecuație din prima, obținem

$$x-5z=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1+5z.$$

Din a doua ecuație:

$$2(1+5z)+y+3z=1 \quad\Longrightarrow\quad y=-1-13z.$$

A treia ecuație este verificată pentru orice $z$, deci soluțiile sistemului sunt

$$(x,y,z)=(1+5z,\,-1-13z,\,z),\qquad z\in\mathbb R.$$

Impunem condiția $z^2=x+y$:

$$z^2=(1+5z)+(-1-13z)=-8z.$$

Deci

$$z^2+8z=0 \quad\Longrightarrow\quad z(z+8)=0,$$

de unde $z=0$ sau $z=-8$. Soluțiile cerute sunt

$$(x_0,y_0,z_0)=(1,-1,0)$$

și

$$(x_0,y_0,z_0)=(-39,103,-8).$$

2. Pe $G=(1,+\infty)$, legea este

$$x*y=\sqrt{x^{\log_3 y}}.$$

• a) Deoarece $\log_3 3=1$, avem

$$4*3=\sqrt{4^{\log_3 3}}=\sqrt4=2.$$

• b) Pentru orice $x\in G$,

$$x*9=\sqrt{x^{\log_3 9}}=\sqrt{x^2}=x,$$

deoarece $x>1$. De asemenea,

$$9*x=\sqrt{9^{\log_3 x}} =\sqrt{(3^2)^{\log_3 x}} =\sqrt{(3^{\log_3 x})^2} =\sqrt{x^2}=x.$$

Așadar $9$ este element neutru pentru legea $*$.

• c) Dacă $x$ este egal cu simetricul său, atunci

$$x*x=e=9.$$

Prin urmare,

$$\sqrt{x^{\log_3 x}}=9.$$

Notăm $t=\log_3 x$. Deoarece $x\in(1,+\infty)$, avem $t>0$, iar $x=3^t$. Ecuația devine

$$\sqrt{(3^t)^t}=9 \quad\Longleftrightarrow\quad 3^{t^2/2}=3^2.$$

Rezultă

$$\frac{t^2}{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad t^2=4.$$

Cum $t>0$, avem $t=2$, deci

$$x=3^2=9.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră

$$f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3,\qquad x\in\mathbb R.$$

• a) Derivăm folosind regula produsului:

$$f'(x)=2x(x^2-4)+(x^2-9)2x.$$

Astfel,

$$f'(x)=2x\left[(x^2-4)+(x^2-9)\right] =2x(2x^2-13),\qquad x\in\mathbb R.$$

• b) Avem

$$f(x)-3=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x^2-4).$$

Atunci

$$\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{f(x)-3} =\lim_{x\to3} \frac{\sin(x-3)}{(x-3)(x+3)(x^2-4)}.$$

Scriem

$$\frac{\sin(x-3)}{(x-3)(x+3)(x^2-4)} =\frac{\sin(x-3)}{x-3}\cdot\frac1{(x+3)(x^2-4)}.$$

Prin urmare,

$$\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{f(x)-3} =1\cdot\frac1{6\cdot5} =\frac1{30}.$$

• c) Ecuația $f(x)=m$ este

$$(x^2-9)(x^2-4)+3=m.$$

Dezvoltând,

$$x^4-13x^2+39=m.$$

Notăm $t=x^2$, unde $t\ge 0$. Ecuația devine

$$t^2-13t+39=m.$$

Considerăm funcția

$$h(t)=t^2-13t+39,\qquad t\ge0.$$

Vârful parabolei este la

$$t_0=\frac{13}{2},$$

iar valoarea minimă este

$$h\left(\frac{13}{2}\right)=\frac{169}{4}-\frac{169}{2}+39=-\frac{13}{4}.$$

De asemenea,

$$h(0)=39.$$

Pentru ca ecuația în $x$ să aibă exact patru soluții reale, ecuația în $t\ge0$ trebuie să aibă exact două soluții distincte pozitive, fiecare dând câte două valori pentru $x$. Acest lucru se întâmplă exact când dreapta $y=m$ intersectează parabola pe ramura cu $t\ge0$ în două puncte pozitive:

$$-\frac{13}{4}<m<39.$$

Pentru $m=-\frac{13}{4}$ există o singură valoare pozitivă a lui $t$, iar pentru $m=39$ apare și $t=0$, care dă o singură soluție $x=0$, deci capetele nu se includ.

Răspuns:

$$m\in\left(-\frac{13}{4},\,39\right).$$

2. Se consideră

$$f(x)=2x\arctg x,\qquad x\in\mathbb R.$$

• a) Pe intervalul $[1,2]$, $\arctg x\ne0$, deci

$$\int_1^2\frac{f(x)}{\arctg x}\,dx =\int_1^2\frac{2x\arctg x}{\arctg x}\,dx =\int_1^2 2x\,dx.$$

Astfel,

$$\int_1^2 2x\,dx=\left.x^2\right|_1^2=4-1=3.$$

• b) Calculăm

$$\int_0^3 f(x)\,dx=\int_0^3 2x\arctg x\,dx.$$

Integrăm prin părți:

$$u=\arctg x,\qquad dv=2x\,dx,$$ $$du=\frac{1}{1+x^2}\,dx,\qquad v=x^2.$$

Rezultă

$$\int 2x\arctg x\,dx=x^2\arctg x-\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx.$$

Dar

$$\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac1{1+x^2},$$

deci

$$\int 2x\arctg x\,dx=x^2\arctg x-x+\arctg x=(x^2+1)\arctg x-x.$$

Prin urmare,

$$\int_0^3 f(x)\,dx=\left[(x^2+1)\arctg x-x\right]_0^3 =10\arctg 3-3.$$

Condiția din enunț este

$$10\arctg 3-3=\frac{\pi}{a}-3.$$

Rezultă

$$10\arctg 3=\frac{\pi}{a} \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{\pi}{10\arctg 3}.$$

Acest număr este nenul, deoarece $\arctg 3>0$.

• c) Avem

$$x f(x)=x\cdot 2x\arctg x=2x^2\arctg x.$$

Funcția $x^2$ este pară, iar $\arctg x$ este impară, deci produsul

$$2x^2\arctg x$$

este o funcție impară. Integrala unei funcții impare pe interval simetric este zero, așadar

$$\int_{-1}^{1}x f(x)\,dx=0.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Am rezolvat toate cele 18 subpuncte, în ordinea din subiect.
• Am verificat calculele numerice: modul complex, probabilitate, vectori, raze, determinant, sistem, limită, derivată și integrale.
• Am tratat condițiile de domeniu relevante: $G=(1,+\infty)$, $t=x^2\ge0$, $\arctg x\ne0$ pe $[1,2]$, simetria pe intervalul $[-1,1]$.
• Am exclus corect cazurile de margine la Subiectul III, 1.c, pentru exact patru soluții reale.