Subiectul BAC Mate-info 2021 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați media aritmetică a numerelor reale $a=2021-2$ și $b=2021+2$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+1$. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(1,m)$ aparține graficului funcției $f$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(x+3)+\log_3(x-3)=2$.

4. (5p) Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact $16$ submulțimi.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(3,0)$, $N(8,3)$ și $P(6,3)$. Determinați coordonatele punctului $Q$, știind că $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}$.

6. (5p) Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$ în care $\sin 2A\cdot\cos A=\sin A$. Arătați că $A=\dfrac{\pi}{4}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea

$$A(a)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a&0\\1+\log_2 a&0&1\end{pmatrix},$$

unde $a\in(0,+\infty)$.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1))=1$.
• b) (5p) Demonstrați că, pentru orice $a\in(0,+\infty)$, matricea $A(a)$ este inversabilă.
• c) (5p) Demonstrați că, pentru orice $a\in(0,+\infty)$, $\det\left(A(a)+(A(a))^{-1}\right)\ge 8$, unde $(A(a))^{-1}$ este inversa matricei $A(a)$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-m(x+y)+m(m+1)$, unde $m\in(0,+\infty)$.

• a) (5p) Pentru $m=1$, arătați că $2\circ 2=2$.
• b) (5p) Demonstrați că, dacă $2\circ 1=5$, atunci $2\circ 5=1$.
• c) (5p) Determinați numărul real $x$, știind că $(mx^3)\circ(-mx^2)=m$, pentru orice $m\in(0,+\infty)$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2-4\ln x$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{4(x^2+1)(x+1)(x-1)}{x}$, $x\in(0,+\infty)$.
• b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.
• c) (5p) Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții distincte în intervalul $(0,+\infty)$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=1+\dfrac{2x}{x^4+1}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1(x^4+1)f(x)\,dx=\dfrac{11}{5}$.
• b) (5p) Se consideră $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ o primitivă a funcției $f$. Știind că graficul funcției $F$ are asimptotă oblică spre $+\infty$, determinați panta acestei asimptote.
• c) (5p) Se consideră funcția $G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, primitiva funcției $f$ pentru care $G(0)=0$. Arătați că $\displaystyle\int_0^1 xG(x)\,dx=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}\ln 2$.

---

Sursă PDF: 2021_E_c_Matematica_S2_M_mate-info_Subiect_04_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.