Subiectul BAC Mate-info 2020 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul $z = \left(1 - i\sqrt{2}\right)\left(1 + i\sqrt{2}\right)$ este natural, unde $i^2 = -1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x + a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că $f(x) + f(1 - x) = 7$, pentru orice număr real $x$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^x + 5^{-x} = 2$.

4. (5p) Se consideră mulțimea $A = \{1,2,3,4,5\}$. Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $A$, care îl conțin pe 1.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $M(-4, 4)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $M$ și este perpendiculară pe dreapta $OM$.

6. (5p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ și $\sin B = \cos B$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ a^2+1 & a^2+2 & a^2+3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(0)) = -1$.

b) (5p) Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, matricea $A(a)$ este inversabilă.

c) (5p) Determinați numerele întregi $a$ pentru care inversa matricei $A(a)$ are toate elementele numere întregi.

2. Pe mulțimea $A = [1, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x \ast y = \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{x^3 y^3 - x^3 - y^3 + 9}$.

a) (5p) Arătați că $1 \ast 2020 = 1$.

b) (5p) Demonstrați că $x \ast y = \sqrt[3]{\dfrac{1}{8}\left(x^3 - 1\right)\left(y^3 - 1\right) + 1}$, pentru orice $x, y \in A$.

c) (5p) Determinați $x \in A$ pentru care $x \ast x = x$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{1}{x-2} + \ln\dfrac{x-1}{x}$.

a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{-3x + 4}{x(x - 1)(x - 2)^2}$, $x \in (2, +\infty)$.

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5p) Demonstrați că $\dfrac{1}{x-2} > \ln\dfrac{x}{x-1}$, pentru orice $x \in (2, +\infty)$.

2. Se consideră funcția $f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^3 + 1}}$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \left(x^3 + 1\right) f^2(x)\, dx = \dfrac{1}{3}$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\, dx = \dfrac{1}{3}\ln 2$.

c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n = \displaystyle\int_0^1 f(x^n)\, dx$. Demonstrați că $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.

---

Sursă PDF: 2020_E_c_Matematica_S1_M_mate-info_Subiect_06_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.