Subiectul BAC Mate-info 2020 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul $a = 3 + 2\sqrt{2} + \dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$ este natural.

2. (5p) Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$. Arătați că $(f \circ f)(1) = f(2) + 2$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x = 3 \cdot 3^x$.

4. (5p) Determinați numărul natural nenul $n$, știind că mulțimea $A = \{1,2,3,\ldots, n\}$ are exact 10 submulțimi cu două elemente.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,0)$, $N(7,0)$ și $A(a,3)$, unde $a$ este număr real. Știind că $AM = AN$, arătați că segmentul $AO$ are lungimea egală cu 5.

6. (5p) Se consideră $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ pentru care $3\cos x - 2 = 2\cos 2x$. Calculați $\cos x$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2-a & a \\ a & 1 & 1 \\ a & 2a-5 & a-2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} x + (2-a)y + az = 1 \\ ax + y + z = 2-a \\ ax + (2a-5)y + (a-2)z = -4 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(0)) = 3$.

b) (5p) Demonstrați că $\det(A(a)) = (a-1)(a-3)(3a+1)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5p) Determinați numărul natural $a$ pentru care sistemul are soluție unică $(x_0, y_0, z_0)$ și $x_0, y_0, z_0$ sunt numere naturale.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \ast y = \log_2\left(2^x + 2^y\right)$.

a) (5p) Arătați că $0 \ast 0 = 1$.

b) (5p) Demonstrați că legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

c) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $(x \ast x) \ast x = 3 + \log_2 3$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x^4 - x^2 + 1}$.

a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{x\left(2x^2 - 1\right)}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1}}$, $x \in \mathbb{R}$.

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5p) Demonstrați că, pentru orice $m \in \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$, ecuația $f(x) = m$ are exact patru soluții reale.

2. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 2x + 5}$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^2 x \cdot \dfrac{1}{f(x)}\, dx = \dfrac{31}{3}$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 g(x)\, dx = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{8}{5}$, unde $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = f(x) + \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}$.

c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n = \displaystyle\int_{-1}^{1} x^{2n-1} f(x)\, dx$. Demonstrați că $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0$.

---

Sursă PDF: 2020_E_c_Matematica_SS_M_mate-info_Subiect_01_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.