Soluții BAC Mate-info 2020 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I

1. Avem

$$a=3+2\sqrt2+\frac{1}{3+2\sqrt2}.$$

Raționalizăm:

$$\frac{1}{3+2\sqrt2}=\frac{3-2\sqrt2}{9-8}=3-2\sqrt2.$$

Prin urmare

$$a=3+2\sqrt2+3-2\sqrt2=6\in\mathbb N.$$

2. Pentru $f(x)=2x+1$, obținem

$$f(1)=3,\qquad (f\circ f)(1)=f(3)=7.$$

De asemenea,

$$f(2)+2=(2\cdot2+1)+2=5+2=7.$$

Deci $(f\circ f)(1)=f(2)+2$.

3. Ecuația este

$$9^x=3\cdot 3^x.$$

Scriem $9^x=(3^2)^x=3^{2x}$ și $3\cdot3^x=3^{x+1}$. Rezultă

$$3^{2x}=3^{x+1}\Rightarrow 2x=x+1\Rightarrow x=1.$$

Soluția este $\boxed{x=1}$.

4. Numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $\{1,2,\ldots,n\}$ este

$$\binom n2=\frac{n(n-1)}2.$$

Condiția devine

$$\frac{n(n-1)}2=10\Rightarrow n(n-1)=20\Rightarrow n^2-n-20=0.$$

Factorizăm:

$$(n-5)(n+4)=0.$$

Cum $n$ este natural nenul, rezultă $\boxed{n=5}$.

5. Din $AM=AN$, folosind formula distanței, avem

$$(a-1)^2+(3-0)^2=(a-7)^2+(3-0)^2.$$

Deci

$$(a-1)^2=(a-7)^2.$$

Rezultă

$$a-1=-(a-7)\Rightarrow 2a=8\Rightarrow a=4,$$

deoarece egalitatea $a-1=a-7$ este imposibilă. Atunci $A(4,3)$, iar

$$AO=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.$$

6. Notăm $c=\cos x$. Deoarece $x\in\left(0,\frac\pi2\right)$, avem $c>0$. Din

$$3\cos x-2=2\cos 2x$$

și $\cos 2x=2\cos^2x-1$, rezultă

$$3c-2=2(2c^2-1)=4c^2-2.$$

Prin urmare

$$3c=4c^2\Rightarrow c(4c-3)=0.$$

Cum $c>0$, obținem

$$\boxed{\cos x=\frac34}.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$A(a)= \begin{pmatrix} 1&2-a&a\\ a&1&1\\ a&2a-5&a-2 \end{pmatrix}.$$

• a) Pentru $a=0$,

$$A(0)= \begin{pmatrix} 1&2&0\\ 0&1&1\\ 0&-5&-2 \end{pmatrix}.$$

Dezvoltând după prima coloană,

$$\det A(0)=1\cdot \begin{vmatrix} 1&1\\ -5&-2 \end{vmatrix} =1\cdot(-2+5)=3.$$

• b) Calculăm determinantul:

$$\begin{aligned} \det A(a) &= \begin{vmatrix} 1&2-a&a\\ a&1&1\\ a&2a-5&a-2 \end{vmatrix}\\ &=(3-a)-(2-a)\,a(a-3)+a\cdot 2a(a-3)\\ &=3-a+a(a-3)(a-2)+2a^2(a-3)\\ &=(a-3)(3a^2-2a-1)\\ &=(a-3)(a-1)(3a+1). \end{aligned}$$

Deci

$$\boxed{\det A(a)=(a-1)(a-3)(3a+1)},\quad \forall a\in\mathbb R.$$

• c) Sistemul are soluție unică dacă și numai dacă

$$\det A(a)\ne0.$$

Pentru $a\in\mathbb N$, trebuie deci $a\ne1$ și $a\ne3$.

Din ecuațiile sistemului:

$$\begin{cases} x+(2-a)y+az=1\\ ax+y+z=2-a\\ ax+(2a-5)y+(a-2)z=-4 \end{cases}$$

scădem a doua ecuație din a treia:

$$(a-3)(2y+z)=a-6.$$

Cum $a\ne3$,

$$2y+z=\frac{a-6}{a-3}. \tag{1}$$

Scădem din a doua ecuație prima ecuație înmulțită cu $a$:

$$(a-1)\bigl((a-1)y-(a+1)z\bigr)=-2(a-1).$$

Cum $a\ne1$,

$$(a-1)y-(a+1)z=-2. \tag{2}$$

Rezolvând sistemul format din (1) și (2), obținem

$$y=\frac{a(a-7)}{(a-3)(3a+1)},\qquad z=\frac{a^2-3a-6}{(a-3)(3a+1)}.$$

Pentru $a=0$, sistemul devine

$$\begin{cases} x+2y=1\\ y+z=2\\ -5y-2z=-4 \end{cases}$$

și are soluția

$$(x_0,y_0,z_0)=(1,0,2),$$

formată din numere naturale. Valoarea $a=0$ este admisă, deoarece enunțul cere $a\in\mathbb N$, nu $a\in\mathbb N^*$.

Rămâne să excludem celelalte valori naturale admise:

• pentru $a=2$, $y=\frac{10}{7}$, deci $y\notin\mathbb N$;
• pentru $a=4,5,6$, avem $y<0$;
• pentru $a=7$, $z=\frac14$, deci $z\notin\mathbb N$;
• pentru $a\ge8$,

$$0<\frac{a(a-7)}{(a-3)(3a+1)}<1,$$

deoarece

$$(a-3)(3a+1)-a(a-7)=2a^2-a-3>0.$$

Deci $y\notin\mathbb N$.

Prin urmare, singura valoare este

$$\boxed{a=0}.$$

2. Legea de compoziție este

$$x*y=\log_2(2^x+2^y),\qquad x,y\in\mathbb R.$$

• a) Calculăm:

$$0*0=\log_2(2^0+2^0)=\log_2(1+1)=\log_2 2=1.$$

• b) Pentru orice $x,y\in\mathbb R$,

$$x*y=\log_2(2^x+2^y)=\log_2(2^y+2^x)=y*x.$$

Deci legea este comutativă.

• c) Mai întâi,

$$x*x=\log_2(2^x+2^x)=\log_2(2\cdot2^x)=\log_2(2^{x+1})=x+1.$$

Atunci

$$(x*x)*x=(x+1)*x=\log_2(2^{x+1}+2^x) =\log_2(3\cdot2^x)=x+\log_2 3.$$

Condiția devine

$$x+\log_2 3=3+\log_2 3,$$

de unde

$$\boxed{x=3}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f(x)=\sqrt{x^4-x^2+1}.$$

• a) Observăm că

$$x^4-x^2+1=\left(x^2-\frac12\right)^2+\frac34>0,$$

deci funcția este derivabilă pe $\mathbb R$. Avem

$$\begin{aligned} f'(x) &=\frac{(x^4-x^2+1)'}{2\sqrt{x^4-x^2+1}}\\ &=\frac{4x^3-2x}{2\sqrt{x^4-x^2+1}}\\ &=\frac{x(2x^2-1)}{\sqrt{x^4-x^2+1}}, \end{aligned}$$

pentru orice $x\in\mathbb R$.

• b) Pentru $x_0=1$,

$$f(1)=\sqrt{1-1+1}=1$$

și

$$f'(1)=\frac{1\cdot(2-1)}{\sqrt{1-1+1}}=1.$$

Ecuația tangentei este

$$y-f(1)=f'(1)(x-1),$$

adică

$$y-1=x-1\Rightarrow \boxed{y=x}.$$

• c) Fie

$$m\in\left(\frac{\sqrt3}{2},1\right).$$

Ecuația $f(x)=m$ devine

$$\sqrt{x^4-x^2+1}=m.$$

Cum $m>0$, putem ridica la pătrat:

$$x^4-x^2+1=m^2.$$

Notăm $t=x^2$, cu $t\ge0$. Obținem ecuația

$$t^2-t+1-m^2=0.$$

Discriminantul este

$$\Delta=1-4(1-m^2)=4m^2-3.$$

Pentru $m>\frac{\sqrt3}{2}$, avem $\Delta>0$. Notăm

$$\delta=\sqrt{4m^2-3}.$$

Cum $m<1$, rezultă $0<\delta<1$. Rădăcinile ecuației în $t$ sunt

$$t_1=\frac{1-\delta}{2},\qquad t_2=\frac{1+\delta}{2}.$$

Din $0<\delta<1$ rezultă

$$t_1>0,\qquad t_2>0,\qquad t_1\ne t_2.$$

Fiecare dintre ecuațiile $x^2=t_1$ și $x^2=t_2$ are câte două soluții reale distincte. Prin urmare, ecuația $f(x)=m$ are exact patru soluții reale.

2. Se consideră

$$f(x)=\frac{x}{x^2+2x+5}.$$

• a) Pe intervalul $[1,2]$, $x\ne0$, deci

$$x\cdot\frac1{f(x)} =x\cdot\frac{x^2+2x+5}{x} =x^2+2x+5.$$

Prin urmare

$$\begin{aligned} \int_1^2 x\cdot\frac1{f(x)}\,dx &=\int_1^2 (x^2+2x+5)\,dx\\ &=\left(\frac{x^3}{3}+x^2+5x\right)_1^2\\ &=\left(\frac83+4+10\right)-\left(\frac13+1+5\right)\\ &=\frac{31}{3}. \end{aligned}$$

• b) În enunț, funcția este

$$g(x)=f(x)+\frac{1}{x^2+2x+5}.$$

Atunci

$$g(x)=\frac{x}{x^2+2x+5}+\frac{1}{x^2+2x+5} =\frac{x+1}{x^2+2x+5}.$$

Cum

$$(x^2+2x+5)'=2x+2=2(x+1),$$

rezultă

$$\begin{aligned} \int_0^1 g(x)\,dx &=\int_0^1 \frac{x+1}{x^2+2x+5}\,dx\\ &=\frac12\left[\ln(x^2+2x+5)\right]_0^1\\ &=\frac12(\ln 8-\ln 5)\\ &=\frac12\ln\frac85. \end{aligned}$$

• c) Pentru $n\in\mathbb N^*$,

$$I_n=\int_{-1}^{1} x^{2n-1}f(x)\,dx =\int_{-1}^{1}\frac{x^{2n}}{x^2+2x+5}\,dx.$$

Pe $[-1,1]$,

$$x^2+2x+5=(x+1)^2+4\ge4.$$

Deoarece $x^{2n}\ge0$, avem

$$0\le I_n\le \int_{-1}^{1}\frac{x^{2n}}4\,dx =\frac14\cdot\frac{2}{2n+1} =\frac{1}{2(2n+1)}.$$

Cum

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2(2n+1)}=0,$$

din criteriul cleștelui rezultă

$$\boxed{\lim_{n\to+\infty} I_n=0}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte sunt rezolvate în ordine.
• Calculele numerice, determinanții, condițiile de unicitate și cazurile pentru parametrul $a$ au fost verificate.
• La Subiectul III.1, funcția este tratată pe domeniul real, iar condiția pentru parametrul $m$ este folosită la demonstrarea numărului exact de soluții.
• Domeniile, condițiile de pozitivitate și argumentele pentru numărul exact de soluții au fost precizate.
• Rezultatele finale sunt simplificate și evidențiate.