Subiectul BAC Mate-info 2020 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex $z = 2 + i$. Arătați că $z^2 - 4z + 5 = 0$.

2. (5p) Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + x + a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $M(0, 2)$ aparține graficului funcției $f$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x = \sqrt[3]{x^3 + 2x}$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, acesta să aibă cifra zecilor egală cu $2$ și cifra unităților egală cu $3$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(2,3)$ și $C(4, a)$, unde $a$ este un număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $C$ este situat pe mediatoarea segmentului $AB$.

6. (5p) Măsurile unghiurilor $A$, $B$ și $C$ ale triunghiului $ABC$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului $B$ este egală cu $\dfrac{\pi}{3}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 + \ln x \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x \in (0, +\infty)$.

a) (5p) Arătați că $\det(A(1)) = 1$.

b) (5p) Demonstrați că $A(x) A(y) = A(y) A(x)$, pentru orice $x, y \in (0, +\infty)$.

c) (5p) Determinați numărul natural $n$ pentru care $A\left(\dfrac{1}{3}\right) \cdot A\left(\dfrac{1}{2}\right) \cdot A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \ast y = xy - 4(x + y) + a$, unde $a$ este număr real.

a) (5p) Pentru $a = 10$, arătați că $1 \ast 2 = 0$.

b) (5p) Pentru $a = 20$, arătați că $e = 5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

c) (5p) Demonstrați că, dacă $a \in [20, +\infty)$, atunci mulțimea $H = [4, +\infty)$ este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „$\ast$”.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to (0, +\infty)$, $f(x) = 6^x - 3^x + 2^x$.

a) (5p) Arătați că $f'(0) = \ln 4$.

b) (5p) Se consideră tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$, situat pe graficul funcției $f$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(a, \ln(16e))$ este situat pe această tangentă.

c) (5p) Calculați $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(f(x))}{x}$.

2. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 1 - \dfrac{2x}{x^2 + 3} - \dfrac{2}{x^2 + 3}$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^2 (x^2 + 3) f(x)\, dx = \dfrac{1}{3}$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = 1 - \ln\dfrac{4}{3} - \dfrac{\pi\sqrt{3}}{9}$.

c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n = \displaystyle\int_0^1 f^n(x)\, dx$. Arătați că $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.

---

Sursă PDF: 2020_E_c_Matematica_S2_M_mate-info_Subiect_03_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.