Soluții BAC Mate-info 2020 · August–Septembrie

SUBIECTUL I

1. Se consideră $z=2+i$.

$$z^2=(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i.$$

Atunci

$$z^2-4z+5=(3+4i)-4(2+i)+5=3+4i-8-4i+5=0.$$

2. Funcția este $f(x)=x^2+x+a$, iar punctul $M(0,2)$ aparține graficului.

Deci $f(0)=2$. Cum

$$f(0)=0^2+0+a=a,$$

rezultă

$$\boxed{a=2}.$$

3. Rezolvăm ecuația

$$x=\sqrt[3]{x^3+2x}.$$

Funcția $t\mapsto t^3$ este injectivă pe $\mathbb{R}$, deci putem ridica la puterea a treia:

$$x^3=x^3+2x \iff 2x=0 \iff x=0.$$

Verificare:

$$\sqrt[3]{0^3+2\cdot 0}=0.$$

Soluția este

$$\boxed{x=0}.$$

4. Numerele de cinci cifre distincte formate cu cifrele din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$ sunt toate permutările celor 5 cifre, deci sunt

$$5!=120.$$

Pentru ca cifra zecilor să fie $2$ și cifra unităților să fie $3$, ultimele două poziții sunt fixate. Celelalte trei poziții se completează cu cifrele $1,4,5$, în

$$3!=6$$

moduri. Probabilitatea cerută este

$$P=\frac{6}{120}=\boxed{\frac{1}{20}}.$$

5. Punctul $C(4,a)$ este pe mediatoarea segmentului $AB$, deci este egal depărtat de $A(0,1)$ și $B(2,3)$:

$$CA=CB.$$

Folosim pătratele distanțelor:

$$CA^2=(4-0)^2+(a-1)^2=16+(a-1)^2,$$ $$CB^2=(4-2)^2+(a-3)^2=4+(a-3)^2.$$

Egalând:

$$16+(a-1)^2=4+(a-3)^2.$$ $$16+a^2-2a+1=4+a^2-6a+9$$ $$17-2a=13-6a \iff 4a=-4 \iff a=-1.$$

Prin urmare,

$$\boxed{a=-1}.$$

6. Măsurile unghiurilor $A,B,C$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Există un număr real $r$ astfel încât

$$A=B-r,\qquad C=B+r.$$

În orice triunghi,

$$A+B+C=\pi.$$

Deci

$$(B-r)+B+(B+r)=\pi \iff 3B=\pi \iff B=\frac{\pi}{3}.$$

Așadar măsura unghiului $B$ este

$$\boxed{\frac{\pi}{3}}.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Pentru $x\in(0,+\infty)$,

$$A(x)= \begin{pmatrix} 1&0&1+\ln x\\ 0&x&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

• a) Pentru $x=1$, avem $\ln 1=0$, deci

$$A(1)= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Matricea este triunghiulară superior, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală:

$$\det(A(1))=1\cdot 1\cdot 1=\boxed{1}.$$

• b) Pentru $x,y\in(0,+\infty)$, calculăm:

$$A(x)A(y)= \begin{pmatrix} 1&0&1+\ln x\\ 0&x&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&1+\ln y\\ 0&y&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&2+\ln x+\ln y\\ 0&xy&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Similar,

$$A(y)A(x)= \begin{pmatrix} 1&0&2+\ln y+\ln x\\ 0&yx&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Cum $xy=yx$ și $\ln x+\ln y=\ln y+\ln x$, rezultă

$$\boxed{A(x)A(y)=A(y)A(x)}.$$

• c) Din calculul de la punctul b), pentru un produs de astfel de matrice, elementul de pe poziția $(2,2)$ este produsul parametrilor, iar elementul de pe poziția $(1,3)$ este suma termenilor $1+\ln x$.

Pentru

$$A\left(\frac13\right)A\left(\frac12\right)A(1)A(2)A(3),$$

elementul de pe poziția $(2,2)$ este

$$\frac13\cdot\frac12\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1.$$

Elementul de pe poziția $(1,3)$ este

$$\left(1+\ln\frac13\right)+\left(1+\ln\frac12\right)+(1+\ln 1)+(1+\ln 2)+(1+\ln 3).$$ $$=5+\ln\left(\frac13\cdot\frac12\cdot 1\cdot 2\cdot 3\right)=5+\ln 1=5.$$

Prin urmare

$$A\left(\frac13\right)A\left(\frac12\right)A(1)A(2)A(3)= \begin{pmatrix} 1&0&5\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix},$$

deci

$$\boxed{n=5}.$$

2. Legea de compoziție este

$$x*y=xy-4(x+y)+a.$$

• a) Pentru $a=10$,

$$1*2=1\cdot 2-4(1+2)+10=2-12+10=0.$$

Deci

$$\boxed{1*2=0}.$$

• b) Pentru $a=20$, verificăm dacă $e=5$ este element neutru. Pentru orice $x\in\mathbb{R}$,

$$x*5=5x-4(x+5)+20=5x-4x-20+20=x,$$

iar

$$5*x=5x-4(5+x)+20=5x-20-4x+20=x.$$

Așadar $5$ este element neutru:

$$\boxed{e=5}.$$

• c) Trebuie să demonstrăm că, pentru $a\in[20,+\infty)$, dacă $x,y\in H=[4,+\infty)$, atunci $x*y\in H$.

Pentru $x,y\ge 4$,

$$x*y=xy-4x-4y+a=(x-4)(y-4)+a-16.$$

Cum $x-4\ge 0$, $y-4\ge 0$ și $a\ge 20$, avem

$$(x-4)(y-4)\ge 0,\qquad a-16\ge 4.$$

Deci

$$x*y=(x-4)(y-4)+a-16\ge 4.$$

Prin urmare $x*y\in[4,+\infty)=H$, deci $H$ este parte stabilă în raport cu legea $*$.

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră

$$f:\mathbb{R}\to(0,+\infty),\qquad f(x)=6^x-3^x+2^x.$$

• a) Derivăm:

$$f'(x)=6^x\ln 6-3^x\ln 3+2^x\ln 2.$$

Pentru $x=0$,

$$f'(0)=\ln 6-\ln 3+\ln 2=\ln\frac{6\cdot 2}{3}=\ln 4.$$

Deci

$$\boxed{f'(0)=\ln 4}.$$

• b) Punctul de tangență are abscisa $0$, deci ordonata este

$$f(0)=6^0-3^0+2^0=1-1+1=1.$$

Ecuația tangentei în $x=0$ este

$$y=f(0)+f'(0)(x-0)=1+x\ln 4.$$

Punctul $A(a,\ln(16e))$ aparține acestei tangente dacă

$$\ln(16e)=1+a\ln 4.$$

Cum

$$\ln(16e)=\ln 16+\ln e=\ln 16+1,$$

obținem

$$1+\ln 16=1+a\ln 4 \iff a=\frac{\ln 16}{\ln 4}=2.$$

Prin urmare,

$$\boxed{a=2}.$$

• c) Calculăm

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(f(x))}{x}.$$

Avem $f(0)=1$, deci $\ln(f(0))=0$. Aplicând regula lui l’Hospital:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(f(x))}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{\ln 4}{1} = \boxed{\ln 4}.$$

2. Se consideră

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=1-\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}.$$

Observăm că

$$f(x)=\frac{x^2+3-2x-2}{x^2+3} = \frac{x^2-2x+1}{x^2+3} = \frac{(x-1)^2}{x^2+3}.$$

• a) Din forma simplificată,

$$(x^2+3)f(x)=(x-1)^2.$$

Atunci

$$\int_1^2 (x^2+3)f(x)\,dx = \int_1^2 (x-1)^2\,dx = \left.\frac{(x-1)^3}{3}\right|_1^2 = \frac{1}{3}-0 = \boxed{\frac{1}{3}}.$$

• b) Folosim forma inițială:

$$\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1\left(1-\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}\right)\,dx.$$

Calculăm pe rând:

$$\int_0^1 1\,dx=1,$$ $$\int_0^1\frac{2x}{x^2+3}\,dx = \left.\ln(x^2+3)\right|_0^1 = \ln 4-\ln 3 = \ln\frac{4}{3},$$

iar

$$\int_0^1\frac{2}{x^2+3}\,dx = \frac{2}{\sqrt3}\left.\arctan\frac{x}{\sqrt3}\right|_0^1 = \frac{2}{\sqrt3}\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt3} = \frac{\pi\sqrt3}{9}.$$

Prin urmare,

$$\int_0^1 f(x)\,dx = 1-\ln\frac{4}{3}-\frac{\pi\sqrt3}{9}.$$

Deci

$$\boxed{\int_0^1 f(x)\,dx=1-\ln\frac{4}{3}-\frac{\pi\sqrt3}{9}}.$$

• c) Pentru $x\in[0,1]$,

$$f(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+3}\ge 0.$$

Mai arătăm că $f(x)\le \frac13$. Pentru $x\in[0,1]$,

$$\frac{(x-1)^2}{x^2+3}\le \frac13 \iff 3(x-1)^2\le x^2+3$$ $$\iff 3x^2-6x+3\le x^2+3 \iff 2x^2-6x\le 0 \iff 2x(x-3)\le 0.$$

Ultima inegalitate este adevărată pentru $x\in[0,1]$. Deci

$$0\le f(x)\le \frac13,\qquad x\in[0,1].$$

În notația subiectului, $f^n(x)=(f(x))^n$. Pentru $n\in\mathbb{N}^*$,

$$0\le f^n(x)\le \left(\frac13\right)^n,\qquad x\in[0,1].$$

Integrând pe $[0,1]$, obținem

$$0\le I_n=\int_0^1 f^n(x)\,dx\le \int_0^1\left(\frac13\right)^n\,dx=\left(\frac13\right)^n.$$

Cum

$$\lim_{n\to+\infty}\left(\frac13\right)^n=0,$$

din teorema cleștelui rezultă

$$\boxed{\lim_{n\to+\infty} I_n=0}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 6 itemuri de la SUBIECTUL I sunt rezolvate în ordine, cu verificări unde este necesar.
• La SUBIECTUL al II-lea sunt calculate determinantul, produsele de matrice și condiția de stabilitate pentru legea de compoziție.
• La SUBIECTUL al III-lea sunt justificate derivata, tangenta, limita, integralele și estimarea pentru șirul $I_n$.
• Formulele ambigue din conversia PDF au fost verificate după imaginea subiectului: $\sqrt[3]{x^3+2x}$, $6^x-3^x+2^x$, respectiv $1-\frac{2x}{x^2+3}-\frac{2}{x^2+3}$.
• Calculele finale și condițiile de domeniu folosite sunt consecvente cu cerințele pentru punctaj maxim.