Soluții BAC Mate-info 2022 · August–Septembrie

SUBIECTUL I

1. Deoarece $i^2=-1$, avem

$$2i(3-i)-6i=6i-2i^2-6i=-2(-1)=2.$$

Deci egalitatea este adevărată.

2. Funcția este $f(x)=x^2-mx$. Calculăm:

$$f(-1)=(-1)^2-m(-1)=1+m,\qquad f(1)=1^2-m\cdot 1=1-m.$$

Condiția $f(-1)=f(1)$ devine

$$1+m=1-m \Longleftrightarrow 2m=0 \Longleftrightarrow m=0.$$

Prin urmare, $m=0$.

3. Scriem ambele puteri în baza $3$:

$$27^{x-1}=9^x \Longleftrightarrow (3^3)^{x-1}=(3^2)^x \Longleftrightarrow 3^{3x-3}=3^{2x}.$$

Cum funcția exponențială de bază $3$ este injectivă,

$$3x-3=2x \Longleftrightarrow x=3.$$

Soluția este $x=3$.

4. Numerele naturale de două cifre sunt de la $10$ la $99$, deci sunt $90$ cazuri posibile.

Pentru ca ambele cifre să fie mai mici sau egale cu $3$, cifra zecilor poate fi $1,2,3$, iar cifra unităților poate fi $0,1,2,3$. Rezultă

$$3\cdot 4=12$$

cazuri favorabile. Probabilitatea este

$$P=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}.$$

5. Notăm $C(a,b)$. Atunci

$$\overrightarrow{AC}=(a-3,b-2),\qquad \overrightarrow{BC}=(a-1,b+1).$$

Condiția $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}$ dă sistemul

$$\begin{cases} a-3=2(a-1)\\ b-2=2(b+1) \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=-4 \end{cases}.$$

Prin urmare, $C(-1,-4)$.

6. Pentru $x=\dfrac{\pi}{4}$, obținem

$$E\left(\frac{\pi}{4}\right) =\sin\frac{\pi}{2}-2\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\cdot \sin\frac{\pi}{6}.$$

Folosind valorile cunoscute

$$\sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1,\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$

rezultă

$$E\left(\frac{\pi}{4}\right)=1-2\cdot 1\cdot \frac12=0.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$A(x)=\begin{pmatrix} x&1-x&1\\ 1-x&x&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}.$$

a) Pentru $x=0$,

$$A(0)=\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}.$$

Calculăm determinantul:

$$\det(A(0)) =0\cdot(0\cdot 0-1\cdot 1) -1\cdot(1\cdot 0-1\cdot 1) +1\cdot(1\cdot 1-0\cdot 1).$$

Deci

$$\det(A(0))=0-(-1)+1=2.$$

b) Avem

$$A(1)=\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}.$$

Calculăm produsul:

$$A(1)A(x)= \begin{pmatrix} x+1&2-x&1\\ 2-x&x+1&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix}.$$

De asemenea,

$$A(x-1)= \begin{pmatrix} x-1&2-x&1\\ 2-x&x-1&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}.$$

Prin scădere,

$$A(1)A(x)-A(x-1)= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix} =2I_3.$$

Relația este adevărată pentru orice $x\in\mathbb{R}$.

c) Din punctul b),

$$A(1)A(x)=A(x-1)+2I_3.$$

Atunci

$$A(1)A(1)A(x) =A(1)\bigl(A(x-1)+2I_3\bigr) =A(1)A(x-1)+2A(1).$$

Aplicând din nou relația de la b), cu $x$ înlocuit prin $x-1$,

$$A(1)A(x-1)=A(x-2)+2I_3.$$

Prin urmare,

$$A(1)A(1)A(x)=A(x-2)+2I_3+2A(1).$$

Ecuația cerută devine

$$A(x-2)+2I_3+2A(1)=3A(1)+2I_3,$$

adică

$$A(x-2)=A(1).$$

Comparând elementele de pe poziția $(1,1)$, obținem

$$x-2=1 \Longleftrightarrow x=3.$$

Numărul real cerut este $x=3$.

2. Pe $M=[0,+\infty)$ este definită legea

$$x\ast y=\frac{xy(x+y)}{xy+1}.$$

Pentru $x,y\in M$, avem $xy+1>0$, deci expresia este bine definită. În plus, numărătorul este nenegativ, deci $x\ast y\in M$.

a) Calculăm direct:

$$1\ast 3=\frac{1\cdot 3(1+3)}{1\cdot 3+1} =\frac{12}{4}=3.$$

b) Pentru orice $x\in M$,

$$x\ast 1=\frac{x\cdot 1(x+1)}{x\cdot 1+1} =\frac{x(x+1)}{x+1}=x,$$

deoarece $x+1>0$. De asemenea,

$$1\ast x=\frac{1\cdot x(1+x)}{1\cdot x+1} =x.$$

Deci $e=1$ este element neutru pentru legea $\ast$.

c) Fie $m,n\in\mathbb{N}^*$, cu $m\le n$. Calculăm:

$$\frac1m\ast \frac1n =\frac{\frac1m\cdot \frac1n\left(\frac1m+\frac1n\right)} {\frac1m\cdot \frac1n+1}.$$

Cum

$$\frac1m+\frac1n=\frac{m+n}{mn},$$

rezultă

$$\frac1m\ast \frac1n =\frac{\frac{m+n}{m^2n^2}}{\frac{1+mn}{mn}} =\frac{m+n}{mn(mn+1)}.$$

Pe de altă parte,

$$m\ast n=\frac{mn(m+n)}{mn+1}.$$

Condiția din enunț devine

$$\frac{m+n}{mn(mn+1)} =\frac1{16}\cdot \frac{mn(m+n)}{mn+1}.$$

Deoarece $m+n>0$ și $mn+1>0$, putem simplifica:

$$\frac1{mn}=\frac{mn}{16} \Longleftrightarrow (mn)^2=16.$$

Cum $m,n\in\mathbb{N}^*$, avem $mn=4$. Perechile cu $m\le n$ sunt

$$(m,n)\in\{(1,4),(2,2)\}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\frac{x^2-3x+1}{e^x}.$$

a) Scriem

$$f(x)=(x^2-3x+1)e^{-x}.$$

Derivând,

$$f'(x)=(2x-3)e^{-x}-(x^2-3x+1)e^{-x}.$$

Astfel,

$$f'(x)=(-x^2+5x-4)e^{-x} =\frac{-x^2+5x-4}{e^x}.$$

Dar

$$-x^2+5x-4=(x-1)(4-x),$$

deci

$$f'(x)=\frac{(x-1)(4-x)}{e^x},\qquad x\in\mathbb{R}.$$

b) Pentru asimptota orizontală spre $+\infty$, calculăm:

$$\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3x+1}{e^x}=0,$$

deoarece exponențiala $e^x$ crește mai repede decât orice polinom. Așadar, dreapta

$$y=0$$

este asimptotă orizontală spre $+\infty$, adică axa $Ox$.

c) Funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$. Din punctul a),

$$f'(x)=\frac{(x-1)(4-x)}{e^x},$$

iar $e^x>0$ pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Semnul derivatei este semnul produsului $(x-1)(4-x)$:

$$f'(x)<0 \text{ pe }(-\infty,1),\qquad f'(x)>0 \text{ pe }(1,4),\qquad f'(x)<0 \text{ pe }(4,+\infty).$$

Deci $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty,1]$, strict crescătoare pe $[1,4]$ și strict descrescătoare pe $[4,+\infty)$.

Mai avem

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty,\qquad f(1)=\frac{1-3+1}{e}=-\frac1e.$$

Prin continuitate și strictă monotonie pe $(-\infty,1]$, pentru orice $n\in\mathbb{N}^*$, ecuația $f(x)=n$ are exact o soluție pe $(-\infty,1]$, deoarece

$$f\bigl((-\infty,1]\bigr)=\left[-\frac1e,+\infty\right)$$

și

$$n\in\left[-\frac1e,+\infty\right).$$

Rămâne să verificăm că nu există soluții pentru $x\ge 1$. Pe intervalul $[1,+\infty)$, valoarea maximă a funcției este atinsă în $x=4$, iar

$$f(4)=\frac{16-12+1}{e^4}=\frac5{e^4}<1.$$

Inegalitatea $\frac5{e^4}<1$ rezultă din $e^4>1+4=5$. Cum $n\in\mathbb{N}^*$, avem $n\ge 1$, deci

$$f(x)\le \frac5{e^4}<1\le n,\qquad x\ge 1.$$

Nu există alte soluții. Prin urmare, ecuația $f(x)=n$ are soluție unică pentru orice $n\in\mathbb{N}^*$.

2. Se consideră

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x\sqrt{x^2+4}.$$

a) Avem

$$\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}} =\frac{x\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}} =x.$$

Prin urmare,

$$\int_0^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}\,dx =\int_0^2 x\,dx =\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^2 =2.$$

b) Calculăm

$$\int_0^{\sqrt5}f(x)\,dx =\int_0^{\sqrt5}x\sqrt{x^2+4}\,dx.$$

Folosim substituția

$$u=x^2+4,\qquad du=2x\,dx.$$

Când $x=0$, $u=4$, iar când $x=\sqrt5$, $u=9$. Deci

$$\int_0^{\sqrt5}x\sqrt{x^2+4}\,dx =\frac12\int_4^9 u^{1/2}\,du =\frac12\cdot \left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_4^9.$$

Rezultă

$$\int_0^{\sqrt5}f(x)\,dx =\frac13\left(9^{3/2}-4^{3/2}\right) =\frac13(27-8) =\frac{19}{3}.$$

c) Pentru $n\ge 2$,

$$I_n=\int_1^2 \frac{x^n}{f^2(x)}\,dx.$$

Deoarece

$$f^2(x)=x^2(x^2+4),$$

obținem

$$I_n=\int_1^2 \frac{x^n}{x^2(x^2+4)}\,dx =\int_1^2 \frac{x^{n-2}}{x^2+4}\,dx.$$

Atunci

$$I_{n+2}=\int_1^2 \frac{x^n}{x^2+4}\,dx.$$

Prin urmare,

$$I_{n+2}+4I_n =\int_1^2 \frac{x^n}{x^2+4}\,dx +4\int_1^2 \frac{x^{n-2}}{x^2+4}\,dx.$$

Adunând integralele,

$$I_{n+2}+4I_n =\int_1^2 \frac{x^n+4x^{n-2}}{x^2+4}\,dx =\int_1^2 \frac{x^{n-2}(x^2+4)}{x^2+4}\,dx.$$

Deci

$$I_{n+2}+4I_n=\int_1^2 x^{n-2}\,dx =\left.\frac{x^{n-1}}{n-1}\right|_1^2 =\frac{2^{n-1}-1}{n-1}.$$

Condiția din enunț devine

$$\frac{2^{n-1}-1}{n-1}=\frac3{n-1}.$$

Cum $n\ge 2$, avem $n-1>0$, deci

$$2^{n-1}-1=3 \Longleftrightarrow 2^{n-1}=4=2^2 \Longleftrightarrow n-1=2.$$

Astfel,

$$n=3.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 6 exerciții din SUBIECTUL I sunt rezolvate în ordine, cu calcule explicite.
• Toate subpunctele din SUBIECTUL al II-lea sunt justificate: determinant, identitate matricială, ecuație matricială și lege de compoziție.
• Toate subpunctele din SUBIECTUL al III-lea sunt rezolvate riguros: derivare, asimptotă, unicitatea soluției, integrale și determinarea lui $n$.
• Domeniile și condițiile relevante au fost menționate: $x\in\mathbb{R}$, $M=[0,+\infty)$, $m,n\in\mathbb{N}^*$, $n\ge 2$.
• Rezultatele finale au fost simplificate și verificate.