Soluții BAC Mate-info 2022 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I

1.

Calculăm:

$$5(1+2i)-2i(5-i)=5+10i-(10i-2i^2).$$

Cum $i^2=-1$, avem:

$$10i-2i^2=10i+2.$$

Prin urmare:

$$5(1+2i)-2i(5-i)=5+10i-10i-2=3.$$

Deci egalitatea este adevărată.

2.

Avem $f(x)=x^2-2x-3$. Condiția $f(a)=1+a^2$ devine:

$$a^2-2a-3=1+a^2.$$

Scădem $a^2$ din ambii membri:

$$-2a-3=1 \Longleftrightarrow -2a=4 \Longleftrightarrow a=-2.$$

Răspuns:

$$\boxed{a=-2}.$$

3.

Ecuația este

$$\log_3(2x^2+1)=2.$$

Argumentul este pozitiv pentru orice $x\in\mathbb R$, deoarece $2x^2+1>0$. Din definiția logaritmului:

$$2x^2+1=3^2=9.$$

Rezultă:

$$2x^2=8 \Longleftrightarrow x^2=4 \Longleftrightarrow x=\pm 2.$$

Soluțiile reale sunt:

$$\boxed{x\in\{-2,2\}}.$$

4.

Numerele naturale de două cifre sunt de la $10$ la $99$, deci sunt $90$ de cazuri posibile.

Cifrele impare sunt:

$$1,3,5,7,9.$$

Cifra zecilor poate fi aleasă în $5$ moduri, iar cifra unităților trebuie să fie impară și distinctă de cifra zecilor, deci poate fi aleasă în $4$ moduri.

Numărul cazurilor favorabile este:

$$5\cdot 4=20.$$

Probabilitatea cerută este:

$$P=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}.$$

Răspuns:

$$\boxed{\frac{2}{9}}.$$

5.

Punctele sunt $A(2,0)$, $B(1,6)$, $C(4,2)$. Calculăm:

$$\overrightarrow{AB}=(1-2,\;6-0)=(-1,6).$$

Fie $D(x_D,y_D)$. Atunci:

$$\overrightarrow{DC}=(4-x_D,\;2-y_D).$$

Condiția $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ dă sistemul:

$$\begin{cases} 4-x_D=-1,\\ 2-y_D=6. \end{cases}$$

De aici:

$$x_D=5,\qquad y_D=-4.$$

Prin urmare:

$$\boxed{D(5,-4)}.$$

6.

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci $BC$ este ipotenuza și $BC=10$.

Avem:

$$\sin B=\frac{AC}{BC},\qquad \sin C=\frac{AB}{BC}.$$

Condiția $\sin B=2\sin C$ devine:

$$\frac{AC}{BC}=2\cdot \frac{AB}{BC}.$$

Cum $BC\neq 0$, rezultă:

$$AC=2AB.$$

Din teorema lui Pitagora:

$$AB^2+AC^2=BC^2.$$

Înlocuim $AC=2AB$ și $BC=10$:

$$AB^2+(2AB)^2=10^2 \Longleftrightarrow 5AB^2=100 \Longleftrightarrow AB^2=20.$$

Deoarece $AB>0$, obținem:

$$AB=\sqrt{20}=2\sqrt 5.$$

Deci:

$$\boxed{AB=2\sqrt 5}.$$

SUBIECTUL al II-lea

1.

Se consideră

$$A(x)= \begin{pmatrix} x+1&-x&0\\ x&1-x&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

a)

Pentru $x=1$,

$$A(1)= \begin{pmatrix} 2&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Determinantul este:

$$\det(A(1))= 1\cdot \begin{vmatrix} 2&-1\\ 1&0 \end{vmatrix} =2\cdot 0-(-1)\cdot 1=1.$$

Deci:

$$\boxed{\det(A(1))=1}.$$

b)

Calculăm:

$$A(x)-I_3= \begin{pmatrix} x&-x&0\\ x&-x&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

Atunci:

$$(A(x)-I_3)^2= \begin{pmatrix} x&-x&0\\ x&-x&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x&-x&0\\ x&-x&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

Elementele nenule posibile din blocul de ordin $2$ sunt:

$$x^2-x^2=0,\qquad -x^2+x^2=0.$$

Toate celelalte elemente sunt, de asemenea, $0$, deci:

$$(A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3,$$

pentru orice $x\in\mathbb R$.

c)

Notăm:

$$B=A(x)-I_3.$$

Din punctul b), $B^2=O_3$, iar $A(x)=I_3+B$. Rezultă:

$$A(x)^2=(I_3+B)^2=I_3+2B+B^2=I_3+2B.$$

Ecuația cerută este:

$$A(x)^2=xA(x)-(x-1)I_3.$$

Înlocuim $A(x)=I_3+B$:

$$I_3+2B=x(I_3+B)-(x-1)I_3 =xI_3+xB-xI_3+I_3 =I_3+xB.$$

Deci:

$$2B=xB \Longleftrightarrow (2-x)B=O_3.$$

Dar

$$B= \begin{pmatrix} x&-x&0\\ x&-x&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} =x \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

Matricea

$$\begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$

nu este matricea nulă, deci:

$$x(2-x)=0.$$

Prin urmare:

$$\boxed{x\in\{0,2\}}.$$

2.

Legea de compoziție este

$$x\ast y=(x+y)^2-2(x-y)-3.$$

a)

Calculăm:

$$0\ast 2=(0+2)^2-2(0-2)-3=4+4-3=5.$$

Deci:

$$\boxed{0\ast 2=5}.$$

b)

Avem:

$$x\ast(x+1)=(x+x+1)^2-2(x-(x+1))-3.$$

Deci:

$$x\ast(x+1)=(2x+1)^2-2(-1)-3.$$ $$x\ast(x+1)=4x^2+4x+1+2-3=4x^2+4x.$$

Condiția $x\ast(x+1)=8$ devine:

$$4x^2+4x=8.$$

Împărțim la $4$:

$$x^2+x-2=0.$$

Factorizăm:

$$(x+2)(x-1)=0.$$

Prin urmare:

$$\boxed{x\in\{-2,1\}}.$$

c)

Căutăm perechile $(m,n)\in\mathbb N^2$ pentru care:

$$m\ast n=2mn.$$

Avem:

$$(m+n)^2-2(m-n)-3=2mn.$$

Dezvoltăm:

$$m^2+2mn+n^2-2m+2n-3=2mn.$$

Scădem $2mn$:

$$m^2+n^2-2m+2n-3=0.$$

Completăm pătratele:

$$(m-1)^2+(n+1)^2=5.$$

În convenția școlară uzuală $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$. Cum $n\in\mathbb N$, avem $n+1\ge 1$. Pătratele care au suma $5$ sunt $1$ și $4$.

Dacă $(n+1)^2=1$, atunci $n=0$, iar:

$$(m-1)^2=4 \Longrightarrow m=3.$$

Dacă $(n+1)^2=4$, atunci $n=1$, iar:

$$(m-1)^2=1 \Longrightarrow m=0 \text{ sau } m=2.$$

Perechile sunt:

$$\boxed{(m,n)\in\{(3,0),(0,1),(2,1)\}}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1.

Se consideră funcția

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=(x^2-5x+10)\sqrt{x}.$$

a)

Scriem funcția folosind puteri:

$$f(x)=x^{5/2}-5x^{3/2}+10x^{1/2}.$$

Derivăm:

$$f'(x)=\frac52x^{3/2}-\frac{15}{2}x^{1/2}+5x^{-1/2}.$$

Aducem la același numitor $2\sqrt{x}$:

$$f'(x)=\frac{5x^2-15x+10}{2\sqrt{x}} =\frac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}.$$

Deci:

$$\boxed{f'(x)=\frac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}},\qquad x\in(0,+\infty).$$

b)

Din punctul a):

$$f'(x)=\frac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}} =\frac{5(x-1)(x-2)}{2\sqrt{x}}.$$

Pentru $x>0$, avem $2\sqrt{x}>0$ și $5>0$, deci semnul lui $f'(x)$ este semnul produsului $(x-1)(x-2)$.

Rezultă:

$$f'(x)>0 \text{ pe } (0,1),\qquad f'(x)<0 \text{ pe } (1,2),\qquad f'(x)>0 \text{ pe } (2,+\infty).$$

Prin urmare, funcția $f$ este:

$$\boxed{\text{strict crescătoare pe }(0,1]\text{ și }[2,+\infty)}$$

și

$$\boxed{\text{strict descrescătoare pe }[1,2]}.$$

c)

Avem:

$$\frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}} =\frac{(x^2-5x+10)\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}} =1-\frac5x+\frac{10}{x^2}.$$

Trebuie calculată limita:

$$\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac5x+\frac{10}{x^2}\right)^{x/5}.$$

Notăm:

$$u_x=-\frac5x+\frac{10}{x^2}.$$

Atunci $u_x\to 0$ și

$$xu_x=-5+\frac{10}{x}\to -5.$$

Logaritmăm limita. Dacă $L$ este limita cerută, atunci:

$$\ln L= \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{5} \ln(1+u_x).$$

Cum

$$\frac{\ln(1+u_x)}{u_x}\to 1,$$

rezultă:

$$\ln L=\frac15\lim_{x\to+\infty}xu_x=\frac15\cdot(-5)=-1.$$

Prin urmare:

$$L=e^{-1}=\frac1e.$$

Deci:

$$\boxed{ \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)^{x/5}=\frac1e }.$$

2.

Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}.$$

a)

Avem:

$$f(x)-\frac{1}{e^x+1}=x+e^x.$$

Atunci:

$$\int_0^2\left(f(x)-\frac{1}{e^x+1}\right)\,dx =\int_0^2(x+e^x)\,dx.$$

Calculăm:

$$\int_0^2(x+e^x)\,dx =\left[\frac{x^2}{2}+e^x\right]_0^2 =\left(2+e^2\right)-(0+1) =e^2+1.$$

Deci:

$$\boxed{ \int_0^2\left(f(x)-\frac{1}{e^x+1}\right)\,dx=e^2+1 }.$$

b)

Observăm că:

$$f(x)-x-e^x=\frac{1}{e^x+1}.$$

Prin urmare:

$$\int_{-1}^1 e^x\left(f(x)-x-e^x\right)\,dx =\int_{-1}^1 \frac{e^x}{e^x+1}\,dx.$$

O primitivă este:

$$\ln(e^x+1),$$

deoarece

$$\left(\ln(e^x+1)\right)'=\frac{e^x}{e^x+1}.$$

Deci:

$$\int_{-1}^1 \frac{e^x}{e^x+1}\,dx =\left[\ln(e^x+1)\right]_{-1}^{1} =\ln(e+1)-\ln(e^{-1}+1).$$

Dar:

$$e^{-1}+1=\frac1e+1=\frac{e+1}{e}.$$

Astfel:

$$\ln(e+1)-\ln\left(\frac{e+1}{e}\right) =\ln\left(\frac{e+1}{(e+1)/e}\right) =\ln e=1.$$

Deci:

$$\boxed{ \int_{-1}^1 e^x\left(f(x)-x-e^x\right)\,dx=1 }.$$

c)

Calculăm mai întâi $f(x)+f(-x)$.

$$f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1},$$

iar

$$f(-x)=-x+e^{-x}+\frac{1}{e^{-x}+1}.$$

Adunând, obținem:

$$f(x)+f(-x)=e^x+e^{-x} +\frac{1}{e^x+1} +\frac{1}{e^{-x}+1}.$$

Dar:

$$\frac{1}{e^{-x}+1} =\frac{e^x}{1+e^x}.$$

Deci:

$$\frac{1}{e^x+1}+\frac{1}{e^{-x}+1} =\frac{1}{e^x+1}+\frac{e^x}{e^x+1}=1.$$

Prin urmare:

$$f(x)+f(-x)=e^x+e^{-x}+1.$$

Integrala devine:

$$\int_0^1 x(f(x)+f(-x))\,dx =\int_0^1 x(e^x+e^{-x}+1)\,dx.$$

Calculăm pe rând:

$$\int_0^1 xe^x\,dx=\left[(x-1)e^x\right]_0^1=1,$$ $$\int_0^1 xe^{-x}\,dx=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^1 =-\frac2e+1=1-\frac2e,$$

și

$$\int_0^1 x\,dx=\frac12.$$

Prin urmare:

$$\int_0^1 x(f(x)+f(-x))\,dx =1+\left(1-\frac2e\right)+\frac12 =\frac52-\frac2e.$$

Conform cerinței:

$$\frac52-\frac2e=\frac{m}{2}-\frac2e.$$

Rezultă:

$$\frac{m}{2}=\frac52 \Longleftrightarrow m=5.$$

Răspuns:

$$\boxed{m=5}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Am rezolvat toate cele 18 subpuncte, în ordinea din subiect.
• Am verificat condițiile de domeniu unde apar logaritmi, radicali și limite.
• Am justificat complet demonstrațiile cerute prin „Arătați”.
• Am verificat calculele pentru matrice, vectori, ecuații, probabilitate, derivată, monotonie, limită și integrale.
• Rezultatele finale sunt simplificate și evidențiate.