Soluții BAC Mate-info 2024 · August–Septembrie

SUBIECTUL I

1. Într-o progresie aritmetică diferența este constantă:

$$r=a_3-a_2=18-14=4.$$

Cum $a_2=a_1+r$, obținem

$$a_1=a_2-r=14-4=10.$$

Răspuns: $\boxed{a_1=10}$.

2. Avem $f(x)=x+2$. Atunci

$$f(5)=5+2=7,$$

deci

$$(f\circ f)(5)=f(f(5))=f(7)=7+2=9.$$

Prin urmare, $\boxed{(f\circ f)(5)=9}$.

3. Funcția $t\mapsto \sqrt[3]{t}$ este injectivă pe $\mathbb{R}$, deci

$$\sqrt[3]{x^2+2x+1}=\sqrt[3]{1-x}$$

este echivalentă cu

$$x^2+2x+1=1-x.$$

Rezultă

$$x^2+3x=0 \iff x(x+3)=0,$$

de unde

$$x=0 \quad \text{sau} \quad x=-3.$$

Ambele valori sunt admise, deoarece radicalul cubic este definit pentru orice număr real. Soluția este

$$\boxed{x\in\{-3,0\}}.$$

4. Numărul format trebuie să fie impar, deci cifra unităților poate fi una dintre

$$1,3,7,9,$$

adică există $4$ alegeri.

După alegerea cifrei unităților, cifra zecilor poate fi oricare dintre celelalte $4$ cifre din mulțimea $A$, deoarece cifrele trebuie să fie distincte. Prin regula produsului, numărul cerut este

$$4\cdot 4=16.$$

Răspuns: $\boxed{16}$ numere.

5. Pentru $A(2,1)$, vectorul

$$\overrightarrow{OA}=(2,1),$$

deci

$$2\overrightarrow{OA}=(4,2).$$

Dacă $B(x,y)$, atunci

$$\overrightarrow{AB}=(x-2,y-1).$$

Condiția $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{OA}$ devine

$$(x-2,y-1)=(4,2).$$

Astfel,

$$x=6,\qquad y=3.$$

Răspuns: $\boxed{B(6,3)}$.

6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci $BC$ este ipotenuza. Din $BC=12$ și $AB=\dfrac{BC}{2}$, obținem

$$AB=6.$$

Prin teorema lui Pitagora,

$$AC^2=BC^2-AB^2=12^2-6^2=144-36=108,$$

deci

$$AC=6\sqrt{3}.$$

Aria triunghiului dreptunghic este

$$\mathcal{A}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2} =\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\mathcal{A}_{ABC}=18\sqrt{3}}.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, \qquad B(x)=\begin{pmatrix}2^x&0&0\\0&1&x\\0&x&1\end{pmatrix}.$$

• a) Pentru $x=1$,

$$B(1)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}.$$

Determinantul este

$$\det(B(1))=2\cdot \begin{vmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{vmatrix} =2(1\cdot 1-1\cdot 1)=0.$$

Deci

$$\boxed{\det(B(1))=0}.$$

• b) Calculăm produsul:

$$B(x)B(y)= \begin{pmatrix} 2^{x+y}&0&0\\ 0&1+xy&x+y\\ 0&x+y&1+xy \end{pmatrix}.$$

De asemenea,

$$B(x+y)= \begin{pmatrix} 2^{x+y}&0&0\\ 0&1&x+y\\ 0&x+y&1 \end{pmatrix}.$$

Prin scădere,

$$B(x)B(y)-B(x+y)= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&xy&0\\ 0&0&xy \end{pmatrix} =xy \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} =xyA.$$

Așadar,

$$\boxed{B(x)B(y)-B(x+y)=xyA,\quad \forall x,y\in\mathbb{R}}.$$

• c) Folosim relația demonstrată la punctul b). Pentru $y=x+1$,

$$B(x)B(x+1)=B(2x+1)+x(x+1)A.$$

Pentru $x$ înlocuit cu $2x$ și $y=1$,

$$B(2x)B(1)=B(2x+1)+2xA.$$

Prin scădere,

$$B(x)B(x+1)-B(2x)B(1) =\bigl(x(x+1)-2x\bigr)A =x(x-1)A.$$

Ecuația din enunț devine

$$x(x-1)A=xA.$$

Deoarece $A\neq O_3$, egalitatea este echivalentă cu

$$x(x-1)=x.$$

Rezultă

$$x^2-x=x \iff x^2-2x=0 \iff x(x-2)=0.$$

Prin urmare,

$$\boxed{x\in\{0,2\}}.$$

2. Se consideră polinomul

$$f=X^3+aX^2+X+2-a,\qquad a\in\mathbb{R}.$$

• a) Calculăm:

$$f(1)=1^3+a\cdot 1^2+1+2-a=1+a+1+2-a=4.$$

Astfel,

$$\boxed{f(1)=4,\quad \forall a\in\mathbb{R}}.$$

• b) Pentru $a=2$, polinomul devine

$$f=X^3+2X^2+X=X(X^2+2X+1)=X(X+1)^2.$$

Rădăcinile sunt

$$\boxed{0,\ -1,\ -1}.$$

Deci $0$ este rădăcină simplă, iar $-1$ este rădăcină dublă.

• c) Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile polinomului $f$, considerate cu multiplicități. Deoarece polinomul este monic,

$$f(X)=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3).$$

Din relațiile lui Viète,

$$x_1x_2x_3=-(2-a)=a-2.$$

De asemenea,

$$f(1)=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=4.$$

Observăm că

$$x_i-x_i^2=x_i(1-x_i),\qquad i=1,2,3.$$

Atunci

$$(x_1-x_1^2)(x_2-x_2^2)(x_3-x_3^2) =x_1x_2x_3(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3).$$

Prin urmare,

$$(x_1-x_1^2)(x_2-x_2^2)(x_3-x_3^2) =(a-2)\cdot 4.$$

Condiția din enunț devine

$$4(a-2)=4,$$

deci

$$a-2=1 \iff a=3.$$

Răspuns:

$$\boxed{a=3}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=(x^2-2)e^{2x}.$$

• a) Derivăm folosind regula produsului:

$$f'(x)=(x^2-2)'e^{2x}+(x^2-2)(e^{2x})'.$$

Cum $(x^2-2)'=2x$ și $(e^{2x})'=2e^{2x}$, rezultă

$$f'(x)=2xe^{2x}+2(x^2-2)e^{2x} =2e^{2x}(x+x^2-2).$$

Deci

$$\boxed{f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2),\quad x\in\mathbb{R}}.$$

• b) Pentru $x\to+\infty$,

$$\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x^2-2)e^{2x}}{2e^{2x}(x^2+x-2)} = \frac{x^2-2}{2(x^2+x-2)}.$$

Împărțind numărătorul și numitorul la $x^2$, obținem

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-2}{2(x^2+x-2)} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1-\frac{2}{x^2}}{2\left(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)} =\frac{1}{2}.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)}=\frac12}.$$

• c) Funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$. Din punctul a),

$$f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)=2e^{2x}(x+2)(x-1).$$

Deoarece $2e^{2x}>0$, semnul lui $f'(x)$ este semnul produsului $(x+2)(x-1)$. Astfel:

$$f'(x)>0 \text{ pe } (-\infty,-2)\cup(1,\infty),$$ $$f'(x)<0 \text{ pe } (-2,1).$$

Deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty,-2]$, descrescătoare pe $[-2,1]$ și crescătoare pe $[1,\infty)$.

Valorile importante sunt

$$\lim_{x\to-\infty}(x^2-2)e^{2x}=0,$$ $$f(-2)=(4-2)e^{-4}=2e^{-4},$$ $$f(1)=(1-2)e^2=-e^2,$$

iar

$$\lim_{x\to+\infty}(x^2-2)e^{2x}=+\infty.$$

Din monotonia stabilită, valoarea minimă globală este $f(1)=-e^2$, iar funcția crește apoi nelimitat către $+\infty$. Prin urmare, imaginea funcției este

$$\boxed{\operatorname{Im} f=[-e^2,+\infty)}.$$

2. Se consideră funcția

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^4+6x^2+1.$$

• a) Avem

$$f(x)-6x^2=x^4+1.$$

Atunci

$$\int_{-1}^{1}(f(x)-6x^2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+1)\,dx.$$

Calculăm:

$$\int_{-1}^{1}(x^4+1)\,dx = \left[\frac{x^5}{5}+x\right]_{-1}^{1} = \left(\frac15+1\right)-\left(-\frac15-1\right) = \frac{12}{5}.$$

Așadar,

$$\boxed{\displaystyle\int_{-1}^{1}(f(x)-6x^2)\,dx=\frac{12}{5}}.$$

• b) Pentru $x\in[1,6]$,

$$f(x)-1=x^4+6x^2=x^2(x^2+6),$$

deci

$$\frac{x^3}{f(x)-1} = \frac{x^3}{x^2(x^2+6)} = \frac{x}{x^2+6}.$$

Rezultă

$$\int_{1}^{6}\frac{x^3}{f(x)-1}\,dx = \int_{1}^{6}\frac{x}{x^2+6}\,dx.$$

Cu substituția $u=x^2+6$, $du=2x\,dx$, obținem

$$\int_{1}^{6}\frac{x}{x^2+6}\,dx = \frac12\left[\ln(x^2+6)\right]_{1}^{6}.$$

Prin urmare,

$$\frac12\left(\ln(36+6)-\ln(1+6)\right) = \frac12(\ln 42-\ln 7) = \frac12\ln 6.$$

Deci

$$\boxed{\displaystyle\int_{1}^{6}\frac{x^3}{f(x)-1}\,dx=\frac{\ln 6}{2}}.$$

• c) Calculăm mai întâi:

$$f(2t)=(2t)^4+6(2t)^2+1=16t^4+24t^2+1,$$ $$f(t)=t^4+6t^2+1.$$

Prin urmare,

$$f(2t)-f(t)=15t^4+18t^2.$$

Pentru $x\neq 0$,

$$\frac{1}{x^3}\int_0^x(f(2t)-f(t))\,dt = \frac{1}{x^3}\int_0^x(15t^4+18t^2)\,dt.$$

Calculăm integrala:

$$\int_0^x(15t^4+18t^2)\,dt = \left[3t^5+6t^3\right]_0^x = 3x^5+6x^3.$$

Astfel,

$$\frac{1}{x^3}\int_0^x(f(2t)-f(t))\,dt = \frac{3x^5+6x^3}{x^3} = 3x^2+6.$$

Trecând la limită,

$$\lim_{x\to 0}(3x^2+6)=6.$$

Deci

$$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^3}\int_0^x(f(2t)-f(t))\,dt\right)=6}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte au fost rezolvate în ordinea din subiect.
• Pentru fiecare cerință de 5 puncte sunt prezentate calculele esențiale și justificările necesare.
• La ecuații și funcții au fost menționate domeniile sau condițiile relevante.
• Pentru matrice, determinant, polinom, derivată, imagine, integrale și limită, rezultatele au fost verificate algebric.
• Răspunsurile finale sunt simplificate și marcate clar.