Soluții BAC Mate-info 2024 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I

1. Avem $\lg 100=2$, deoarece $100=10^2$. De asemenea,

$$\lg 2+\lg 5=\lg(2\cdot 5)=\lg 10=1.$$

Prin urmare,

$$2\lg 100+\lg 2+\lg 5=2\cdot 2+1=5.$$

2. Funcția este $f(x)=x-6$. Atunci

$$f(a)=a-6,\qquad f(3a)=3a-6.$$

Condiția devine

$$(a-6)+(3a-6)=0 \Longleftrightarrow 4a-12=0 \Longleftrightarrow a=3.$$

3. Ecuația este

$$5^{3x}\cdot 5^2=5^x.$$

Folosind regula puterilor cu aceeași bază,

$$5^{3x+2}=5^x.$$

Cum funcția exponențială de bază $5$ este injectivă, rezultă

$$3x+2=x \Longleftrightarrow 2x=-2 \Longleftrightarrow x=-1.$$

Soluția este $x=-1$.

4. Numerele pare din mulțimea

$$A=\{1,2,4,6,8,9\}$$

sunt $2,4,6,8$, deci sunt $4$ astfel de elemente. Numărul submulțimilor cu două elemente, ambele pare, este

$$\binom{4}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6.$$

5. Avem $O(0,0)$ și $B(3,0)$, deci

$$\vec{OB}=(3,0).$$

Dacă $C(x,y)$, atunci

$$\vec{AC}=(x-3,y-1).$$

Condiția $\vec{AC}=\vec{OB}$ dă

$$(x-3,y-1)=(3,0),$$

de unde

$$x=6,\qquad y=1.$$

Prin urmare, $C(6,1)$.

6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $B=\frac{\pi}{4}$. Atunci

$$C=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4},$$

deci triunghiul este dreptunghic isoscel, cu catetele egale:

$$AB=AC.$$

Aria triunghiului este

$$\frac{AB\cdot AC}{2}=18.$$

Cum $AB=AC$, rezultă

$$\frac{AB^2}{2}=18 \Longleftrightarrow AB^2=36.$$

Lungimea fiind pozitivă, obținem

$$AB=6.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$M(x)= \begin{pmatrix} x&0&0\\ 0&x+2&x\\ 0&2x&x+2 \end{pmatrix}.$$

• a) Pentru $x=1$,

$$M(1)= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&3&1\\ 0&2&3 \end{pmatrix}.$$

Dezvoltând determinantul după prima linie,

$$\det(M(1))=1\cdot \begin{vmatrix} 3&1\\ 2&3 \end{vmatrix} =3\cdot 3-1\cdot 2=9-2=7.$$

• b) Calculăm

$$M(2)= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&4&2\\ 0&4&4 \end{pmatrix}.$$

Produsul $M(x)M(2)$ este

$$M(x)M(2)= \begin{pmatrix} 2x&0&0\\ 0&8x+8&6x+4\\ 0&12x+8&8x+8 \end{pmatrix}.$$

Pe de altă parte,

$$M(x-1)= \begin{pmatrix} x-1&0&0\\ 0&x+1&x-1\\ 0&2x-2&x+1 \end{pmatrix}.$$

Egalitatea matricelor impune, din elementul de pe poziția $(1,1)$,

$$2x=x-1 \Longleftrightarrow x=-1.$$

Verificăm pentru $x=-1$:

$$8x+8=0=x+1,\quad 6x+4=-2=x-1,$$ $$12x+8=-4=2x-2,\quad 8x+8=0=x+1.$$

Deci singura soluție este

$$x=-1.$$

• c) Determinantul general este

$$\det(M(x)) =x\begin{vmatrix} x+2&x\\ 2x&x+2 \end{vmatrix} =x\left((x+2)^2-2x^2\right).$$

Așadar

$$\det(M(x))=x(-x^2+4x+4).$$

Pentru $n\in\mathbb N$,

$$2\det(M(n))=2n(-n^2+4n+4)$$

și

$$\det(M(2n))=2n\left(-(2n)^2+4(2n)+4\right) =2n(-4n^2+8n+4).$$

Inegalitatea cerută devine

$$2n(-n^2+4n+4)\le 2n(-4n^2+8n+4).$$

Mutând totul în membrul stâng,

$$2n(-n^2+4n+4)-2n(-4n^2+8n+4)\le 0,$$ $$6n^3-8n^2\le 0 \Longleftrightarrow 2n^2(3n-4)\le 0.$$

Deoarece $2n^2\ge 0$, rezultă

$$n=0 \quad \text{sau} \quad 3n-4\le 0.$$

Astfel $n\le \frac43$. Pentru $n\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$, obținem

$$n\in\{0,1\}.$$

2. Se consideră polinomul

$$f=X^3-2X^2-aX+2a,\qquad a\in\mathbb R.$$

• a) Calculăm

$$f(2)=2^3-2\cdot 2^2-a\cdot 2+2a=8-8-2a+2a=0.$$

Deci $f(2)=0$, pentru orice $a\in\mathbb R$.

• b) Pentru $a=1$,

$$f=X^3-2X^2-X+2.$$

Verificăm rădăcina $-1$:

$$f(-1)=(-1)^3-2(-1)^2-(-1)+2=-1-2+1+2=0.$$

Prin teorema restului, $X+1$ divide polinomul $f$.

• c) Factorizăm prin grupare:

$$f=X^3-2X^2-aX+2a=X^2(X-2)-a(X-2)=(X-2)(X^2-a).$$

Pentru $a\in(0,+\infty)$, rădăcinile sunt

$$2,\quad \sqrt a,\quad -\sqrt a.$$

Condiția din enunț devine

$$|2|+|\sqrt a|+|-\sqrt a|=8.$$

Cum $a>0$, avem $\sqrt a>0$, deci

$$2+2\sqrt a=8 \Longleftrightarrow 2\sqrt a=6 \Longleftrightarrow \sqrt a=3 \Longleftrightarrow a=9.$$

Valoarea cerută este

$$a=9.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4.$$

• a) Derivăm folosind regula produsului:

$$\left(e^x(2x-4)\right)'=e^x(2x-4)+2e^x=e^x(2x-2).$$

De asemenea,

$$(x^2-2x+4)'=2x-2.$$

Prin urmare,

$$f'(x)=e^x(2x-2)+2x-2 =2(x-1)e^x+2(x-1) =2(x-1)(e^x+1).$$

• b) Observăm că

$$f(0)=e^0(0-4)+0-0+4=-4+4=0$$

și

$$1-e^0=0.$$

Aplicăm regula lui l’Hospital, deoarece funcțiile sunt derivabile în vecinătatea lui $0$, iar numitorul are derivata nenulă în $0$:

$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{1-e^x} =\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{-e^x}.$$

Din punctul a),

$$f'(0)=2(0-1)(e^0+1)=-4.$$

Astfel

$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{1-e^x} =\frac{-4}{-1}=4.$$

• c) Din punctul a),

$$f'(x)=2(x-1)(e^x+1).$$

Cum $e^x+1>0$ pentru orice $x\in\mathbb R$, semnul lui $f'(x)$ este semnul lui $x-1$. Rezultă că $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty,1)$ și strict crescătoare pe $(1,+\infty)$.

Avem

$$f(0)=0,$$

deci $x=0$ este soluție. În plus,

$$f(1)=e(2-4)+1-2+4=3-2e<0,$$

deoarece $e>\frac32$. Pe intervalul $(-\infty,1)$, funcția este strict descrescătoare, deci poate avea cel mult o rădăcină; cum $0\in(-\infty,1)$ și $f(0)=0$, aceasta este singura rădăcină de pe $(-\infty,1)$.

Pe $(1,+\infty)$, funcția este strict crescătoare. Mai mult,

$$f(1)=3-2e<0,\qquad f(2)=e^2(4-4)+4-4+4=4>0.$$

Prin continuitate, există o rădăcină în $(1,2)$, iar prin monotonia strictă această rădăcină este unică.

Prin urmare, ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții.

2. Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{4x}{3x^2+1}.$$

• a) Avem

$$f(x)(3x^2+1)=\frac{4x}{3x^2+1}(3x^2+1)=4x.$$

Prin urmare,

$$\int_3^4 f(x)(3x^2+1)\,dx =\int_3^4 4x\,dx =\left[2x^2\right]_3^4 =2\cdot 16-2\cdot 9 =32-18=14.$$

• b) Calculăm

$$\int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 \frac{4x}{3x^2+1}\,dx.$$

Folosim substituția $u=3x^2+1$, $du=6x\,dx$. Atunci

$$\int \frac{4x}{3x^2+1}\,dx=\frac23\ln(3x^2+1)+C.$$

Deci

$$\int_0^1 f(x)\,dx =\left[\frac23\ln(3x^2+1)\right]_0^1 =\frac23\ln 4-\frac23\ln 1.$$

Cum $\ln 1=0$ și $\ln 4=2\ln 2$, rezultă

$$\int_0^1 f(x)\,dx=\frac23\cdot 2\ln 2=\frac43\ln 2.$$

• c) Pentru $x>0$, avem $3x^2+1>0$ și $f(x)>0$. Funcția

$$g(x)=\frac{4\ln x}{f(x)}$$

devine

$$g(x)=4\ln x\cdot \frac{3x^2+1}{4x} =\frac{3x^2+1}{x}\ln x =\left(3x+\frac1x\right)\ln x.$$

Pe intervalul $[1,e]$, $\ln x\ge 0$, deci $g(x)\ge 0$. Aria cerută este

$$A=\int_1^e g(x)\,dx =\int_1^e \left(3x+\frac1x\right)\ln x\,dx.$$

Calculăm separat:

$$\int 3x\ln x\,dx =\frac32 x^2\ln x-\frac34 x^2$$

și

$$\int \frac{\ln x}{x}\,dx=\frac12(\ln x)^2.$$

Astfel

$$A=\left[\frac32 x^2\ln x-\frac34 x^2+\frac12(\ln x)^2\right]_1^e.$$

Pentru $x=e$, $\ln e=1$, deci

$$\frac32 e^2-\frac34 e^2+\frac12=\frac34 e^2+\frac12.$$

Pentru $x=1$, $\ln 1=0$, deci

$$0-\frac34+0=-\frac34.$$

Prin urmare,

$$A=\left(\frac34e^2+\frac12\right)-\left(-\frac34\right) =\frac34e^2+\frac54 =\frac{3e^2+5}{4}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 6 cerințe de la SUBIECTUL I sunt rezolvate în ordine, cu calcule explicite.
• La SUBIECTUL al II-lea sunt verificate determinantul, egalitatea de matrice, inegalitatea pentru $n\in\mathbb N$, divizibilitatea polinomială și condiția pe rădăcini.
• La SUBIECTUL al III-lea sunt justificate derivata, limita prin l’Hospital, numărul exact de soluții prin monotonie și continuitate, precum și integralele și aria.
• Domeniile și condițiile de semn relevante au fost precizate: $e^x+1>0$, $a>0$, $x>0$ pentru $g$, respectiv $g(x)\ge 0$ pe $[1,e]$.
• Rezultatele finale au fost simplificate și coincid cu cerințele enunțului.