Soluții BAC Mate-info 2025 · Rezerva Iunie

SUBIECTUL I

1. Folosim proprietatea logaritmilor:

$$\log_5 10-\log_5 2=\log_5\frac{10}{2}=\log_5 5=1.$$

De asemenea,

$$\log_5 25=\log_5 5^2=2.$$

Prin urmare,

$$2(\log_5 10-\log_5 2)+\log_5 25 =2\cdot 1+2=4.$$

Așadar,

$$\boxed{2(\log_5 10-\log_5 2)+\log_5 25=4}.$$

2. Funcția este $f(x)=x-4$. Calculăm:

$$f(2+m)=2+m-4=m-2.$$

Condiția $f(2+m)=2-m$ devine

$$m-2=2-m.$$

Rezultă

$$2m=4,$$

deci

$$\boxed{m=2}.$$

3. Ecuația este

$$8^x\cdot 2^{1-x}=2^7.$$

Scriem $8=2^3$:

$$(2^3)^x\cdot 2^{1-x}=2^7.$$

Atunci

$$2^{3x}\cdot 2^{1-x}=2^7 \iff 2^{2x+1}=2^7.$$

Funcția exponențială de bază $2$ este injectivă, deci

$$2x+1=7.$$

Prin urmare,

$$2x=6 \iff x=3.$$

Soluția este

$$\boxed{x=3}.$$

4. Un număr natural este divizibil cu $5$ dacă ultima cifră este $0$ sau $5$. Cifrele disponibile sunt

$$A=\{1,2,3,4,5,6\},$$

deci cifra unităților trebuie să fie $5$.

Cifra sutelor se poate alege dintre

$$\{1,2,3,4,6\},$$

deci avem $5$ alegeri. După alegerea cifrei sutelor, cifra zecilor se poate alege dintre cele $4$ cifre rămase, diferite de cifra sutelor și de $5$.

Prin regula produsului, numărul cerut este

$$5\cdot 4=20.$$

Răspuns:

$$\boxed{20}.$$

5. Punctele sunt

$$A(0,1),\qquad B(2,0),\qquad C(4,6).$$

Panta dreptei $BC$ este

$$m_{BC}=\frac{6-0}{4-2}=\frac62=3.$$

Dreapta $d$ este paralelă cu $BC$, deci are aceeași pantă $3$. Cum trece prin $A(0,1)$, ecuația ei este

$$y-1=3(x-0).$$

Rezultă

$$y=3x+1.$$

Așadar,

$$\boxed{d:\ y=3x+1}.$$

6. Avem

$$E(x)=\operatorname{tg}x\cdot \left(\cos\frac{3x}{4}\right)^2-\cos\frac{x}{2}, \qquad x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).$$

Valoarea $\frac{\pi}{3}$ aparține intervalului $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$, deci expresia este definită. Calculăm:

$$E\left(\frac{\pi}{3}\right) =\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\cdot \left(\cos\frac{3\pi}{12}\right)^2 -\cos\frac{\pi}{6}.$$

Cum

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3,\qquad \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},$$

obținem

$$E\left(\frac{\pi}{3}\right) =\sqrt3\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\frac{\sqrt3}{2} =\sqrt3\cdot\frac12-\frac{\sqrt3}{2}=0.$$

Prin urmare,

$$\boxed{E\left(\frac{\pi}{3}\right)=0}.$$

SUBIECTUL al II-lea

1.

Se consideră

$$A(a)= \begin{pmatrix} a&1&-2\\ 0&a&1\\ 2&4&1 \end{pmatrix}$$

și sistemul

$$\begin{cases} ax+y-2z=4,\\ ay+z=1,\\ 2x+4y+z=4. \end{cases}$$

• a) Pentru $a=1$,

$$A(1)= \begin{pmatrix} 1&1&-2\\ 0&1&1\\ 2&4&1 \end{pmatrix}.$$

Calculăm determinantul:

$$\det A(1) = \begin{vmatrix} 1&1&-2\\ 0&1&1\\ 2&4&1 \end{vmatrix}.$$

Dezvoltând după prima linie,

$$\det A(1) =1(1\cdot 1-1\cdot 4) -1(0\cdot 1-1\cdot 2) +(-2)(0\cdot 4-1\cdot 2).$$

Deci

$$\det A(1)=-3+2+4=3.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\det A(1)=3}.$$

• b) Matricea coeficienților sistemului este chiar $A(a)$. Calculăm determinantul general:

$$\det A(a)= \begin{vmatrix} a&1&-2\\ 0&a&1\\ 2&4&1 \end{vmatrix}.$$

Dezvoltând după prima linie,

$$\det A(a) =a(a\cdot 1-1\cdot 4) -1(0\cdot 1-1\cdot 2) +(-2)(0\cdot 4-a\cdot 2).$$

Rezultă

$$\det A(a)=a(a-4)+2+4a=a^2+2.$$

Pentru orice $a\in\mathbb R$,

$$a^2+2>0.$$

Așadar, determinantul matricei coeficienților este nenul pentru orice $a\in\mathbb R$, deci sistemul are soluție unică pentru orice număr real $a$.

• c) Notăm soluția unică prin $(x_0,y_0,z_0)$. Din punctul b),

$$\Delta=\det A(a)=a^2+2.$$

Aplicăm regula lui Cramer pentru necunoscuta $y$. Înlocuim coloana a doua a matricei coeficienților cu termenii liberi:

$$\Delta_y= \begin{vmatrix} a&4&-2\\ 0&1&1\\ 2&4&1 \end{vmatrix}.$$

Calculăm:

$$\Delta_y =a(1\cdot 1-1\cdot 4) -4(0\cdot 1-1\cdot 2) +(-2)(0\cdot 4-1\cdot 2).$$

Deci

$$\Delta_y=-3a+8+4=12-3a.$$

Prin urmare,

$$y_0=\frac{\Delta_y}{\Delta} =\frac{12-3a}{a^2+2} =\frac{3(4-a)}{a^2+2}.$$

Condiția $y_0\ge 1$ devine

$$\frac{12-3a}{a^2+2}\ge 1.$$

Deoarece $a^2+2>0$, putem înmulți fără a schimba sensul inegalității:

$$12-3a\ge a^2+2.$$

Rezultă

$$10-3a-a^2\ge 0 \iff a^2+3a-10\le 0.$$

Factorizăm:

$$a^2+3a-10=(a+5)(a-2).$$

Inegalitatea

$$(a+5)(a-2)\le 0$$

este adevărată pentru

$$a\in[-5,2].$$

Mulțimea cerută este

$$\boxed{[-5,2]}.$$

2.

Pe $\mathbb R$ este definită legea

$$x*y=4-\frac12(x-4)(y-4).$$

• a) Calculăm:

$$6*7=4-\frac12(6-4)(7-4).$$

Deci

$$6*7=4-\frac12\cdot 2\cdot 3=4-3=1.$$

Prin urmare,

$$\boxed{6*7=1}.$$

• b) Avem

$$x*(x+4)=4-\frac12(x-4)((x+4)-4).$$

Cum $(x+4)-4=x$, rezultă

$$x*(x+4)=4-\frac12 x(x-4).$$

Condiția $x*(x+4)=6$ devine

$$4-\frac12 x(x-4)=6.$$

Atunci

$$-\frac12(x^2-4x)=2.$$

Înmulțind cu $-2$, obținem

$$x^2-4x=-4.$$

Deci

$$x^2-4x+4=0 \iff (x-2)^2=0.$$

Soluția este

$$\boxed{x=2}.$$

• c) Definim

$$\varphi(x)=\frac{4-x}{2}.$$

Pentru orice $x,y\in\mathbb R$,

$$\varphi(x*y) =\frac{4-\left(4-\frac12(x-4)(y-4)\right)}{2} =\frac{(x-4)(y-4)}{4}.$$

Dar

$$\varphi(x)\varphi(y) =\frac{4-x}{2}\cdot \frac{4-y}{2} =\frac{(x-4)(y-4)}{4}.$$

Așadar,

$$\varphi(x*y)=\varphi(x)\varphi(y).$$

Cum legea este asociativă, pentru $m*n*p=3$ avem

$$\varphi(m)\varphi(n)\varphi(p)=\varphi(3).$$

Deoarece

$$\varphi(3)=\frac{4-3}{2}=\frac12,$$

rezultă

$$\frac{4-m}{2}\cdot \frac{4-n}{2}\cdot \frac{4-p}{2} =\frac12.$$

Deci

$$(4-m)(4-n)(4-p)=4.$$

Notăm

$$a=4-m,\qquad b=4-n,\qquad c=4-p.$$

Din $m<n<p$ rezultă

$$a>b>c,$$

iar condiția devine

$$abc=4.$$

Numerele $a,b,c$ sunt divizori întregi nenuli ai lui $4$. Dacă toate ar fi pozitive și distincte, singurele posibilități ar fi $1,2,4$, cu produsul $8$, deci acest caz nu convine.

Produsul este pozitiv, deci rămâne cazul cu un factor pozitiv și doi factori negativi. Cum $a>b>c$, factorul pozitiv este $a$. Analizăm valorile posibile ale lui $a$:

$$a\in\{1,2,4\}.$$

Dacă $a=1$, atunci $bc=4$, cu $b>c$ negative, deci

$$b=-1,\qquad c=-4.$$

Obținem

$$m=4-a=3,\qquad n=4-b=5,\qquad p=4-c=8.$$

Dacă $a=2$, atunci $bc=2$, cu $b>c$ negative, deci

$$b=-1,\qquad c=-2.$$

Obținem

$$m=4-a=2,\qquad n=4-b=5,\qquad p=4-c=6.$$

Dacă $a=4$, atunci $bc=1$, ceea ce ar impune $b=c=-1$, imposibil deoarece $b>c$.

Tripletele cerute sunt

$$\boxed{(m,n,p)\in\{(2,5,6),(3,5,8)\}}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1.

Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}.$$

• a) Pentru orice $x\in\mathbb R$, avem $x^2+2>0$, deci funcția este derivabilă pe $\mathbb R$. Derivăm produsul:

$$f'(x)=(x-5)'\sqrt{x^2+2}+(x-5)\left(\sqrt{x^2+2}\right)'.$$

Avem

$$(x-5)'=1$$

și

$$\left(\sqrt{x^2+2}\right)' =\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}} =\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}.$$

Prin urmare,

$$f'(x)=\sqrt{x^2+2}+(x-5)\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}.$$

Aducem la același numitor:

$$f'(x)= \frac{x^2+2+x(x-5)}{\sqrt{x^2+2}}.$$

Numărătorul este

$$x^2+2+x^2-5x=2x^2-5x+2.$$

Deci

$$\boxed{ f'(x)=\frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}},\quad x\in\mathbb R }.$$

• b) Din punctul a),

$$f'(x)=\frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}.$$

Numitorul este strict pozitiv pentru orice $x\in\mathbb R$, deci semnul lui $f'(x)$ este semnul numărătorului

$$2x^2-5x+2.$$

Factorizăm:

$$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2).$$

Punctele critice sunt

$$x=\frac12,\qquad x=2.$$

Cum parabola $2x^2-5x+2$ are coeficientul lui $x^2$ pozitiv, rezultă:

$$f'(x)>0 \quad \text{pentru } x\in\left(-\infty,\frac12\right)\cup(2,+\infty),$$ $$f'(x)<0 \quad \text{pentru } x\in\left(\frac12,2\right).$$

Prin urmare, funcția $f$ este crescătoare pe

$$\left(-\infty,\frac12\right] \quad \text{și} \quad [2,+\infty),$$

și descrescătoare pe

$$\left[\frac12,2\right].$$

• c) Pentru $x>5$, avem

$$x^2-5x=x(x-5)$$

și

$$f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}.$$

De aceea,

$$\frac{x^2-5x}{f(x)} =\frac{x(x-5)}{(x-5)\sqrt{x^2+2}} =\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}.$$

Astfel,

$$\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x =\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\right)^x =\left(\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}\right)^x.$$

Considerăm logaritmul expresiei:

$$\ln\left[\left(\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}\right)^x\right] =-\frac{x}{2}\ln\left(1+\frac{2}{x^2}\right).$$

Cum

$$x\ln\left(1+\frac{2}{x^2}\right) =\frac{2}{x}\cdot \frac{\ln\left(1+\frac{2}{x^2}\right)}{\frac{2}{x^2}} \longrightarrow 0\cdot 1=0,$$

rezultă

$$-\frac{x}{2}\ln\left(1+\frac{2}{x^2}\right)\longrightarrow 0.$$

Prin urmare,

$$\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x\longrightarrow e^0=1.$$

Așadar,

$$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x=1}.$$

2.

Se consideră funcția

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=8x^3+1+\ln^2 x.$$

• a) Pentru $x>0$,

$$f(x)-\ln^2 x=8x^3+1.$$

Atunci

$$\int_1^2\left(f(x)-\ln^2 x\right)\,dx =\int_1^2(8x^3+1)\,dx.$$

Calculăm:

$$\int(8x^3+1)\,dx=2x^4+x.$$

Deci

$$\int_1^2(8x^3+1)\,dx =\left[2x^4+x\right]_1^2 =(2\cdot 2^4+2)-(2\cdot 1^4+1).$$

Rezultă

$$(32+2)-(2+1)=34-3=31.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\int_1^2\left(f(x)-\ln^2 x\right)\,dx=31}.$$

• b) Observăm că

$$f(x)-8x^3-1=\ln^2 x.$$

Prin urmare,

$$\int_1^e \frac{f(x)-8x^3-1}{x}\,dx =\int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}\,dx.$$

Folosim substituția

$$t=\ln x,\qquad dt=\frac{1}{x}\,dx.$$

Pentru $x=1$, $t=0$, iar pentru $x=e$, $t=1$. Astfel,

$$\int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}\,dx =\int_0^1 t^2\,dt =\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1 =\frac13.$$

Așadar,

$$\boxed{\int_1^e \frac{f(x)-8x^3-1}{x}\,dx=\frac13}.$$

• c) Pentru $n\in\mathbb N^*$,

$$I_n=\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n}{f(x)-8x^3}\,dx.$$

Deoarece

$$f(x)-8x^3=1+\ln^2 x,$$

avem, pentru $x\in[1,e^2]$,

$$1+\ln^2 x>0.$$

Atunci

$$I_{n+2}+I_n =\int_1^{e^2} \frac{x(\ln x)^{n+2}}{1+\ln^2 x}\,dx +\int_1^{e^2} \frac{x(\ln x)^n}{1+\ln^2 x}\,dx.$$

Adunând integralele,

$$I_{n+2}+I_n =\int_1^{e^2} \frac{x\left((\ln x)^{n+2}+(\ln x)^n\right)}{1+\ln^2 x}\,dx.$$

Scoatem factor comun $(\ln x)^n$:

$$I_{n+2}+I_n =\int_1^{e^2} \frac{x(\ln x)^n\left(\ln^2 x+1\right)}{1+\ln^2 x}\,dx.$$

Prin simplificare,

$$I_{n+2}+I_n =\int_1^{e^2}x(\ln x)^n\,dx.$$

Pentru $x\in[1,e^2]$, avem

$$0\le \ln x\le 2.$$

Cum $n\ge 1$, rezultă

$$0\le (\ln x)^n\le 2^n.$$

Deci

$$I_{n+2}+I_n \le \int_1^{e^2}2^n x\,dx =2^n\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^{e^2}.$$

Calculăm:

$$2^n\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^{e^2} =2^n\cdot \frac{e^4-1}{2} =2^{n-1}(e^4-1).$$

Prin urmare,

$$\boxed{I_{n+2}+I_n\le 2^{n-1}(e^4-1),\quad \forall n\in\mathbb N^*}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte au fost rezolvate în ordinea din subiect.
• Condițiile de definiție au fost verificate unde contează: logaritmii la $x>0$, radicalul $\sqrt{x^2+2}$, valoarea $\frac{\pi}{3}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ și numitorul $1+\ln^2 x>0$.
• La sistemul liniar s-a folosit determinantul $\det A(a)=a^2+2>0$, deci unicitatea este justificată pentru orice $a\in\mathbb R$, iar condiția pentru $y_0$ a fost rezolvată complet.
• Pentru legea de compoziție s-au verificat calculul direct, ecuația în $x$ și tripletele naturale prin transformarea multiplicativă $\varphi(x)=\frac{4-x}{2}$.
• La analiza funcției au fost justificate derivata, semnul derivatei, intervalele de monotonie și limita exponențială prin logaritmare.
• Integralele și inegalitatea cu $I_n$ au fost calculate cu pași expliciți, iar rezultatele finale sunt simplificate și marcate clar.