Soluții BAC Mate-info 2025 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I

1. În progresia geometrică $(b_n)_{n\ge 1}$, termenii consecutivi verifică

$$b_3=b_2\cdot q,$$

unde $q$ este rația. Deoarece $b_2=20\ne 0$, avem

$$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{100}{20}=5.$$

Atunci

$$b_2=b_1\cdot q,$$

deci

$$20=5b_1 \Longleftrightarrow b_1=4.$$

Prin urmare,

$$\boxed{b_1=4}.$$

2. Condiția $f(a)=g(a)$ devine

$$4a+3=a-3.$$

Rezultă

$$4a-a=-3-3 \Longleftrightarrow 3a=-6 \Longleftrightarrow a=-2.$$

Așadar,

$$\boxed{a=-2}.$$

3. Ecuația este

$$9^x\cdot 3^3=3^{x+2}.$$

Scriem $9=3^2$:

$$(3^2)^x\cdot 3^3=3^{x+2}.$$

Prin regulile puterilor,

$$3^{2x}\cdot 3^3=3^{x+2} \Longleftrightarrow 3^{2x+3}=3^{x+2}.$$

Funcția exponențială de bază $3$ este injectivă, deci

$$2x+3=x+2.$$

De aici

$$x=-1.$$

Soluția este

$$\boxed{x=-1}.$$

4. Numerele naturale de două cifre sunt

$$10,11,\ldots,99,$$

deci sunt

$$99-10+1=90$$

de numere.

Numerele pare de două cifre sunt

$$10,12,14,\ldots,98,$$

iar numărul lor este

$$\frac{98-10}{2}+1=44+1=45.$$

Probabilitatea cerută este

$$P=\frac{45}{90}=\frac12.$$

Prin urmare,

$$\boxed{P=\frac12}.$$

5. Avem

$$\overrightarrow{OB}=(6,2)$$

și

$$\overrightarrow{AC}=(4-1,a-3)=(3,a-3).$$

Condiția ca dreptele $AC$ și $OB$ să fie paralele este echivalentă cu faptul că vectorii $\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{OB}$ sunt coliniari. Așadar,

$$\begin{vmatrix} 3&a-3\\ 6&2 \end{vmatrix} =0.$$

Calculăm determinantul:

$$3\cdot 2-6(a-3)=0.$$

Rezultă

$$6-6a+18=0 \Longleftrightarrow 24-6a=0 \Longleftrightarrow a=4.$$

Numărul real cerut este

$$\boxed{a=4}.$$

6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci $BC$ este ipotenuza. Din enunț,

$$BC=AB\sqrt2.$$

Aplicăm teorema lui Pitagora:

$$BC^2=AB^2+AC^2.$$

Înlocuind $BC=AB\sqrt2$, obținem

$$(AB\sqrt2)^2=AB^2+AC^2,$$

adică

$$2AB^2=AB^2+AC^2.$$

Prin urmare,

$$AC^2=AB^2.$$

Cum lungimile sunt pozitive, rezultă

$$AC=AB.$$

Aria triunghiului dreptunghic este

$$\mathcal A_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}.$$

Deoarece aria este $32$ și $AB=AC$, avem

$$\frac{AC^2}{2}=32.$$

Rezultă

$$AC^2=64,$$

deci

$$\boxed{AC=8}.$$

SUBIECTUL al II-lea

1.

Se consideră

$$M(x)= \begin{pmatrix} 2x&3x&-3\\ -x&-2x&1\\ 0&0&x+1 \end{pmatrix}.$$

• a) Pentru $x=0$,

$$M(0)= \begin{pmatrix} 0&0&-3\\ 0&0&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Primele două coloane ale matricei $M(0)$ sunt coloane nule. Prin urmare, determinantul este nul:

$$\boxed{\det(M(0))=0}.$$

• b) Calculăm produsul $M(x)M(y)$:

$$M(x)M(y)= \begin{pmatrix} xy&0&-3(x+y+1)\\ 0&xy&x+y+1\\ 0&0&xy+x+y+1 \end{pmatrix}.$$

Atunci

$$M(x)M(y)-xyI_3= \begin{pmatrix} 0&0&-3(x+y+1)\\ 0&0&x+y+1\\ 0&0&x+y+1 \end{pmatrix}.$$

Scoatem factor comun $x+y+1$:

$$M(x)M(y)-xyI_3 =(x+y+1) \begin{pmatrix} 0&0&-3\\ 0&0&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Dar

$$\begin{pmatrix} 0&0&-3\\ 0&0&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix} =M(0).$$

Prin urmare,

$$\boxed{M(x)M(y)-xyI_3=(x+y+1)M(0)}$$

pentru orice $x,y\in\mathbb R$.

• c) Folosim relația demonstrată la punctul b).

Pentru $M(1)M(x)$, substituim în relația de la b) prima variabilă cu $1$ și a doua variabilă cu $x$:

$$M(1)M(x)-xI_3=(x+2)M(0),$$

deci

$$M(1)M(x)=xI_3+(x+2)M(0).$$

Pentru $M(2)M\left(\frac{x}{2}\right)$, substituim prima variabilă cu $2$ și a doua variabilă cu $\frac{x}{2}$:

$$M(2)M\left(\frac{x}{2}\right)-xI_3 =\left(2+\frac{x}{2}+1\right)M(0).$$

Astfel,

$$M(2)M\left(\frac{x}{2}\right) =xI_3+\left(\frac{x}{2}+3\right)M(0).$$

Scădem cele două egalități:

$$M(1)M(x)-M(2)M\left(\frac{x}{2}\right) =\left(x+2-\frac{x}{2}-3\right)M(0).$$

Deci

$$M(1)M(x)-M(2)M\left(\frac{x}{2}\right) =\left(\frac{x}{2}-1\right)M(0).$$

Condiția din enunț devine

$$\left(\frac{x}{2}-1\right)M(0)=2M(0).$$

Matricea $M(0)$ nu este matricea nulă, de exemplu elementul de pe poziția $(2,3)$ este $1$. Comparând acest element, obținem

$$\frac{x}{2}-1=2.$$

Rezultă

$$\frac{x}{2}=3,$$

deci

$$\boxed{x=6}.$$

2.

Pe $\mathbb R$ este definită legea

$$x*y=5(x-1)(y-1)+1.$$

• a) Calculăm direct:

$$1*3=5(1-1)(3-1)+1.$$

Deoarece $1-1=0$, rezultă

$$1*3=5\cdot 0\cdot 2+1=1.$$

Așadar,

$$\boxed{1*3=1}.$$

• b) Arătăm că $e=\frac65$ este element neutru. Pentru orice $x\in\mathbb R$,

$$x*\frac65 =5(x-1)\left(\frac65-1\right)+1.$$

Cum

$$\frac65-1=\frac15,$$

avem

$$x*\frac65=5(x-1)\cdot \frac15+1=x-1+1=x.$$

De asemenea,

$$\frac65*x =5\left(\frac65-1\right)(x-1)+1 =5\cdot \frac15(x-1)+1=x.$$

Prin urmare,

$$\boxed{e=\frac65}$$

este elementul neutru al legii $*$.

• c) Legea este comutativă, deoarece formula

$$x*y=5(x-1)(y-1)+1$$

este simetrică în $x$ și $y$. Astfel, numărul $\frac{m}{25}$ este simetricul elementului $n$ dacă

$$n*\frac{m}{25}=e=\frac65.$$

Scriem condiția:

$$5(n-1)\left(\frac{m}{25}-1\right)+1=\frac65.$$

Deoarece

$$\frac{m}{25}-1=\frac{m-25}{25},$$

rezultă

$$5(n-1)\cdot \frac{m-25}{25}+1=\frac65.$$

Simplificăm:

$$\frac{(n-1)(m-25)}{5}+1=\frac65.$$

Prin urmare,

$$\frac{(n-1)(m-25)}{5}=\frac15,$$

deci

$$(n-1)(m-25)=1.$$

Factorii $n-1$ și $m-25$ sunt numere întregi. Cum produsul lor este $1$, avem cazurile:

$$\begin{cases} n-1=1,\\ m-25=1, \end{cases} \quad\text{sau}\quad \begin{cases} n-1=-1,\\ m-25=-1. \end{cases}$$

Din primul caz obținem

$$n=2,\qquad m=26.$$

Din al doilea caz obținem

$$n=0,\qquad m=24.$$

Ambele perechi sunt formate din numere naturale. Așadar,

$$\boxed{(m,n)\in\{(26,2),(24,0)\}}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1.

Se consideră funcția

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{2x-2+\ln x}{x}.$$

• a) Pentru $x\in(0,+\infty)$, scriem

$$f(x)=2-\frac{2}{x}+\frac{\ln x}{x}.$$

Derivăm termen cu termen:

$$\left(2\right)'=0,\qquad \left(-\frac{2}{x}\right)'=\frac{2}{x^2}.$$

Pentru ultimul termen,

$$\left(\frac{\ln x}{x}\right)' =\frac{\frac1x\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

Prin urmare,

$$f'(x)=\frac{2}{x^2}+\frac{1-\ln x}{x^2} =\frac{3-\ln x}{x^2}.$$

Așadar,

$$\boxed{f'(x)=\frac{3-\ln x}{x^2}},\qquad x\in(0,+\infty).$$

• b) Trebuie să calculăm

$$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{\ln x}.$$

Avem

$$\lim_{x\to1}f(x)=f(1)=\frac{2-2+\ln 1}{1}=0$$

și

$$\lim_{x\to1}\ln x=0,$$

deci este o formă nedeterminată de tip $\frac00$. Aplicăm regula lui l’Hôpital:

$$\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x} =\lim_{x\to1}\frac{f'(x)}{(\ln x)'}.$$

Folosind rezultatul de la punctul a),

$$\frac{f'(x)}{(\ln x)'} =\frac{\frac{3-\ln x}{x^2}}{\frac1x} =\frac{3-\ln x}{x}.$$

Prin urmare,

$$\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x} =\lim_{x\to1}\frac{3-\ln x}{x} =\frac{3-0}{1}=3.$$

Deci

$$\boxed{\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{\ln x}=3}.$$

• c) Pentru $x\in(0,+\infty)$, avem

$$f'(x)=\frac{3-\ln x}{x^2}.$$

Cum $x^2>0$, semnul derivatei este semnul lui $3-\ln x$. Astfel,

$$3-\ln x=0 \Longleftrightarrow \ln x=3 \Longleftrightarrow x=e^3.$$

Rezultă că $f$ este strict crescătoare pe $(0,e^3)$ și strict descrescătoare pe $(e^3,+\infty)$.

Calculăm valoarea maximă:

$$f(e^3)=\frac{2e^3-2+\ln(e^3)}{e^3} =\frac{2e^3-2+3}{e^3} =\frac{2e^3+1}{e^3} =2+\frac{1}{e^3}.$$

Deoarece $e>1$, avem

$$0<\frac1{e^3}<1,$$

deci

$$2<2+\frac1{e^3}<3.$$

Mai mult,

$$\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,$$

iar funcția este continuă pe $(0,+\infty)$. Prin urmare, ecuația $f(x)=m$ are cel puțin o soluție pentru orice

$$m\le 2+\frac1{e^3}.$$

Cel mai mare număr întreg cu această proprietate este

$$\boxed{m=2}.$$

Verificare: pentru $m=2$,

$$f(x)=2 \Longleftrightarrow \frac{2x-2+\ln x}{x}=2 \Longleftrightarrow \ln x=2,$$

de unde $x=e^2$, care aparține domeniului.

2.

Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x+4}{e^x}.$$

• a) Avem

$$f(x)e^x=\frac{x+4}{e^x}\cdot e^x=x+4.$$

Prin urmare,

$$\int_0^2 f(x)e^x\,dx =\int_0^2 (x+4)\,dx.$$

Calculăm:

$$\int_0^2 (x+4)\,dx =\left[\frac{x^2}{2}+4x\right]_0^2 =\left(\frac{4}{2}+8\right)-0 =10.$$

Așadar,

$$\boxed{\int_0^2 f(x)e^x\,dx=10}.$$

• b) Calculăm

$$\int_0^1 f(x)\,dx =\int_0^1 (x+4)e^{-x}\,dx.$$

Observăm că

$$\left(-(x+5)e^{-x}\right)' =-e^{-x}+(x+5)e^{-x} =(x+4)e^{-x}.$$

Deci

$$\int_0^1 (x+4)e^{-x}\,dx =\left[-(x+5)e^{-x}\right]_0^1.$$

Calculăm:

$$\left[-(x+5)e^{-x}\right]_0^1 =-6e^{-1}-\left(-5e^0\right) =-\frac6e+5.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\int_0^1 f(x)\,dx=5-\frac6e}.$$

• c) Pentru fiecare $n\in\mathbb N^*$,

$$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{f(x)}\,dx.$$

Deoarece

$$f(x)=\frac{x+4}{e^x},$$

iar $x+4>0$ și $e^x>0$ pe $[0,1]$, integralele sunt bine definite.

Calculăm:

$$I_{n+1}+4I_n =\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{f(x)}\,dx +4\int_0^1 \frac{x^n}{f(x)}\,dx.$$

Prin liniaritatea integralei,

$$I_{n+1}+4I_n =\int_0^1 \frac{x^{n+1}+4x^n}{f(x)}\,dx.$$

Factorizăm:

$$x^{n+1}+4x^n=x^n(x+4).$$

Atunci

$$I_{n+1}+4I_n =\int_0^1 \frac{x^n(x+4)}{\frac{x+4}{e^x}}\,dx =\int_0^1 x^n e^x\,dx.$$

Pentru $x\in[0,1]$, avem

$$e^x\le e.$$

De asemenea, $x^n\ge 0$, deci

$$x^n e^x\le e x^n.$$

Prin urmare,

$$I_{n+1}+4I_n \le e\int_0^1 x^n\,dx.$$

Calculăm

$$\int_0^1 x^n\,dx=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\frac1{n+1}.$$

Rezultă

$$\boxed{I_{n+1}+4I_n\le \frac{e}{n+1}},$$

pentru orice $n\in\mathbb N^*$.

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte au fost rezolvate în ordinea din subiect.
• Au fost verificate condițiile de definiție pentru logaritmi, funcția exponențială, integralele cu $\frac{1}{f(x)}$ și lungimile din geometrie.
• La matrice s-au calculat explicit determinantul nul, produsul $M(x)M(y)$ și ecuația matricială folosind relația demonstrată.
• La legea de compoziție s-au verificat elementul neutru bilateral și condiția de simetric prin raportare la elementul neutru.
• La studiul funcției s-au justificat derivata, monotonia, valoarea maximă și alegerea celui mai mare număr întreg.
• Integralele și inegalitatea cu $I_n$ au fost calculate cu pași expliciți, iar rezultatele finale sunt simplificate și marcate clar.