Subiectul BAC Mate-info 2026 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex $z=3-i$. Arătați că $z(z+2i)=10$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x-4$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)+f(-2a)=a$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+7}=2\sqrt{x+1}$.

4. (5p) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,5,7\}$. Determinați câte dintre submulțimile mulțimii $A$ au exact trei elemente și conțin numărul $5$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,6)$, $B(4,1)$ și $C(5,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $OA$ și $BC$ sunt paralele.

6. (5p) Se consideră expresia $E(x)=(1+\operatorname{tg}^2 x)\sin\dfrac x2+\cos3x$, unde $x\in\left(0,\dfrac\pi2\right)$. Arătați că $E\left(\dfrac\pi3\right)=1$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a\\a&3&a\\0&2&1\end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare

$\begin{cases}x+ay+az=1\\ax+3y+az=0\\2y+z=0,\end{cases}$

unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1))=2$.
• b) (5p) Arătați că, pentru orice număr real $a$, sistemul de ecuații are soluție unică.
• c) (5p) Determinați numărul natural nenul $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția $(x_0,y_0,z_0)$, cu $z_0=nx_0$, unde $n$ este număr natural.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x*y=\dfrac23(x-3)(y-3)+3$.

• a) (5p) Arătați că $0*2=5$.
• b) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x*\dfrac{3x}2=5x$.
• c) (5p) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m*m*n=-1$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x^2+5}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2}$, $x\in\mathbb{R}$.
• b) (5p) Arătați că dreapta de ecuație $y=x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.
• c) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții.

2. Se consideră funcția $f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x\ln x}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_2^3 f(x)x\ln x\,dx=\dfrac73$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_e^{e^2}\dfrac{f(x)}{x^2-4}\,dx=\ln2$.
• c) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac1{F^2(x)}\int_2^x(t-2)F(t)\,dt=\dfrac{\ln2}4$, unde $F:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F(2)=0$.

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.