Subiectul BAC Mate-info 2026 · Rezervă iunie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $3i(2+i)+2(2-3i)=1$, unde $i^2=-1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x-5$. Determinați numărul real $a$ pentru care $a+f(a-1)+f(a+1)=0$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\dfrac12\log_2(6x-8)=\log_2 x$.

4. (5p) Se consideră mulțimea $A=\{3,6,9,\ldots,60\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie divizibil cu $5$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,2)$, $B(a,0)$ și $C(1,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=6$ și $\widehat B=\dfrac\pi3$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $6\sqrt3$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix}2a-1&2&1\\0&-1&-a\\0&2&2a\end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(3))=0$.
• b) (5p) Arătați că $A(a)\cdot A(a)=(2a-1)A(a)$, pentru orice număr real $a$.
• c) (5p) Se consideră matricea $B(n)=A(n)+nI_3$, unde $n$ este număr natural. Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(n)\cdot B(n)=2n^2A(n)$.

2. Se consideră polinomul $f=X^4-X^3+aX^2+bX-6$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

• a) (5p) Pentru $a=4$ și $b=0$, arătați că $f(-1)=0$.
• b) (5p) Pentru $a=b=1$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X^2-X+1$.
• c) (5p) Determinați perechile $(a,b)$ de numere naturale pentru care două dintre rădăcinile polinomului $f$ sunt numere opuse.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln(2x^2+1)$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1}$, $x\in\mathbb{R}$.
• b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.
• c) (5p) Demonstrați că ecuația $f(x)=m$ are exact două soluții, pentru orice $m\in(2,+\infty)$.

2. Se consideră funcția $f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=4x^3+\dfrac1{x+2}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\dfrac1{x+2}\right)\,dx=15$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^e\dfrac{4\ln x}{f(x)-4x^3}\,dx=e^2+9$.
• c) (5p) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}$, $g(x)=f(e^x)-4e^{3x}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ este egală cu $\dfrac12\ln\dfrac{3e}{e+2}$.

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.