Barem oficial BAC Mate-info 2026 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1.

$z(z+2i)=(3-i)(3+i)=9-i^2$ (2p) $=9-(-1)=10$ (3p).

2.

$f(a)=3a-4$, $f(-2a)=-6a-4$ (3p). Din $3a-4-6a-4=a$ rezultă $a=-2$ (2p).

3.

$x^2+7=4(x+1)$, deci $x^2-4x+3=0$ (2p). Rezultă $x=1$ sau $x=3$, care convin (3p).

4.

Numărul cerut este egal cu numărul submulțimilor cu exact două elemente ale lui $A\setminus\{5\}$ (3p). Acesta este $\binom42=6$ (2p).

5.

$m_{OA}=2$ (2p). Cum $m_{BC}=a-1=m_{OA}$, obținem $a=3$ (3p).

6.

$\operatorname{tg}\dfrac\pi3=\sqrt3$, $\sin\dfrac\pi6=\dfrac12$, $\cos\pi=-1$ (3p). Atunci $E\left(\dfrac\pi3\right)=(1+3)\cdot\dfrac12-1=1$ (2p).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. a)

$A(1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&1\\0&2&1\end{pmatrix}$ (2p). Determinantul este $3+2+0-0-2-1=2$ (3p).

1. b)

$\det(A(a))=a^2-2a+3$ (3p) $=(a-1)^2+2\neq0$, deci sistemul are soluție unică pentru orice $a\in\mathbb{R}$ (2p).

1. c)

Condiția conduce la $2a=n(3-2a)$, cu $a,n\in\mathbb{N}$ și $a\neq0$ (3p). Rezultă $3-2a>0$, deci $a=1$, care convine (2p).

2. a)

$0*2=\dfrac23(0-3)(2-3)+3$ (3p) $=2+3=5$ (2p).

2. b)

$x*\dfrac{3x}2=x^2-5x+9$ (2p). Din $x^2-5x+9=5x$ rezultă $x=1$ sau $x=9$ (3p).

2. c)

$m*m=\dfrac23(m-3)^2+3$, iar $m*m*n=\dfrac49(m-3)^2(n-3)+3$ (2p). Condiția este echivalentă cu $(m-3)^2(n-3)=-9$, de unde perechile $(m,n)=(0,2)$ și $(6,2)$ (3p).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. a)

$f\prime(x)=\dfrac{(3x^2-4)(x^2+5)-(x^3-4x)\cdot2x}{(x^2+5)^2}$ (3p) $=\dfrac{x^4+19x^2-20}{(x^2+5)^2}=\dfrac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2}$ (2p).

1. b)

Se calculează $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)$ (2p) $=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-9x}{x^2+5}=0$, deci $y=x$ este asimptotă oblică (3p).

1. c)

$f\prime(x)=0$ pentru $x=\pm1$. Funcția este strict crescătoare pe $(-\infty,-1)$ și $(1,+\infty)$ și strict descrescătoare pe $(-1,1)$ (2p). Avem $f(-1)=\dfrac12$, $f(1)=-\dfrac12$, limitele la $-\infty$, respectiv $+\infty$, sunt $-\infty$, respectiv $+\infty$. Din continuitate rezultă $m\in\left(-\dfrac12,\dfrac12\right)$ (3p).

2. a)

$\displaystyle\int_2^3f(x)x\ln x\,dx=\int_2^3(x^2-4)dx=\left[\dfrac{x^3}3-4x\right]_2^3$ (3p) $=-3+\dfrac{16}3=\dfrac73$ (2p).

2. b)

$\displaystyle\int_e^{e^2}\dfrac{f(x)}{x^2-4}dx=\int_e^{e^2}\dfrac1{x\ln x}dx=[\ln(\ln x)]_e^{e^2}$ (3p) $=\ln2-\ln1=\ln2$ (2p).

2. c)

Prin regula lui l’Hôpital, $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{\int_2^x(t-2)F(t)dt}{F^2(x)}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)F(x)}{2F(x)f(x)}$ (3p) $=\lim_{x\to2}\dfrac{x-2}{2f(x)}=\lim_{x\to2}\dfrac{x\ln x}{2(x+2)}=\dfrac{\ln2}4$ (2p).

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.

Sursă: Arhiva oficială a Ministerului Educației și Cercetării.