Barem oficial BAC Mate-info 2026 · Iulie–August

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1.

Rația este $q=\dfrac{b_2}{b_1}=5$ (3p). Rezultă $b_3=b_1q^2=50$ (2p).

2.

$g(2)=2a-1$, $(f\circ g)(2)=2a-6$ (3p). Din $2a-6=2$ rezultă $a=4$ (2p).

3.

$\log_8(8x-x^2)=\log_8(6+x)$, deci $x^2-7x+6=0$ (2p). Rezultă $x=1$ sau $x=6$, care convin (3p).

4.

Cifra unităților se poate alege în $4$ moduri (2p). Pentru fiecare alegere, cifra zecilor se poate alege în $5$ moduri, deci $4\cdot5=20$ de numere (3p).

5.

$m_{AC}=1$, deci $m_d=1$ (3p). Ecuația este $y-2=x-2$, adică $y=x$ (2p).

6.

$\operatorname{tg}\dfrac\pi6=\dfrac1{\sqrt3}$, $\sin\dfrac\pi2=1$, $\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$ (3p). Atunci $E\left(\dfrac\pi2\right)=\dfrac3{\sqrt3}+1-\sqrt3=1$ (2p).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. a)

$A(2)=\begin{pmatrix}1&2&-4\\2&-1&-2\\1&-2&0\end{pmatrix}$ (2p). Determinantul este $0+16-4-4-4-0=4$ (3p).

1. b)

Pentru $a=1$, sistemul devine $x+y-2z=-1$, $2x-y-z=1$, $x-y=1$, iar determinantul matricei coeficienților este zero (2p). Minorul $\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}\neq0$, iar $\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&-1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=0$, deci sistemul are o infinitate de soluții (3p).

1. c)

$\det(A(a))=2a^2-2a\neq0$ pentru $a\notin\{0,1\}$, deci soluția este unică (2p). Avem $x_0=\dfrac a2$, $z_0=\dfrac1{2a}$, de unde $4x_0z_0=1$ (3p).

2. a)

$f(0)=0^3+0^2+a\cdot0+8$ (3p) $=8$, pentru orice $a\in\mathbb{R}$ (2p).

2. b)

$f(-2)=4-2a$ (3p). Din $4-2a=0$ rezultă $a=2$ (2p).

2. c)

Notăm $x_2=2x_1$. Din $x_1+x_2+x_3=-1$ și $x_1x_2x_3=-8$ rezultă $3x_1^3+x_1^2-4=0$ (3p). Factorizăm $(x_1-1)(3x_1^2+4x_1+4)=0$. Deoarece polinomul cubic are coeficienți reali și $x_2=2x_1$, rezultă că $x_1$ este real, deci $x_1=1$. Din $f(1)=0$ obținem $a=-10$, care convine (2p).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. a)

$f\prime(x)=4x-4-2e^{2x}-(2x-3)\cdot2e^{2x}$ (3p) $=4(x-1)(1-e^{2x})$ (2p).

1. b)

Prin regula lui l’Hôpital, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\dfrac{4(x-1)(1-e^{2x})}{2x}$ (3p). Cum $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-e^{2x}}{2x}=-1$, limita cerută este $4(-1)(-1)=4$ (2p).

1. c)

Derivata se anulează în $0$ și $1$. Funcția este descrescătoare pe $(-\infty,0]$, crescătoare pe $[0,1]$ și strict descrescătoare pe $(1,+\infty)$ (3p). Cum $f(0)=0$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ și $f$ este continuă, ecuația $f(x)+n=0$ are soluție unică pentru orice $n\in\mathbb{N}^*$ (2p).

2. a)

$\displaystyle\int_2^4 f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\,dx=\int_2^4(x-2)dx=\left[\dfrac{x^2}2-2x\right]_2^4$ (3p) $=0-(-2)=2$ (2p).

2. b)

$\displaystyle\int_1^3f(x)dx=\int_1^3\dfrac{(x^2-4x+5)\prime}{2\sqrt{x^2-4x+5}}dx=\left[\sqrt{x^2-4x+5}\right]_1^3$ (3p) $=\sqrt2-\sqrt2=0$ (2p).

2. c)

$\displaystyle V=\pi\int_2^3 f^2(x)dx=\pi\int_2^3\left(1-\dfrac1{(x-2)^2+1}\right)dx=\pi[x-\arctan(x-2)]_2^3$ (3p) $=\pi\left(1-\dfrac\pi4\right)$, deci $m=4$ (2p).

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.

Sursă: Arhiva oficială a Ministerului Educației și Cercetării.