Barem oficial BAC Mate șt. naturii 2026 · Simulare II

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1.

$2\sqrt2(3+\sqrt2)+3(1-2\sqrt2)=6\sqrt2+2\sqrt2\cdot\sqrt2+3-6\sqrt2$ (2p) $=7$ (3p).

2.

$f(2a)=6a-10$, $f(a)=3a-10$ (2p). Din $6a-10=3a-10-3$ rezultă $a=-1$ (3p).

3.

$4x^2-6x+5=3x^2$, deci $x^2-6x+5=0$ (2p). Rezultă $x=1$ sau $x=5$, care convin (3p).

4.

Sunt $90$ de cazuri posibile (2p) și $6$ cazuri favorabile ($10$, $11$, $12$, $20$, $21$, $30$), deci $p=\dfrac6{90}=\dfrac1{15}$ (3p).

5.

$m_{AB}=2$ (2p). Cum $m_{AC}=-\dfrac12$, avem $m_{AB}m_{AC}=-1$, deci triunghiul este dreptunghic în $A$ (3p).

6.

$\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2$, $\sin\dfrac\pi2=1$, $\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$ (3p). Atunci $E\left(\dfrac\pi6\right)=\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac{\sqrt3}2=0$ (2p).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. a)

$A(1)=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}$, deci $\det(A(1))=3\cdot2-0\cdot4$ (3p) $=6$ (2p).

1. b)

$A(-2)=\begin{pmatrix}-3&0\\-8&-1\end{pmatrix}$, iar $A(-2)A(1)-4I_2=\begin{pmatrix}-9&0\\-28&-2\end{pmatrix}-4I_2$ (2p) $=\begin{pmatrix}-13&0\\-28&-6\end{pmatrix}=A(-7)$, deci $x=-7$ (3p).

1. c)

$A(x)+A(1/x)-2I_2=\begin{pmatrix}2x+2/x&0\\4x+4/x&x+1/x\end{pmatrix}$, deci determinantul este $(2x+2/x)(x+1/x)$ (2p) $=2\left((x-1/x)^2+4\right)\geq8$ (3p).

2. a)

$1\circ1=1^2-1\cdot1-1+2\cdot1+1$ (3p) $=2$ (2p).

2. b)

$x\circ(2x)=-x^2+3x+1$ (2p). Din $-x^2+3x+1=1$ rezultă $x=0$ sau $x=3$ (3p).

2. c)

$m\circ n=m^2-mn-m+2n+1$, deci $m^2-mn-2m+2n=-1$ (2p). Echivalent, $(m-2)(m-n)=-1$, de unde perechile naturale $(1,0)$ și $(3,4)$ (3p).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. a)

$f\prime(x)=\sqrt x+\dfrac{x-1}{2\sqrt x}-\dfrac1{x\sqrt x}$ (3p) $=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt x}$ (2p).

1. b)

$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt x\,f\prime(x)}{5x-5}=\lim_{x\to1}\dfrac{3x^2-x-2}{2x(5x-5)}=\lim_{x\to1}\dfrac{(3x+2)(x-1)}{10x(x-1)}$ (3p) $=\dfrac12$ (2p).

1. c)

Funcția este descrescătoare pe $(0,1]$ și crescătoare pe $[1,+\infty)$ (2p). Cum $f(1)=2$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ și $f$ este continuă, imaginea este $[2,+\infty)$ (3p).

2. a)

$\displaystyle\int_0^1\dfrac{f(x)}{e^x}dx=\int_0^1(x^2+x)dx=\left[\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^2}2\right]_0^1$ (3p) $=\dfrac56$ (2p).

2. b)

$\displaystyle\int_1^2\dfrac{f(x)}x dx=\int_1^2(x+1)e^x dx=[xe^x]_1^2$ (3p) $=e(2e-1)$ (2p).

2. c)

$\displaystyle\int_2^4\dfrac{xf(x)}{f(x-1)}dx=e\int_2^4\dfrac{x^2+x}{x-1}dx=e\left[\dfrac{x^2}2+2x+2\ln(x-1)\right]_2^4=2e(5+\ln3)$ (3p). Rezultă $a=2$ (2p).

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.

Sursă: Arhiva oficială a Ministerului Educației și Cercetării.