Trigonometrie BAC Matematică: formule pe scurt fără cerc trigonometric

Pentru trigonometrie la BAC Matematică, trebuie să stăpânești valorile uzuale pentru 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, semnele pe cadrane, formulele fundamentale, reducerea la primul cadran, formulele pentru sumă, diferență și dublu unghi, apoi aplicațiile în triunghi. Dacă te încurci în cercul trigonometric, poți lucra cu un memorator practic: identifici unghiul, alegi formula, stabilești semnul și scrii calculul complet.

Articolul este util pentru M_mate-info, M_st-nat, M_tehnologic și, cu atenție la programa proprie, M_pedagogic. Dificultatea diferă, dar metoda rămâne aceeași: formulă, înlocuire, semn, concluzie.

Pe scurt

• Valorile uzuale se învață cel mai sigur din tabelul pentru 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
• Sinusul crește de la 0 la 1, iar cosinusul citește aceleași valori invers.
• Tangenta este tg x = sin x / cos x, iar cotangenta este ctg x = cos x / sin x, când rapoartele sunt definite.
• Pentru unghiuri de tip 180°-x, 180°+x, 360°-x sau pi-x, stabilești mai întâi cadranul.
• Pentru expresii cu a+b, a-b sau 2a, folosești formulele de adunare, diferență sau dublu unghi.
• În geometrie, trigonometria apare prin triunghi dreptunghic, teorema sinusurilor, teorema cosinusului și aria cu sinus.

Ce trebuie să știi la trigonometrie pentru BAC

În programa oficială de matematică, trigonometria apare diferențiat pe profiluri. Pentru M_mate-info, M_st-nat și M_tehnologic, programa include cercul trigonometric, funcțiile sin, cos, tg, ctg, reducerea la primul cadran, formulele pentru sumă, diferență și dublu unghi, plus aplicații geometrice.

Pentru M_pedagogic, partea de trigonometrie este mai restrânsă: aplicații în geometrie, triunghi dreptunghic, formule precum sin(180°-x)=sin x, cos(180°-x)=-cos x, teorema sinusurilor și teorema cosinusului.

La BAC, trigonometria apare în cerințe scurte sau în probleme de geometrie. Baremul punctează metoda: formula corectă, înlocuirea valorilor, semnul și calculul final.

Tabel rapid: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă

Aceleași unghiuri pot apărea în grade sau în radiani.

Unghi	Radiani	sin x	cos x	tg x	ctg x
0°	0	0	1	0	nedefinită
30°	pi/6	1/2	sqrt(3)/2	sqrt(3)/3	sqrt(3)
45°	pi/4	sqrt(2)/2	sqrt(2)/2	1	1
60°	pi/3	sqrt(3)/2	1/2	sqrt(3)	sqrt(3)/3
90°	pi/2	1	0	nedefinită	0

Conversiile de bază sunt:

30° = pi/6
45° = pi/4
60° = pi/3
90° = pi/2
180° = pi
270° = 3pi/2
360° = 2pi

Greșeală frecventă: pi/6 înseamnă 30°, nu 6°. Când vezi pi/3, gândește imediat 60°.

Cum reții valorile fără cerc trigonometric

Pentru sinus, scrii radicalii de la 0 la 4, apoi îi împarți la 2:

sin 0°  = sqrt(0)/2 = 0
sin 30° = sqrt(1)/2 = 1/2
sin 45° = sqrt(2)/2
sin 60° = sqrt(3)/2
sin 90° = sqrt(4)/2 = 1

Pentru cosinus, citești aceleași valori invers:

cos 0°  = 1
cos 30° = sqrt(3)/2
cos 45° = sqrt(2)/2
cos 60° = 1/2
cos 90° = 0

Pentru tangentă, împarți sinusul la cosinus. Pentru cotangentă, împarți cosinusul la sinus.

Exemplu rapid:

tg 30° = sin 30° / cos 30°
       = (1/2) / (sqrt(3)/2)
       = 1/sqrt(3)
       = sqrt(3)/3

De ce facem asta: dacă uiți valoarea tangentei, o poți reconstrui din sinus și cosinus. Ai grijă doar la valorile unde numitorul este 0.

Semnele funcțiilor trigonometrice pe cadrane

Semnul contează la exercițiile cu intervale, reducere la primul cadran și formule fundamentale. Nu este suficient să găsești valoarea absolută.

Cadran	Interval în grade	Interval în radiani	sin x	cos x	tg x	ctg x
I	(0°, 90°)	(0, pi/2)	+	+	+	+
II	(90°, 180°)	(pi/2, pi)	+	-	-	-
III	(180°, 270°)	(pi, 3pi/2)	-	-	+	+
IV	(270°, 360°)	(3pi/2, 2pi)	-	+	-	-

Tangenta are semnul raportului sin x / cos x. Cotangenta are semnul raportului cos x / sin x. De aceea, în cadranele II și IV sunt negative, iar în cadranul III sunt pozitive.

Formule fundamentale de trigonometrie

Aceste formule sunt baza pentru exerciții scurte și pentru calcule cu semn.

sin^2 x + cos^2 x = 1
tg x = sin x / cos x, cu cos x != 0
ctg x = cos x / sin x, cu sin x != 0
tg x * ctg x = 1, când ambele sunt definite
1 + tg^2 x = 1 / cos^2 x
1 + ctg^2 x = 1 / sin^2 x

La BAC, scrie și condițiile de existență când sunt importante. De exemplu, tg x nu este definită dacă cos x = 0. Dacă ai interval pentru x, stabilește cadranul înainte să alegi semnul.

Formule de reducere la primul cadran

Reducerea te ajută să transformi un unghi mare într-un unghi uzual. Pentru nivel BAC, cele mai folosite sunt:

sin(90° - x) = cos x
cos(90° - x) = sin x

sin(180° - x) = sin x
cos(180° - x) = -cos x

sin(180° + x) = -sin x
cos(180° + x) = -cos x

sin(360° - x) = -sin x
cos(360° - x) = cos x

În radiani, aceleași formule se scriu cu pi/2, pi și 2pi:

sin(pi - x) = sin x
cos(pi - x) = -cos x
sin(2pi - x) = -sin x
cos(2pi - x) = cos x

Metodă în 3 pași:

1. Scrie unghiul ca pi - a, pi + a, 2pi - a sau pi/2 - a.
2. Află cadranul unghiului inițial.
3. Păstrează valoarea uzuală și aplică semnul corect.

Formule pentru sumă, diferență și dublul unghiului

Când vezi a+b, a-b sau 2a, nu încerca să separi funcția greșit. De exemplu, sin(a+b) nu este egal cu sin a + sin b.

Formulele pentru sinus sunt:

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

Formulele pentru cosinus sunt:

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Formulele de dublu unghi:

sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos^2 a - sin^2 a
cos 2a = 1 - 2 sin^2 a
cos 2a = 2 cos^2 a - 1

Dacă știi sin a și cos a, de obicei este mai sigur să lucrezi cu formulele pentru sin 2a și cos 2a, nu cu formule derivate pentru tangentă.

Trigonometrie în triunghi

În triunghiul dreptunghic, formulele pornesc de la catete și ipotenuză:

sin A = cateta opusă / ipotenuză
cos A = cateta alăturată / ipotenuză
tg A = cateta opusă / cateta alăturată
ctg A = cateta alăturată / cateta opusă

Într-un triunghi oarecare, formulele utile la BAC sunt:

a / sin A = b / sin B = c / sin C

Aceasta este teorema sinusurilor.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A

Aceasta este teorema cosinusului, unde unghiul A este între laturile b și c.

Pentru aria triunghiului:

A_triunghi = (1/2)bc sin A

Formula se folosește când știi două laturi și sinusul unghiului dintre ele.

Exemple rezolvate tip BAC

Exemplul 1: valori uzuale în radiani

Cerință: Calculează sin(pi/3) + cos(pi/6).

Pasul 1: transformăm unghiurile în valori cunoscute.

pi/3 = 60°
pi/6 = 30°

Pasul 2: citim valorile din tabel.

sin(pi/3) = sin 60° = sqrt(3)/2
cos(pi/6) = cos 30° = sqrt(3)/2

Pasul 3: adunăm.

sqrt(3)/2 + sqrt(3)/2 = sqrt(3)

Răspuns final: sqrt(3).

Verificare rapidă: ambele valori sunt egale cu sqrt(3)/2, deci suma lor trebuie să fie dublul acestei valori.

Exemplul 2: reducere fără desen

Cerință: Calculează cos(5pi/6) și sin(5pi/6).

Pasul 1: scriem unghiul sub forma pi - a.

5pi/6 = pi - pi/6

Pasul 2: aplicăm formulele de reducere.

cos(5pi/6) = cos(pi - pi/6) = -cos(pi/6)
sin(5pi/6) = sin(pi - pi/6) = sin(pi/6)

Pasul 3: înlocuim valorile uzuale.

cos(pi/6) = sqrt(3)/2
sin(pi/6) = 1/2

Răspuns final: cos(5pi/6) = -sqrt(3)/2, iar sin(5pi/6) = 1/2.

Verificare rapidă: 5pi/6 este în cadranul II. Acolo sinusul este pozitiv, iar cosinusul este negativ.

Exemplul 3: formula fundamentală cu semn

Cerință: Se știe că sin x = 3/5 și x este în cadranul II. Calculează cos x și tg x.

Pasul 1: folosim formula fundamentală.

sin^2 x + cos^2 x = 1

Înlocuim sin x = 3/5:

(3/5)^2 + cos^2 x = 1
9/25 + cos^2 x = 1
cos^2 x = 16/25

Pasul 2: alegem semnul corect.

Din cos^2 x = 16/25, rezultă cos x = 4/5 sau cos x = -4/5. Pentru că x este în cadranul II, cosinusul este negativ.

cos x = -4/5

Pasul 3: calculăm tangenta.

tg x = sin x / cos x
tg x = (3/5) / (-4/5)
tg x = -3/4

Răspuns final: cos x = -4/5, tg x = -3/4.

Verificare rapidă: în cadranul II, tangenta trebuie să fie negativă. Rezultatul respectă semnul.

Exemplul 4: dublu unghi

Cerință: Dacă sin a = 3/5 și cos a = 4/5, calculează sin 2a și cos 2a.

Pasul 1: aplicăm formula pentru sinusul dublului.

sin 2a = 2 sin a cos a
sin 2a = 2 * 3/5 * 4/5
sin 2a = 24/25

Pasul 2: alegem o formulă potrivită pentru cos 2a.

Pentru că știm și sinusul, și cosinusul, folosim:

cos 2a = cos^2 a - sin^2 a

Înlocuim:

cos 2a = (4/5)^2 - (3/5)^2
cos 2a = 16/25 - 9/25
cos 2a = 7/25

Răspuns final: sin 2a = 24/25, cos 2a = 7/25.

Verificare rapidă: (24/25)^2 + (7/25)^2 = 1, deci valorile respectă formula fundamentală.

Exemplul 5: aria triunghiului cu sinus

Cerință: Într-un triunghi, două laturi care încadrează un unghi au lungimile 6 și 10, iar sinusul unghiului dintre ele este 3/5. Calculează aria.

Pasul 1: alegem formula ariei.

A = (1/2)bc sin A

Pasul 2: înlocuim datele.

A = (1/2) * 6 * 10 * 3/5

Pasul 3: simplificăm.

A = 30 * 3/5
A = 18

Răspuns final: aria triunghiului este 18.

Verificare rapidă: formula este potrivită pentru că avem două laturi și sinusul unghiului dintre ele.

Mini-algoritm pentru un exercițiu de 5 puncte

Când vezi trigonometrie la BAC, folosește această ordine:

1. Identifică forma unghiului: valoare uzuală, reducere, sumă, diferență, dublu unghi sau triunghi.
2. Scrie formula exactă.
3. Înlocuiește valorile cunoscute.
4. Stabilește semnul din cadran sau din interval.
5. Simplifică atent, fără să sari peste pașii cu radicali sau fracții.
6. Scrie răspunsul final în forma cerută.
7. Verifică dacă rezultatul respectă semnul, domeniul și datele din enunț.

Greșeli frecvente la trigonometrie în BAC

• Confunzi valorile pentru 30° și 60°. Reține că sinusul crește de la 0 la 1, iar cosinusul scade de la 1 la 0.
• Uiți semnul după reducere. De exemplu, cos(180°-x) = -cos x, dar sin(180°-x) = sin x.
• Scrii tg x = sin x / cos x fără să verifici dacă cos x != 0.
• Scrii ctg x = cos x / sin x fără să verifici dacă sin x != 0.
• Folosești formula cos(a-b) cu minus. Corect este cos(a-b)=cos a cos b + sin a sin b.
• Folosești formula cos(a+b) cu plus. Corect este cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b.
• Alegi greșit formula pentru cos 2a. Dacă știi sin a, poate fi mai rapid cos 2a = 1 - 2sin^2 a. Dacă știi cos a, poate fi mai rapid cos 2a = 2cos^2 a - 1.
• Amesteci gradele cu radianii. pi/6 nu este 6°.
• În teorema cosinusului, folosești un unghi care nu este între cele două laturi alese.
• Scrii doar rezultatul final. În barem, punctajul poate veni și din formula corectă și din înlocuire.

Recapitulare rapidă înainte de test

Dacă ai puțin timp, începe cu tabelul valorilor uzuale, semnele pe cadrane și formulele sin^2 x + cos^2 x = 1, tg x = sin x / cos x, sin 2a, cos 2a. Apoi adaugă formulele de reducere, formulele pentru sumă și diferență, iar la final aplicațiile în triunghi.

Checklist final:

• Știu tabelul pentru 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
• Recunosc echivalențele în radiani: pi/6, pi/4, pi/3, pi/2.
• Pot stabili semnul în fiecare cadran.
• Scriu formula înainte să înlocuiesc valorile.
• Verific dacă tg și ctg sunt definite.
• Aleg corect formula pentru sumă, diferență sau dublu unghi.
• În probleme de geometrie, verific dacă unghiul este între laturile folosite.

Întrebări frecvente

Ce formule de trigonometrie trebuie să știu pentru BAC?

Trebuie să știi valorile uzuale, semnele pe cadrane, formulele fundamentale, reducerea la primul cadran, formulele pentru sumă, diferență și dublu unghi, plus formulele în triunghi. Verifică și programa profilului tău.

Cum rețin sinus și cosinus pentru 30, 45 și 60 de grade?

Pentru sinus, folosește regula sqrt(0)/2, sqrt(1)/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, sqrt(4)/2. Pentru cosinus, citești invers.

Trebuie să știu cercul trigonometric la BAC?

Pentru M_mate-info, M_st-nat și M_tehnologic, cercul trigonometric este inclus în programa de trigonometrie. La recapitulare, memoratorul te ajută să recunoști rapid valorile, semnele și formulele.

Cum știu semnul lui sin, cos, tg și ctg?

Stabilești cadranul. În cadranul I toate sunt pozitive. În cadranul II doar sinusul este pozitiv. În cadranul III tangenta și cotangenta sunt pozitive. În cadranul IV doar cosinusul este pozitiv.

Ce formule de dublu unghi se folosesc la BAC?

Cele mai utile sunt sin 2a = 2 sin a cos a și cos 2a = cos^2 a - sin^2 a. Pentru cos 2a, mai poți folosi 1 - 2sin^2 a sau 2cos^2 a - 1, în funcție de datele din enunț.

Surse și verificare

Verificare: programa oficială de matematică și modelele, subiectele și baremele de pe subiecte.edu.ro.

• Programa oficială BAC Matematică, edu.ro: https://www.edu.ro/sites/default/files/Programa_Bac_2015_E%20c%29_Matematica.pdf
• Edu.ro, pagina despre Bacalaureat: https://www.edu.ro/bacalaureat
• Subiecte.edu.ro, modele de subiecte BAC 2026: https://subiecte.edu.ro/2026/bacalaureat/modeledesubiecte/probescrise/
• Subiecte.edu.ro, subiecte și bareme BAC 2025: https://subiecte.edu.ro/2025/bacalaureat/Subiecte_si_bareme/