BacPath

Actualizat pe 16 octombrie 2026

Studiul monotoniei la BAC Matematică: derivata, tabel de semne și exemple rezolvate

Ghid pas cu pas pentru studiul monotoniei la BAC Matematică: derivată, tabel de semne, intervale, exemple, barem și greșeli frecvente.

Studiul monotoniei la BAC Matematică înseamnă să determini intervalele pe care o funcție este crescătoare sau descrescătoare. La Subiectul al III-lea, metoda standard este: stabilești domeniul, calculezi derivata f'(x), citești semnul derivatei printr-un tabel, apoi scrii concluzia în intervale clare. Aceeași idee te ajută și la extreme, injectivitate, bijectivitate, număr de soluții sau inegalități.

Monotonia nu se rezolvă din intuiție. În lucrare trebuie să se vadă pașii: domeniu, derivată, valori critice, semnul lui f' și concluzie. Baremul oficial poate acorda punctaj intermediar pentru pașii corecți.

Pe scurt

  • Dacă f'(x)>0 pe un interval, funcția este strict crescătoare pe acel interval.
  • Dacă f'(x)<0 pe un interval, funcția este strict descrescătoare pe acel interval.
  • Dacă f'(x)>=0, poți concluziona că funcția este crescătoare, în ipotezele uzuale de continuitate și derivabilitate.
  • Dacă f'(x)<=0, poți concluziona că funcția este descrescătoare.
  • În tabel pui rădăcinile derivatei și punctele care rup domeniul.
  • Nu confunda semnul lui f'(x) cu semnul lui f(x). Derivata arată cum variază funcția, nu dacă funcția este pozitivă.

Ce înseamnă monotonia unei funcții la BAC

O funcție este crescătoare pe un interval dacă, pentru x1 < x2, rezultă f(x1) <= f(x2). Este strict crescătoare dacă rezultă f(x1) < f(x2).

Pentru descreștere, inegalitățile se inversează: f(x1) >= f(x2). Pentru strict descrescătoare, scrii f(x1) > f(x2).

La BAC, rar demonstrezi monotonia direct din definiție. De obicei folosești derivata întâi, pentru că este cea mai rapidă metodă la funcțiile de analiză.

Criteriul cu derivata întâi

Pentru o funcție derivabilă pe un interval, semnul derivatei îți spune monotonia:

Semnul derivatei Concluzie despre funcție
f'(x)>0 f este strict crescătoare
f'(x)<0 f este strict descrescătoare
f'(x)>=0 f este crescătoare
f'(x)<=0 f este descrescătoare

De ce funcționează: derivata arată sensul de variație al funcției. Dacă derivata este pozitivă, valorile funcției urcă. Dacă derivata este negativă, valorile funcției coboară.

În lucrare nu scrie doar „din tabel rezultă”. Scrie explicit:

Deoarece f'(x)>0 pe intervalul I, funcția f este strict crescătoare pe I.

Sau:

Deoarece f'(x)<0 pe intervalul I, funcția f este strict descrescătoare pe I.

Algoritmul complet pentru studiul monotoniei

Folosește aceeași ordine de fiecare dată. Te ajută să nu sari peste puncte care apar în barem.

  1. Stabilește domeniul funcției.
  2. Calculează derivata f'(x).
  3. Simplifică și factorizează derivata, dacă se poate.
  4. Rezolvă ecuația f'(x)=0.
  5. Adaugă în tabel și punctele unde domeniul se rupe.
  6. Determină semnul lui f'(x) pe fiecare interval.
  7. Scrie intervalele de creștere și descreștere.
  8. Dacă se cere, notează extremele, injectivitatea, imaginea sau inegalitatea.

Pasul 1: domeniul

Domeniul este primul filtru. Dacă îl sari, poți construi un tabel greșit, mai ales la fracții, logaritmi și radicali.

Tip de expresie Condiție
fracție numitorul trebuie să fie diferit de 0
logaritm ln u u>0
radical de ordin par sqrt(u) u>=0
funcție polinomială domeniul este de obicei R

Pasul 2: derivata

Pentru monotonia de BAC ai nevoie de formulele de bază:

Funcție sau operație Derivată
(c)' 0
(x)' 1
(x^n)' n*x^(n-1)
(u+v)' u'+v'
(u-v)' u'-v'
(u*v)' u'v+uv'
(u/v)' (u'v-uv')/v^2, cu v != 0
(e^u)' u'e^u
(ln u)' u'/u, cu u>0
(sqrt(u))' u'/(2sqrt(u)), unde are sens

Derivata apare uneori lângă tangenta la grafic. Pentru tangenta în x=a, formula este:

y - f(a) = f'(a)(x-a)

Cum faci tabelul de semne pentru f'(x)

Tabelul de semne nu este decorativ. El arată de ce funcția crește sau descrește.

Model de tabel:

x interval 1 valoare critică interval 2
f'(x) + 0 -
f(x) crește maxim descrește

În tabel pui:

  • rădăcinile ecuației f'(x)=0;
  • punctele unde derivata nu există;
  • punctele care rup domeniul în intervale separate.

Cum citești semnul mai repede

Separă factorii care sunt mereu pozitivi. Pentru f'(x)=((x-1)(x+2))/(x^2+1), numitorul este mereu pozitiv, deci semnul vine din (x-1)(x+2). Pentru f'(x)=e^x(x-3), factorul e^x este pozitiv, deci semnul vine din x-3.

Exemplu rezolvat 1: funcție polinomială

Cerință: Studiază monotonia funcției:

f:R -> R, f(x)=x^3-3x+1

Rezolvare pas cu pas

Pasul 1: domeniul.

Funcția este polinomială, deci:

D=R

Pasul 2: calculăm derivata.

f'(x)=3x^2-3

Factorizăm:

f'(x)=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)

Pasul 3: rezolvăm f'(x)=0.

3(x-1)(x+1)=0

Rezultă:

x=1 sau x=-1

Pasul 4: stabilim semnul derivatei.

Factorul 3 este pozitiv, deci semnul vine din (x-1)(x+1).

Interval Semnul lui f'(x) Monotonie
(-inf,-1) + crescătoare
(-1,1) - descrescătoare
(1,+inf) + crescătoare

Pasul 5: scriem concluzia.

Răspuns final: funcția este crescătoare pe (-inf,-1] și [1,+inf), respectiv descrescătoare pe [-1,1].

Extreme

În x=-1, derivata trece de la + la -, deci funcția are maxim local.

În x=1, derivata trece de la - la +, deci funcția are minim local.

Calculăm valorile:

f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3
f(1)=1^3-3*1+1=1-3+1=-1

Maximul local este 3, atins pentru x=-1. Minimul local este -1, atins pentru x=1.

Exemplu rezolvat 2: funcție rațională cu domeniu rupt

Cerință: Studiază monotonia funcției:

f:R\{0} -> R, f(x)=x+1/x

Rezolvare pas cu pas

Pasul 1: domeniul.

Funcția conține 1/x, deci x != 0.

D=R\{0}

Pasul 2: calculăm derivata.

f'(x)=1-1/x^2

Aducem la același numitor:

f'(x)=(x^2-1)/x^2

Factorizăm:

f'(x)=((x-1)(x+1))/x^2

Pasul 3: valorile importante pentru tabel.

Din f'(x)=0 obținem:

x=-1 sau x=1

Dar trebuie pus și x=0 în tabel, pentru că rupe domeniul.

Pasul 4: semnul derivatei.

Numitorul x^2 este pozitiv pentru x != 0, deci semnul vine din (x-1)(x+1).

Interval Semnul lui f'(x) Monotonie
(-inf,-1) + crescătoare
(-1,0) - descrescătoare
(0,1) - descrescătoare
(1,+inf) + crescătoare

Răspuns final: funcția este crescătoare pe (-inf,-1] și [1,+inf), respectiv descrescătoare pe [-1,0) și (0,1].

Verificare rapidă: nu poți scrie [-1,1] ca interval de descreștere, deoarece 0 nu aparține domeniului.

Exemplu rezolvat 3: funcție cu logaritm și inegalitate

Cerință: Studiază monotonia funcției:

f:(0,+inf) -> R, f(x)=ln x - x

Apoi folosește rezultatul pentru a justifica inegalitatea:

ln x <= x - 1, pentru x>0

Rezolvare pas cu pas

Pasul 1: domeniul.

Pentru ln x, trebuie x>0, deci:

D=(0,+inf)

Pasul 2: calculăm derivata.

f'(x)=1/x-1

Aducem la același numitor:

f'(x)=(1-x)/x

Pasul 3: semnul derivatei.

Pe domeniu, x>0, deci numitorul este pozitiv. Semnul lui f'(x) vine din 1-x.

Interval Semnul lui f'(x) Monotonie
(0,1) + crescătoare
(1,+inf) - descrescătoare

Răspuns pentru monotonie: funcția este crescătoare pe (0,1] și descrescătoare pe [1,+inf).

Pasul 4: maximul.

Derivata trece de la + la - în x=1, deci f are maxim în x=1.

f(1)=ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1

Prin urmare:

f(x)<=-1, pentru orice x>0

Înlocuim f(x)=ln x - x:

ln x - x <= -1

Adunăm x în ambele părți:

ln x <= x - 1

Răspuns final: inegalitatea este adevărată pentru orice x>0.

Exemplu rezolvat 4: funcție cu exponențială

Cerință: Studiază monotonia funcției:

f:R -> R, f(x)=x/e^x

Rezolvare pas cu pas

Pasul 1: domeniul.

Funcția e^x este pozitivă pentru orice x, deci numitorul nu este zero.

D=R

Pasul 2: derivăm folosind formula pentru cât și simplificăm:

f'(x)=((1*e^x - x*e^x)/(e^x)^2)
f'(x)=(1-x)/e^x

Pasul 3: semnul derivatei.

Deoarece e^x>0, semnul lui f'(x) vine din 1-x.

Interval Semnul lui f'(x) Monotonie
(-inf,1) + crescătoare
(1,+inf) - descrescătoare

Răspuns final: funcția este crescătoare pe (-inf,1] și descrescătoare pe [1,+inf).

În x=1, derivata trece de la + la -, deci funcția are maxim:

f(1)=1/e

Cum folosești monotonia pentru extreme

După tabelul de semne, extremele se citesc din schimbarea semnului derivatei.

Schimbarea lui f' Ce rezultă
+ apoi - maxim local
- apoi + minim local
+ apoi + nu apare extrem din semnul derivatei
- apoi - nu apare extrem din semnul derivatei

Greșeala frecventă este să spui că orice soluție a lui f'(x)=0 este automat extrem. Nu este suficient. Trebuie să verifici semnul derivatei în jurul punctului sau comportamentul funcției.

Model de redactare:

Deoarece f' își schimbă semnul din + în - în x=a, funcția are maxim local în x=a.

Sau:

Deoarece f' își schimbă semnul din - în + în x=a, funcția are minim local în x=a.

Cum folosești monotonia pentru injectivitate și bijectivitate

O funcție strict monotonă pe un interval este injectivă pe acel interval. Acesta este unul dintre cele mai utile tipare de BAC.

Model:

f'(x)>0 pentru orice x din D

Rezultă:

f este strict crescătoare pe D

Deci:

f este injectivă pe D

Pentru bijectivitate, nu ajunge să scrii „derivata este pozitivă, deci bijectivă”. Derivata pozitivă îți dă stricta creștere și injectivitatea. Pentru surjectivitate trebuie să verifici imaginea funcției și codomeniul. Tiparul complet este:

  1. arăți că f'(x)>0 pe domeniu;
  2. concluzionezi că f este strict crescătoare, deci injectivă;
  3. folosești continuitatea și limitele la capetele domeniului;
  4. arăți că imaginea coincide cu codomeniul;
  5. concluzionezi că funcția este surjectivă și apoi bijectivă.

Cum demonstrezi inegalități cu monotonia

Pentru inegalități, definește o funcție auxiliară și studiază-i monotonia sau extremul.

Model de lucru:

  1. Adu inegalitatea în forma g(x)>=0 sau g(x)<=0.
  2. Stabilește domeniul sau intervalul din enunț.
  3. Calculează g'(x) și fă tabelul de semne.
  4. Găsește minimul sau maximul relevant.
  5. Scrie concluzia pentru inegalitate.

Exemplu scurt:

ln x <= x - 1

Definim:

g(x)=ln x - x + 1, x>0

Dacă arătăm că maximul lui g este 0, atunci rezultă g(x)<=0, adică inegalitatea cerută.

La BAC, cerința poate cere o inegalitate pe un interval, iar monotonia te ajută să compari valorile de la capete sau din punctul de extrem.

Cum se punctează monotonia în barem

Subiectele de Matematică au 100 de puncte în total: 10 puncte din oficiu și 90 de puncte împărțite în trei subiecte de câte 30 de puncte. Cerințele de monotonie apar cel mai des la Subiectul al III-lea.

Împărțirea exactă depinde de baremul variantei. La monotonie, punctajul se poate lega de domeniu, derivata corectă, ecuația f'(x)=0, tabelul de semn și concluzia în intervale.

Regula practică: dacă ai doar derivata, nu ai terminat cerința. Scrie explicit intervalele de creștere și descreștere.

Greșeli frecvente la studiul monotoniei

  1. Nu scrii domeniul înainte de derivare.
  2. Incluzi în tabel intervale care nu aparțin domeniului, mai ales la ln x.
  3. Uiți punctele care rup domeniul, de exemplu x=0 la 1/x.
  4. Confunzi f'(x)>0 cu f(x)>0.
  5. Scrii „funcția este crescătoare” fără să precizezi pe ce interval.
  6. Folosești intervale închise în puncte care nu aparțin domeniului.
  7. Tratezi e^x ca și cum ar putea fi negativ.
  8. Spui că orice rădăcină a derivatei este extrem, fără să verifici semnul.
  9. Scrii „strict crescătoare, deci bijectivă” fără să verifici surjectivitatea.
  10. La inegalități, nu definești funcția auxiliară.
  11. La barem, lași doar rezultatul final și nu se vede metoda.

Model scurt de redactare pentru lucrare

Poți folosi acest șablon când cerința este „Studiați monotonia funcției”.

Avem D=...
Calculăm f'(x)=...
Rezolvăm f'(x)=0 și obținem x=...
Semnul lui f'(x) este ... pe ... și ... pe ...
Prin urmare, f este crescătoare pe ... și descrescătoare pe ...

Dacă apare extrem:

Deoarece f' își schimbă semnul din + în - în x=a, f are maxim local în x=a.

Dacă apare injectivitate:

Deoarece f'(x)>0 pe D, funcția f este strict crescătoare pe D, deci injectivă.

Lista finală de verificare

Înainte să treci mai departe, verifică:

  • am scris domeniul;
  • am calculat derivata fără să sar pași;
  • am simplificat derivata ca să pot citi semnul;
  • am pus în tabel rădăcinile derivatei;
  • am separat corect intervalele;
  • am scris unde funcția crește și unde descrește;
  • am verificat dacă se cere extrem, injectivitate, bijectivitate sau inegalitate;
  • am formulat concluzia în limbaj de BAC, nu doar prin săgeți în tabel.

Întrebări frecvente

Cum se studiază monotonia unei funcții la BAC?

Scrii domeniul, calculezi derivata, rezolvi f'(x)=0, faci tabelul de semne pentru f', apoi scrii intervalele de creștere și descreștere.

Ce legătură are derivata cu monotonia?

Semnul derivatei arată sensul de variație al funcției. Dacă f'(x)>0, funcția crește. Dacă f'(x)<0, funcția descrește.

Cum fac tabelul de monotonie?

Pui pe prima linie valorile critice ale lui x, pe a doua linie semnul lui f'(x), iar pe a treia linie comportamentul lui f(x): creștere, descreștere și eventual extreme.

Când o funcție este strict crescătoare?

La nivel de BAC, dacă f'(x)>0 pe un interval și funcția respectă condițiile uzuale de derivabilitate, poți concluziona că funcția este strict crescătoare pe acel interval.

Trebuie să scriu domeniul înainte de derivată?

Da. Domeniul îți spune pe ce intervale lucrezi și ce valori nu pot apărea în tabel. Este esențial la fracții, logaritmi și radicali.

Cum folosesc monotonia ca să demonstrez o inegalitate?

Definești o funcție auxiliară, îi studiezi monotonia sau extremul, apoi arăți că valoarea minimă sau maximă duce la inegalitatea cerută.

Cum arăt că o funcție este injectivă la BAC?

O metodă eficientă este să arăți că funcția este strict monotonă pe domeniul cerut. O funcție strict crescătoare sau strict descrescătoare este injectivă pe acel interval.

Surse și verificare