BacPath

Actualizat pe 11 septembrie 2026

Progresii aritmetice și geometrice BAC rezolvate: formule, tipare și exemple pas cu pas

Învață progresii aritmetice și geometrice pentru BAC: formule, recunoaștere rapidă, exemple rezolvate, verificare și greșeli frecvente.

Progresiile aritmetice și geometrice la BAC se rezolvă repede dacă alegi formula potrivită din enunț. Pentru cele mai multe exerciții, trebuie să recunoști dacă termenii cresc prin adunare sau prin înmulțire, să scrii condiția corectă, să înlocuiești datele și să verifici rezultatul.

Ghidul de mai jos îți arată formulele de bază, tiparele care apar la Subiectul I și mai multe exemple rezolvate în stil de barem. Progresiile sunt în programa de matematică la capitolul „Șiruri”, dar dificultatea poate varia în funcție de profil: M1, M2, tehnologic, pedagogic sau științele naturii.

Pe scurt

  • Progresia aritmetică folosește o diferență constantă: r = a_{k+1} - a_k.
  • Progresia geometrică folosește un raport constant: q = b_{k+1} / b_k, când termenul anterior este nenul.
  • Pentru trei termeni consecutivi în progresie aritmetică, folosești 2b = a + c.
  • Pentru trei termeni consecutivi în progresie geometrică, folosești b^2 = ac.
  • La sume, calculezi întâi ultimul termen dacă nu este dat în enunț.
  • La BAC, nu scrie doar răspunsul final. Baremul punctează și formula, înlocuirea și calculul.

Ce sunt progresiile aritmetice și geometrice la BAC

O progresie aritmetică este un șir în care diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă. Dacă ai termenii 2, 5, 8, 11, diferența este mereu 3, deci șirul este o progresie aritmetică.

O progresie geometrică este un șir în care raportul dintre doi termeni consecutivi este constant. Dacă ai termenii 2, 6, 18, 54, fiecare termen se obține prin înmulțire cu 3, deci șirul este o progresie geometrică.

Tip de progresie Întrebarea rapidă Rația Exemplu
Aritmetică Ce adaug sau ce scad de fiecare dată? r 4, 7, 10, 13
Geometrică Cu ce înmulțesc sau la ce împart de fiecare dată? q 3, 6, 12, 24

La BAC, progresiile apar de obicei ca exerciții scurte: determinarea lui x, calculul unui termen, verificarea faptului că trei numere sunt termeni consecutivi sau suma primilor n termeni.

Formule pentru progresii aritmetice

Pentru o progresie aritmetică notată de obicei (a_n), formulele utile sunt:

Situație Formula Când o folosești
Rația r = a_{k+1} - a_k Când ai doi termeni consecutivi
Termenul general a_n = a_1 + (n - 1)r Când știi primul termen și rația
Suma primilor n termeni S_n = n(a_1 + a_n) / 2 Când se cere suma
Trei termeni consecutivi a, b, c 2b = a + c Când enunțul dă trei numere în această ordine

De ce funcționează condiția 2b = a + c? Într-o progresie aritmetică, termenul din mijloc este media aritmetică a extremelor:

b = (a + c) / 2

Înmulțind cu 2, obții forma mai rapidă:

2b = a + c

Formule pentru progresii geometrice

Pentru o progresie geometrică notată de obicei (b_n), formulele de bază sunt:

Situație Formula Când o folosești
Rația q = b_{k+1} / b_k Când termenul b_k este nenul
Termenul general b_n = b_1 * q^{n - 1} Când știi primul termen și rația
Suma primilor n termeni, q != 1 S_n = b_1(q^n - 1) / (q - 1) Când rația este diferită de 1
Suma primilor n termeni, q = 1 S_n = n * b_1 Când toți termenii sunt egali
Trei termeni consecutivi a, b, c b^2 = ac Când enunțul dă trei numere în această ordine

La progresia geometrică, ai grijă la împărțire. Formula q = b_{k+1} / b_k se folosește doar dacă termenul de la numitor este diferit de zero.

Cum recunoști rapid formula potrivită

Înainte să calculezi, citește enunțul și caută semnalul principal. Asta îți spune ce formulă merită scrisă prima.

Semnal în enunț Ce alegi Formula de pornire
„termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice” Condiția de mijloc 2b = a + c
„termeni consecutivi ai unei progresii geometrice” Condiția de produs b^2 = ac
a_1, r, n Termen general PA a_n = a_1 + (n - 1)r
b_1, q, n Termen general PG b_n = b_1 * q^{n - 1}
„suma primilor n termeni” în PA Suma PA S_n = n(a_1 + a_n) / 2
„suma primilor n termeni” în PG Suma PG S_n = b_1(q^n - 1) / (q - 1)

Dacă enunțul are exact trei expresii și spune „în această ordine”, nu schimba termenul din mijloc. Termenul din mijloc este chiar al doilea număr din listă.

Tiparul 1: trei termeni consecutivi în progresie aritmetică

Acesta este un tipar foarte bun pentru Subiectul I: ai trei numere, de obicei cu x, și trebuie să determini valoarea necunoscutei.

Exemplu de model oficial 2026 M_mate-info:

Determinați numărul real x pentru care numerele x, 8 și 2x + 1 sunt,
în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare pas cu pas

  1. Identificăm tipul de progresie: enunțul spune „progresie aritmetică”.

  2. Alegem condiția pentru trei termeni consecutivi:

2b = a + c

Aici a = x, b = 8, c = 2x + 1.

  1. Înlocuim în formulă:
2 * 8 = x + (2x + 1)
  1. Calculăm:
16 = 3x + 1
15 = 3x
x = 5
  1. Verificăm în enunț. Pentru x = 5, termenii sunt:
5, 8, 11

Diferențele sunt:

8 - 5 = 3
11 - 8 = 3

Răspuns final: x = 5.

Notă de barem: în baremul modelului 2026, scrierea condiției de mijloc este punctată separat de calculul valorii lui x. De aceea, nu sări direct la rezultat.

Tiparul 2: trei termeni consecutivi în progresie geometrică

La acest tipar, nu verifici diferențele, ci produsul extremelor și pătratul termenului din mijloc.

Exemplu de model oficial 2022 M_mate-info:

Arătați că numerele 6 - 3√3, √3 și 2 + √3 sunt termeni consecutivi
ai unei progresii geometrice.

Rezolvare pas cu pas

  1. Identificăm termenii:
a = 6 - 3√3
b = √3
c = 2 + √3
  1. Pentru trei termeni consecutivi în progresie geometrică, verificăm:
b^2 = ac
  1. Calculăm pătratul termenului din mijloc:
b^2 = (√3)^2 = 3
  1. Calculăm produsul extremelor:
ac = (6 - 3√3)(2 + √3)

Dezvoltăm produsul:

ac = 12 + 6√3 - 6√3 - 9
ac = 3
  1. Comparăm rezultatele:
b^2 = 3
ac = 3

Rezultă b^2 = ac, deci numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Răspuns final: numerele 6 - 3√3, √3, 2 + √3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Verificare rapidă: când apar radicali, dezvoltă produsul extremelor pe rând. O greșeală de semn la -3√3 * √3 schimbă tot rezultatul.

Tiparul 3: termenul general într-o progresie aritmetică

Când enunțul îți dă primul termen, rația și indicele termenului cerut, folosești direct formula termenului general.

Exemplu:

Se consideră progresia aritmetică (a_n), cu a_1 = 4 și r = -2.
Calculați a_10.

Rezolvare pas cu pas

  1. Scriem formula:
a_n = a_1 + (n - 1)r
  1. Înlocuim n = 10, a_1 = 4, r = -2:
a_10 = 4 + (10 - 1)(-2)
  1. Calculăm:
a_10 = 4 + 9 * (-2)
a_10 = 4 - 18
a_10 = -14

Răspuns final: a_10 = -14.

Verificare rapidă: rația este negativă, deci termenii scad. Este normal ca al zecelea termen să fie mai mic decât primul.

Tiparul 4: termen într-o progresie geometrică atunci când ai doi termeni

Uneori nu ai b_1, dar ai doi termeni ai progresiei. În acest caz, folosești relația dintre ei.

Exemplu de tip simulare:

Se consideră progresia geometrică (b_n), cu b_2 = 2 și b_4 = 4.
Determinați b_6.

Rezolvare pas cu pas

  1. Observăm distanța dintre indici. De la b_2 la b_4 sunt două treceri:
b_4 = b_2 * q^2
  1. Înlocuim datele:
4 = 2 * q^2
  1. Calculăm q^2:
q^2 = 2
  1. De la b_4 la b_6 sunt tot două treceri:
b_6 = b_4 * q^2
  1. Înlocuim:
b_6 = 4 * 2
b_6 = 8

Răspuns final: b_6 = 8.

De ce nu alegem semnul lui q? Cerința cere b_6, iar între b_4 și b_6 apare q^2. Cum am aflat deja că q^2 = 2, nu avem nevoie să stabilim dacă q este √2 sau -√2.

Tiparul 5: suma primilor n termeni

La sume, primul pas este să vezi dacă ai deja ultimul termen. Dacă lipsește, îl calculezi cu formula termenului general.

Exemplu de sumă în progresie aritmetică

Se consideră progresia aritmetică (a_n), cu a_1 = 3 și r = 2.
Calculați S_20.
  1. Calculăm mai întâi a_20:
a_20 = a_1 + 19r
a_20 = 3 + 19 * 2
a_20 = 41
  1. Folosim formula sumei:
S_20 = 20(a_1 + a_20) / 2
S_20 = 20(3 + 41) / 2
S_20 = 10 * 44
S_20 = 440

Răspuns final: S_20 = 440.

Exemplu de sumă în progresie geometrică

Se consideră progresia geometrică (b_n), cu b_1 = 2 și q = 3.
Calculați S_5.
  1. Verificăm rația:
q = 3, deci q != 1
  1. Aplicăm formula:
S_5 = b_1(q^5 - 1) / (q - 1)
  1. Înlocuim:
S_5 = 2(3^5 - 1) / (3 - 1)
S_5 = 2(243 - 1) / 2
S_5 = 242

Răspuns final: S_5 = 242.

Dacă q = 1, formula cu q - 1 la numitor nu se folosește. Atunci toți termenii sunt egali cu b_1, iar suma este:

S_n = n * b_1

Cum scrii rezolvarea ca să semene cu baremul

La Subiectul I, modelele oficiale au 6 exerciții de câte 5 puncte. Un exercițiu cu progresii poate primi punctaj intermediar dacă ai metoda corectă, chiar dacă faci o greșeală de calcul mai târziu.

O redactare sigură are patru părți:

  1. Condiția sau formula: scrii 2b = a + c, b^2 = ac, a_n = a_1 + (n - 1)r sau formula potrivită.
  2. Înlocuirea datelor: arăți exact ce valori ai pus în formulă.
  3. Calculul: nu ascunzi pașii la ecuații, radicali sau puteri.
  4. Concluzia: revii la cerință și scrii răspunsul final.

Model scurt:

Pentru trei termeni consecutivi în PA, avem 2b = a + c.
Înlocuind, obținem ...
Rezolvând ecuația, rezultă ...
Pentru această valoare, termenii sunt ..., deci răspunsul este ...

Acest format este mai sigur decât să scrii doar x = 5, pentru că arată clar metoda.

Greșeli frecvente la progresii

  • Confunzi rația aritmetică r cu rația geometrică q. În PA scazi termeni consecutivi, în PG îi împarți.
  • Aplici b^2 = ac la progresie aritmetică. Această condiție este pentru progresie geometrică.
  • Aplici 2b = a + c la progresie geometrică. Această condiție este pentru progresie aritmetică.
  • Ignori expresia „în această ordine”. La trei termeni consecutivi, al doilea termen din listă este termenul din mijloc.
  • Uiți exponentul dintre termeni neconsecutivi. Între b_2 și b_4 apar două treceri, deci folosești q^2, nu q.
  • Folosești formula sumei geometrice cu q != 1 atunci când q = 1. Asta duce la împărțire la zero.
  • Împarți la un termen care poate fi zero fără să verifici condiția.
  • Scrii numai răspunsul final. La BAC, formula și pașii intermediari pot aduce punctaj.

Lista de verificare înainte de probă

Înainte să treci mai departe de un exercițiu cu progresii, verifică rapid:

  • Am identificat tipul: aritmetică sau geometrică.
  • Am păstrat ordinea termenilor din enunț.
  • Pentru trei termeni consecutivi, am folosit condiția scurtă potrivită.
  • La termen general, am verificat indicele și numărul de treceri.
  • La sumă, am calculat ultimul termen dacă nu era dat.
  • La progresie geometrică, am verificat cazul q = 1.
  • Am scris concluzia în forma cerută de enunț.

Întrebări frecvente

Ce formule trebuie să știu la progresii pentru BAC?

Pentru progresie aritmetică, formulele principale sunt a_n = a_1 + (n - 1)r, S_n = n(a_1 + a_n) / 2 și 2b = a + c pentru trei termeni consecutivi. Pentru progresie geometrică, formulele principale sunt b_n = b_1 * q^{n - 1}, S_n = b_1(q^n - 1) / (q - 1) pentru q != 1 și b^2 = ac.

Cum îmi dau seama dacă o progresie este aritmetică sau geometrică?

Verifici operația dintre termeni consecutivi. Dacă diferența este constantă, progresia este aritmetică. Dacă raportul este constant și termenii permit împărțirea, progresia este geometrică.

Care este condiția pentru trei termeni consecutivi în progresie aritmetică?

Dacă termenii sunt a, b, c, în această ordine, condiția este 2b = a + c. Echivalent, termenul din mijloc este media aritmetică a extremelor.

Care este condiția pentru trei termeni consecutivi în progresie geometrică?

Dacă termenii sunt a, b, c, în această ordine, condiția este b^2 = ac. Dacă termenii sunt pozitivi, poți spune și că termenul din mijloc este media geometrică a extremelor.

Cum se calculează suma unei progresii aritmetice?

Folosești formula S_n = n(a_1 + a_n) / 2. Dacă nu ai a_n, îl calculezi întâi cu a_n = a_1 + (n - 1)r.

Cum se calculează suma unei progresii geometrice?

Dacă q != 1, folosești S_n = b_1(q^n - 1) / (q - 1). Dacă q = 1, nu folosești această formulă, ci S_n = n * b_1.

Surse și verificare