Numere complexe BAC M1 rezolvate: formule, tipare și exemple oficiale

La BAC M1, exercițiile cu numere complexe apar frecvent ca exerciții scurte de Subiectul I, de 5 puncte, dar nu apar în fiecare variantă. Ca să le rezolvi corect, reduci totul la forma a+bi, folosești i^2=-1, apoi compari partea reală și partea imaginară sau calculezi expresia cerută pas cu pas.

Ghidul de mai jos este pentru profilul M_mate-info. Nu intră în teoria avansată a numerelor complexe, ci în tiparele care apar în variante oficiale, modele și simulări: operații cu i, pătratul unui număr complex, conjugat, modul, împărțire și egalități.

Pe scurt: la numere complexe BAC M1 rezolvate, metoda de bază este aceeași: scrii fiecare termen în forma a+bi, simplifici imediat i^2=-1, grupezi termenii reali și termenii cu i, apoi formulezi concluzia cerută.

Ce trebuie să știi despre numere complexe la BAC M1

Un număr complex în formă algebrică se scrie:

z=a+bi, unde a,b sunt numere reale și i^2=-1.

În această formă:

Element	Ce înseamnă	Exemplu pentru z=-3+4i
Re(z)	partea reală	Re(z)=-3
Im(z)	partea imaginară	Im(z)=4
i	unitatea imaginară	i^2=-1
\bar z	conjugatul lui z	\bar z=-3-4i
`	z	`

Partea imaginară este coeficientul lui i, nu termenul cu tot cu i. Pentru -3+4i, partea imaginară este 4, nu 4i.

În programa de Matematică M_mate-info, numerele complexe apar la mulțimi de numere: forma algebrică, conjugatul, operații cu numere complexe și interpretări geometrice de bază. Pentru Subiectul I, cele mai utile rămân calculele algebrice.

Formule esențiale pentru numere complexe

Păstrează formulele aproape de exercițiu. La BAC nu ajută să le știi izolat, dacă nu recunoști când le folosești.

Situație	Formula	Cum o folosești
Adunare	(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i	grupezi real cu real, imaginar cu imaginar
Scădere	(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i	ai grijă la semnul minus din fața parantezei
Înmulțire	(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd i^2	desfaci parantezele și înlocuiești i^2 cu -1
Înmulțire cu i	i(a+bi)=-b+ai	tipar foarte des în exerciții scurte
Conjugat	dacă z=a+bi, atunci \bar z=a-bi	schimbi doar semnul părții imaginare
Produs cu conjugatul	z\bar z=a^2+b^2	util pentru modul și împărțire
Modul	`	z
Împărțire	\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}	înmulțești și numărătorul, și numitorul cu conjugatul numitorului

Pentru puterile lui i, folosește ciclul de 4:

i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1.

După aceea, valorile se repetă. Pentru un exponent mare, împarți exponentul la 4 și folosești restul.

Exemplu:

2025=4\cdot 506+1, deci i^2025=i.

Cum rezolvi un exercițiu de Subiectul I cu numere complexe

La Subiectul I, exercițiul este de obicei scurt, dar punctajul se pierde ușor la semne. Metoda sigură are trei pași.

1. Identifici forma cerută. De obicei trebuie să arăți că o expresie are o anumită valoare, să calculezi o sumă sau să scrii un număr complex în forma a+bi.
2. Reduci fiecare termen. Dacă apare i(2+i), calculezi separat, nu mental.
3. Scrii concluzia. Pentru barem, nu ajunge să apară rezultatul. Trebuie să se vadă calculul care duce la el.

Regula practică este simplă: după fiecare produs, cauți i^2 și îl înlocuiești cu -1.

Tiparul 1: adunare, scădere și înmulțire cu i

Acest tipar apare des când enunțul dă două numere complexe, de exemplu z_1 și z_2, apoi cere să verifici o egalitate.

Luăm un exemplu de tip oficial, folosit la BAC M_mate-info 2025:

z_1=1-i, z_2=2+i. Calculăm z_1+i z_2.

Pasul 1: calculăm mai întâi i z_2.

i z_2=i(2+i)=2i+i^2.

Cum i^2=-1, obținem:

i z_2=2i-1=-1+2i.

Pasul 2: adunăm cu z_1.

z_1+i z_2=(1-i)+(-1+2i).

Grupăm termenii:

(1-1)+(-i+2i)=i.

Răspuns final: z_1+i z_2=i.

Verificare rapidă: rezultatul este în forma a+bi, cu a=0 și b=1. Nu mai există termeni reali nereduși.

Tiparul 2: pătratul unui număr complex

La pătratul unui număr complex, greșeala frecventă este să ridici la pătrat separat termenii și să uiți termenul dublu.

Formula utilă este:

(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi.

Exemplu din simularea BAC 2023 M_mate-info:

z_1=1+2i, z_2=1-i. Arătăm că z_1^2+4z_2=1.

Pasul 1: calculăm z_1^2.

z_1^2=(1+2i)^2.

Aplicăm formula:

(1+2i)^2=1^2+2\cdot 1\cdot 2i+(2i)^2.

Calculăm fiecare termen:

1+4i+4i^2.

Înlocuim i^2=-1:

1+4i-4=-3+4i.

Pasul 2: calculăm 4z_2.

4z_2=4(1-i)=4-4i.

Pasul 3: adunăm rezultatele.

z_1^2+4z_2=(-3+4i)+(4-4i).

Grupăm:

(-3+4)+(4i-4i)=1+0i=1.

Răspuns final: z_1^2+4z_2=1.

De ce funcționează: termenii cu i se reduc numai după ce îi calculezi corect. Nu îi ștergi pentru că „trebuie să iasă real”.

Tiparul 3: conjugat și modul

Pentru z=a+bi, conjugatul este:

\bar z=a-bi.

Se schimbă doar semnul părții imaginare. Partea reală rămâne aceeași.

Dacă z=3-2i, atunci:

\bar z=3+2i.

Formulele utile sunt:

z+\bar z=2a,

z-\bar z=2bi,

z\bar z=a^2+b^2,

|z|=\sqrt{a^2+b^2}.

Exemplu:

Fie z=3-2i. Calculăm z+\bar z, z\bar z și |z|.

1. Conjugatul este \bar z=3+2i.
2. z+\bar z=(3-2i)+(3+2i)=6.
3. z\bar z=(3-2i)(3+2i)=3^2+2^2=13.
4. |z|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}.

Răspuns final: z+\bar z=6, z\bar z=13, |z|=\sqrt{13}.

Tiparul 4: împărțire cu numere complexe

Împărțirea apare mai rar ca primul exercițiu simplu, dar este un tipar de bază. Scopul este să scapi de i din numitor.

Exemplu: scrie în forma algebrică

\frac{3+i}{1-i}.

Pasul 1: alegem conjugatul numitorului.

Numitorul este 1-i, deci conjugatul lui este 1+i.

Pasul 2: înmulțim și numărătorul, și numitorul cu 1+i.

\frac{3+i}{1-i}\cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}.

Pasul 3: calculăm numărătorul.

(3+i)(1+i)=3+3i+i+i^2=3+4i-1=2+4i.

Pasul 4: calculăm numitorul.

(1-i)(1+i)=1-i^2=1-(-1)=2.

Pasul 5: împărțim fiecare termen la 2.

\frac{2+4i}{2}=1+2i.

Răspuns final: \frac{3+i}{1-i}=1+2i.

Greșeala care strică exercițiul este să înmulțești numai numitorul cu conjugatul. Operația trebuie făcută și la numărător, ca valoarea fracției să nu se schimbe.

Tiparul 5: egalități cu partea reală și partea imaginară

La egalități, regula este:

Dacă a+bi=c+di, atunci a=c și b=d.

Aceasta este unicitatea formei algebrice. Mai simplu spus, partea reală se compară cu partea reală, iar partea imaginară cu partea imaginară.

Exemplu:

Determinați a, știind că a,b sunt reale,

(a+2i)+i(3-bi)=5+5i

și b=2.

Pasul 1: calculăm termenul cu i.

i(3-bi)=3i-b i^2.

Cum i^2=-1, avem:

3i-b(-1)=3i+b=b+3i.

Pasul 2: înlocuim în expresie.

(a+2i)+i(3-bi)=(a+2i)+(b+3i).

Grupăm:

a+b+5i.

Egalitatea devine:

a+b+5i=5+5i.

Pasul 3: comparăm părțile reale și imaginare.

Partea imaginară este deja 5=5.

Din partea reală:

a+b=5.

Cum b=2, rezultă:

a+2=5, deci a=3.

Răspuns final: a=3.

Tiparul 6: puteri ale lui i

Pentru puteri mari, nu calcula i\cdot i\cdot i de zeci de ori. Împarți exponentul la 4.

Exemplu:

Calculăm i^37+i^38.

Pasul 1: împărțim exponenții la 4.

37=4\cdot 9+1, deci i^37=i^1=i.

38=4\cdot 9+2, deci i^38=i^2=-1.

Pasul 2: adunăm.

i^37+i^38=i+(-1)=-1+i.

Răspuns final: -1+i.

Verificarea este în ciclul de 4: restul 0 dă 1, restul 1 dă i, restul 2 dă -1, restul 3 dă -i.

Legătura cu ecuațiile de gradul al doilea

La M1, numerele complexe pot apărea și în contexte cu ecuații sau polinoame. Dacă o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali are discriminant negativ, rădăcinile se scriu în C.

Exemplu simplu:

x^2+4=0.

Pasul 1: izolăm x^2.

x^2=-4.

Pasul 2: scriem -4 cu ajutorul lui i^2.

-4=4i^2.

Deci:

x=2i sau x=-2i.

Răspuns final: soluțiile sunt x_1=2i, x_2=-2i.

Nu transforma acest tipar într-o lecție lungă despre forma trigonometrică. Pentru BAC M1, în multe exerciții contează să scrii corect forma algebrică și să folosești regula i^2=-1.

Numere complexe BAC M1 rezolvate: exemple oficiale

În variantele oficiale și în simulări, numerele complexe apar ca exerciții de calcul scurt. Nu porni de la ideea că vor apărea sigur, dar merită repetate pentru că metoda este rapidă și punctajul poate fi recuperat prin calcule clare.

Exemplu oficial 2025: calcul cu z_1+i z_2

Datele folosite în subiectul oficial 2025 M_mate-info au fost:

z_1=1-i, z_2=2+i.

Calculul central:

1. i z_2=i(2+i)=2i+i^2=2i-1=-1+2i.
2. z_1+i z_2=(1-i)+(-1+2i).
3. z_1+i z_2=i.

Concluzie: expresia se reduce la i. În lucrare, scrii pașii, nu doar rezultatul.

Exemplu simulare 2023: verificarea unei egalități

Datele din simularea BAC 2023 M_mate-info:

z_1=1+2i, z_2=1-i.

Trebuie verificată egalitatea:

z_1^2+4z_2=1.

Rezolvarea:

1. z_1^2=(1+2i)^2=1+4i+4i^2=-3+4i.
2. 4z_2=4(1-i)=4-4i.
3. z_1^2+4z_2=(-3+4i)+(4-4i)=1.

Concluzie: egalitatea este adevărată.

Exemplu de model oficial 2025: expresie cu i, z_1, z_2

Modelul oficial 2025 pentru M_mate-info a folosit un tipar asemănător: se dau două numere complexe și se cere să arăți că o expresie cu i, z_1, z_2 are o valoare simplă.

Strategia rămâne aceeași:

1. Calculezi separat produsul cu i.
2. Îl aduci în forma a+bi.
3. Îl aduni sau îl scazi cu celălalt număr complex.
4. Reduci termenii reali și termenii cu i.
5. Scrii concluzia exact ca în cerință.

Acesta este un caz în care ordinea calculelor contează. Dacă încerci să combini mental toți termenii, cele mai probabile greșeli sunt semnul lui i^2 și pierderea unui termen cu i.

Cum se punctează în barem

Subiectul I la Matematică M_mate-info are 30 de puncte, împărțite în 6 exerciții de câte 5 puncte. Exercițiile cu numere complexe, când apar acolo, sunt de obicei exerciții scurte de calcul.

Baremurile oficiale acordă punctaj pentru soluții corecte, chiar dacă metoda nu este identică cu cea din barem. Totuși, pentru numere complexe, cea mai sigură redactare este:

1. Formula sau operația: arăți ce calculezi, de exemplu i z_2.
2. Calculul algebric: desfaci parantezele și înlocuiești i^2=-1.
3. Concluzia: scrii valoarea finală sau egalitatea cerută.

Dacă nu finalizezi exercițiul, lasă calculele intermediare vizibile. Un i z_2 calculat corect sau un z_1^2 dezvoltat corect poate conta în punctajul parțial.

Cele 10 puncte din oficiu sunt separate de cele 90 de puncte ale subiectelor. Conform baremului, nota se obține prin împărțirea punctajului total la 10.

Greșeli frecvente la numere complexe

• Scrii i^2=1 în loc de i^2=-1.
• La înmulțirea cu i, transformi greșit bi^2 în +b. Corect este bi^2=-b.
• În -3+4i, spui că partea imaginară este 4i. Corect: partea imaginară este 4.
• La (a+bi)^2, uiți termenul 2abi.
• La conjugat, schimbi și semnul părții reale. Corect se schimbă doar semnul părții imaginare.
• La împărțire, înmulțești doar numitorul cu conjugatul, nu și numărătorul.
• La puterile lui i, nu folosești restul împărțirii la 4.
• La cerințele de tip „Arătați că”, scrii doar rezultatul final, fără pașii care justifică egalitatea.
• Ștergi termenii cu i fiindcă rezultatul pare că trebuie să fie real.
• Nu verifici dacă enunțul cere numere reale sau numere complexe.

Mini-listă de verificare înainte de examen

Înainte să treci mai departe de un exercițiu cu numere complexe, verifică rapid:

• Am adus expresia la forma a+bi.
• Am înlocuit fiecare i^2 cu -1.
• Am grupat separat termenii reali și termenii cu i.
• Am scris corect partea reală și partea imaginară.
• Dacă am folosit conjugatul, am schimbat doar semnul părții imaginare.
• Dacă am împărțit, am înmulțit și numărătorul, și numitorul cu conjugatul.
• Dacă am o putere mare a lui i, am folosit restul împărțirii exponentului la 4.
• Am scris concluzia finală în forma cerută de enunț.

Întrebări frecvente

Apar numere complexe la BAC M1?

Da, apar frecvent în variante oficiale, modele și simulări M_mate-info, mai ales ca exerciții scurte de Subiectul I. Totuși, nu trebuie tratate ca apariție sigură în fiecare an: de exemplu, modelul 2026 începe cu progresii aritmetice, nu cu numere complexe.

Ce formule trebuie să știu la numere complexe pentru BAC?

Trebuie să știi forma z=a+bi, regula i^2=-1, operațiile de adunare, scădere și înmulțire, conjugatul \bar z=a-bi, modulul |z|=\sqrt{a^2+b^2} și metoda de împărțire cu conjugatul numitorului.

Cum calculez rapid puterile lui i?

Folosești ciclul de 4: i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1. Pentru i^n, împarți n la 4 și folosești restul.

Cum rezolv exercițiile cu z_1 și z_2 la Subiectul I?

Calculezi separat fiecare termen, mai ales produsele cu i, apoi aduni sau scazi rezultatele în forma a+bi. La final, grupezi partea reală și partea imaginară și scrii concluzia cerută.

Ce înseamnă forma algebrică a unui număr complex?

Forma algebrică este a+bi, unde a este partea reală, b este partea imaginară, iar i^2=-1. Este forma de bază pentru calculele de BAC.

Cum se folosește conjugatul unui număr complex?

Pentru z=a+bi, conjugatul este \bar z=a-bi. Îl folosești la formule precum z\bar z=a^2+b^2 și la împărțirea numerelor complexe, ca să elimini i din numitor.

Câte puncte valorează un exercițiu cu numere complexe la BAC M1?

Când apare în Subiectul I, exercițiul valorează de regulă 5 puncte, ca celelalte exerciții din acest subiect. Subiectul I are 6 exerciții a câte 5 puncte, în total 30 de puncte.

Surse și verificare

• Programa oficială de BAC pentru Matematică, edu.ro confirmă includerea numerelor complexe la M_mate-info: forma algebrică, conjugatul, operațiile și interpretările geometrice de bază.
• Portalul oficial subiecte.edu.ro pentru Bacalaureat 2026 publică modele, subiecte și bareme pentru examen.
• Modelele oficiale BAC 2026 pentru probe scrise confirmă structura probei, dar modelul M_mate-info 2026 nu începe cu numere complexe, motiv pentru care articolul nu prezintă acest tipar ca apariție sigură.
• Subiectul oficial BAC 2025 Matematică M_mate-info, Varianta 1 include un exercițiu de Subiectul I cu z_1=1-i, z_2=2+i și operații cu i.
• Baremul oficial BAC 2025 Matematică M_mate-info, Varianta 1 arată punctarea prin calcul intermediar și concluzie pentru exercițiul cu numere complexe.
• Simularea BAC 2023 Matematică M_mate-info include exemplul cu z_1=1+2i, z_2=1-i și verificarea egalității z_1^2+4z_2=1.