BacPath

Actualizat pe 25 iunie 2026

Model BAC 2026 Matematică M2 rezolvat: varianta oficială M_tehnologic

Rezolvarea modelului oficial BAC 2026 la Matematică M_tehnologic, căutat ca M2: răspunsuri finale, pași de calcul și note de barem.

Modelul BAC 2026 Matematică M2 rezolvat de mai jos se referă la varianta oficială numită de Minister Matematică M_tehnologic. Mulți elevi o caută ca M2, dar în documentele oficiale apar variantele M_mate-info, M_st-nat, M_tehnologic și M_pedagogic. Articolul rezolvă modelul pentru filiera tehnologică, cu răspunsuri finale, pași de calcul și observații despre ce trebuie scris pentru punctaj.

Pe scurt

  • Modelul oficial este pentru Matematică M_tehnologic, nu pentru M_st-nat.
  • Sunt trei subiecte obligatorii, fiecare de 30 de puncte.
  • Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul de lucru este de trei ore.
  • Nota finală se obține împărțind punctajul total la 10.
  • O metodă diferită de cea din barem este acceptată dacă este corectă.

Descarcă modelul oficial și baremul

Punctul de plecare trebuie să fie pagina oficială subiecte.edu.ro, la Bacalaureat 2026, Modele de subiecte, Probe scrise, E.c Matematică. Acolo este arhiva oficială cu modelele pentru matematică.

Pentru citire rapidă, poți folosi și oglinzile PDF listate la final, dar verificarea finală trebuie făcută după sursa oficială și după barem.

Clarificarea importantă: dacă ești la filiera tehnologică, modelul relevant este M_tehnologic. Dacă alegi din greșeală M_st-nat, vei lucra altă variantă.

Structura și punctajul modelului

Parte Conținut Punctaj
Subiectul I 6 exerciții scurte 30p
Subiectul al II-lea Matrice și lege de compoziție 30p
Subiectul al III-lea Funcții, limite, derivate, integrale 30p
Din oficiu Punctaj acordat automat 10p

Fiecare exercițiu sau subpunct valorează 5 puncte. În barem, punctele sunt de obicei împărțite între calculul intermediar și concluzie. De aceea, nu este suficient să scrii doar răspunsul final.

Tabel rapid cu răspunsurile finale

Exercițiu Răspuns final
I.1 Egalitatea este adevărată, rezultatul este 4
I.2 a = 3
I.3 x = 1
I.4 p = 1/4
I.5 OM = BM = 5, deci triunghiul este isoscel
I.6 BC = 2√10
II.1.a det(M(0)) = 0
II.1.b M(3) + 2M(0) = 3M(1)
II.1.c a = 6
II.2.a 1 ∘ 2 = 14
II.2.b x = -2
II.2.c x = 1
III.1.a f'(x) = -2(x+2)/(x^2+4x+5)^2
III.1.b Limita este 1
III.1.c 5f(x) + f(-x) <= 2 pentru x >= 0
III.2.a Integrala este 8/3
III.2.b Integrala este ln 5 / 2
III.2.c G(x) = 2x^2√x + 2√x + 1

Rezolvare Subiectul I

I.1 Calcul cu fracții

Trebuie verificată egalitatea:

1/4 + 3(3/2 - 1/4) = 4

  1. Aducem la același numitor în paranteză:

3/2 - 1/4 = 6/4 - 1/4 = 5/4

  1. Înmulțim cu 3:

3 * 5/4 = 15/4

  1. Adunăm:

1/4 + 15/4 = 16/4 = 4

Răspuns final: egalitatea este adevărată.

Pentru punctaj: scrie transformarea parantezei și calculul final. Dacă sari direct la 4, riști să pierzi punctele pentru justificare.

I.2 Funcție liniară

Avem f(x) = 4x - 9 și cerința f(a) = a.

  1. Înlocuim x cu a:

f(a) = 4a - 9

  1. Impunem condiția:

4a - 9 = a

  1. Rezolvăm:

3a = 9, deci a = 3.

Răspuns final: a = 3.

I.3 Ecuație cu radical

Ecuația este:

√(2x - 1) = x

  1. Radicalul cere 2x - 1 >= 0, deci x >= 1/2. În plus, partea dreaptă trebuie să fie nenegativă, deci x >= 0.

  2. Ridicăm la pătrat:

2x - 1 = x^2

  1. Mutăm toți termenii în aceeași parte:

x^2 - 2x + 1 = 0

  1. Factorizăm:

(x - 1)^2 = 0, deci x = 1.

  1. Verificăm în ecuația inițială:

√(2 * 1 - 1) = √1 = 1

Răspuns final: x = 1.

Greșeală frecventă: să ridici la pătrat și să nu verifici soluția în ecuația inițială.

I.4 Probabilitate

Mulțimea este A = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Sunt 8 cazuri posibile.

Căutăm valorile lui n pentru care n(n+1) este multiplu de 10:

n n(n+1) Multiplu de 10?
1 2 nu
2 6 nu
3 12 nu
4 20 da
5 30 da
6 42 nu
7 56 nu
8 72 nu

Sunt 2 cazuri favorabile. Probabilitatea este:

p = 2/8 = 1/4

Răspuns final: 1/4.

I.5 Geometrie analitică

Punctele sunt O(0,0), A(6,8), B(8,4), iar M este mijlocul segmentului OA.

  1. Calculăm coordonatele lui M:

M((0+6)/2, (0+8)/2) = M(3,4)

  1. Calculăm OM:

OM = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5

  1. Calculăm BM:

BM = √((8-3)^2 + (4-4)^2) = √25 = 5

  1. Comparăm:

OM = BM

Răspuns final: triunghiul OBM este isoscel.

Pentru punctaj: ai nevoie de coordonatele lui M, de cel puțin două lungimi calculate și de concluzia explicită.

I.6 Triunghi dreptunghic

Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AC = 6 și AC = 3AB.

  1. Din AC = 3AB obținem:

6 = 3AB, deci AB = 2

  1. Aplicăm teorema lui Pitagora:

BC^2 = AB^2 + AC^2

  1. Înlocuim:

BC^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40

  1. Extragem radicalul:

BC = √40 = 2√10

Răspuns final: BC = 2√10.

Rezolvare Subiectul al II-lea

II.1 Matrice cu parametru

Matricea este:

M(a) = ((a+1, 4), (-1, a-4))

II.1.a Determinant

Pentru a = 0:

M(0) = ((1, 4), (-1, -4))

Determinantul unei matrice de ordin 2 este:

det((a,b),(c,d)) = ad - bc

Aplicăm:

det(M(0)) = 1 * (-4) - 4 * (-1) = -4 + 4 = 0

Răspuns final: det(M(0)) = 0.

II.1.b Egalitate de matrice

Calculăm fiecare parte.

M(3) = ((4,4), (-1,-1))

M(0) = ((1,4), (-1,-4)), deci:

2M(0) = ((2,8), (-2,-8))

Adunăm:

M(3) + 2M(0) = ((6,12), (-3,-9))

Calculăm partea dreaptă:

M(1) = ((2,4), (-1,-3))

3M(1) = ((6,12), (-3,-9))

Răspuns final: cele două matrice sunt egale.

Pentru punctaj: scrie matricele intermediare, nu doar concluzia. La egalități de matrice se compară toate elementele corespunzătoare.

II.1.c Ecuație cu matrice

Trebuie determinat a pentru care:

M(a) * M(0) = 3M(0)

Știm:

M(a) = ((a+1,4),(-1,a-4))

M(0) = ((1,4),(-1,-4))

Înmulțim matricele:

M(a)M(0) = ((a-3, 4a-12), (3-a, 12-4a))

Partea dreaptă este:

3M(0) = ((3,12),(-3,-12))

Comparăm, de exemplu, elementul din stânga sus:

a - 3 = 3

Rezultă:

a = 6

Verificare rapidă: pentru a = 6, celelalte elemente devin 12, -3, -12, deci egalitatea este îndeplinită.

Răspuns final: a = 6.

II.2 Lege de compoziție

Legea este definită prin:

x ∘ y = xy + 4(x+y)

Nu o trata ca pe înmulțirea obișnuită. Simbolul ∘ are regula lui proprie.

II.2.a Calcul direct

1 ∘ 2 = 1 * 2 + 4(1+2)

1 ∘ 2 = 2 + 12 = 14

Răspuns final: 1 ∘ 2 = 14.

II.2.b Ecuație cu legea de compoziție

Cerința duce la ecuația x ∘ 3 = x.

  1. Aplicăm regula:

x ∘ 3 = 3x + 4(x+3)

  1. Simplificăm:

x ∘ 3 = 3x + 4x + 12 = 7x + 12

  1. Impunem condiția:

7x + 12 = x

  1. Rezolvăm:

6x = -12, deci x = -2.

Răspuns final: x = -2.

II.2.c Puteri și lege de compoziție

Trebuie rezolvată ecuația:

2^x ∘ 4 = 2^(x+4)

  1. Aplicăm regula compoziției:

2^x ∘ 4 = 2^x * 4 + 4(2^x + 4)

  1. Simplificăm:

2^x ∘ 4 = 4 * 2^x + 4 * 2^x + 16 = 8 * 2^x + 16

  1. Egalăm cu partea dreaptă:

8 * 2^x + 16 = 2^(x+4)

  1. Scriem 2^(x+4) = 16 * 2^x:

8 * 2^x + 16 = 16 * 2^x

  1. Mutăm termenii:

16 = 8 * 2^x

  1. Împărțim la 8:

2 = 2^x

Deci x = 1.

Răspuns final: x = 1.

Rezolvare Subiectul al III-lea

III.1 Funcție rațională

Funcția este:

f(x) = 1/(x^2 + 4x + 5)

Observație de domeniu: x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1, deci numitorul este mereu pozitiv.

III.1.a Derivata

Scriem funcția ca raport:

f(x) = 1 / (x^2 + 4x + 5)

Folosim regula:

(1/u)' = -u'/u^2

Aici:

u(x) = x^2 + 4x + 5

u'(x) = 2x + 4 = 2(x+2)

Rezultă:

f'(x) = -(2x+4)/(x^2+4x+5)^2

adică:

f'(x) = -2(x+2)/(x^2+4x+5)^2

Răspuns final: formula cerută este demonstrată.

III.1.b Limită la infinit

Calculăm:

lim(x->+∞) (x^2 - 1)f(x)

Înlocuim funcția:

(x^2 - 1)f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 4x + 5)

Împărțim numărătorul și numitorul la x^2:

(1 - 1/x^2)/(1 + 4/x + 5/x^2)

Când x -> +∞, termenii 1/x, 1/x^2 tind la 0:

(1 - 0)/(1 + 0 + 0) = 1

Răspuns final: limita este 1.

III.1.c Inegalitate cu monotonie

Trebuie demonstrat că:

5f(x) + f(-x) <= 2, pentru orice x >= 0.

Din derivată:

f'(x) = -2(x+2)/(x^2+4x+5)^2

Numitorul este pozitiv. Semnul derivatei depinde de -2(x+2).

  1. f'(x) = 0 pentru x = -2.
  2. Pentru x <= -2, derivata este pozitivă, deci funcția crește.
  3. Pentru x >= -2, derivata este negativă, deci funcția descrește.

Funcția are valoare maximă în x = -2:

f(-2) = 1/(4 - 8 + 5) = 1

Pentru x >= 0, deoarece funcția descrește pe [0,+∞), avem:

f(x) <= f(0)

Calculăm:

f(0) = 1/5

Deci:

5f(x) <= 5 * 1/5 = 1

De asemenea, pentru orice x >= 0, valoarea -x este în (-∞,0], iar maximul funcției pe acest interval este f(-2) = 1. Prin urmare:

f(-x) <= 1

Adunăm:

5f(x) + f(-x) <= 1 + 1 = 2

Răspuns final: inegalitatea este demonstrată.

Pentru punctaj: scrie semnul derivatei, intervalele de monotonie și comparațiile f(x) <= f(0), f(-x) <= f(-2).

III.2 Integrale și primitive

Funcția este:

f(x) = 5x^2 + 2x + 1

III.2.a Integrală de polinom

Calculăm:

∫_0^1 (f(x) - 2x) dx

Înlocuim:

f(x) - 2x = 5x^2 + 2x + 1 - 2x = 5x^2 + 1

Integrala devine:

∫_0^1 (5x^2 + 1) dx

Primitiva este:

5x^3/3 + x

Aplicăm limitele:

[5x^3/3 + x]_0^1 = 5/3 + 1 = 8/3

Răspuns final: 8/3.

III.2.b Integrală logaritmică

Calculăm:

∫_0^2 1/(f(x) - 5x^2) dx

Mai întâi simplificăm numitorul:

f(x) - 5x^2 = 5x^2 + 2x + 1 - 5x^2 = 2x + 1

Deci:

∫_0^2 1/(2x+1) dx

Recunoaștem forma logaritmică. Pentru 2x+1, derivata este 2, deci avem factorul 1/2:

∫ 1/(2x+1) dx = (1/2)ln(2x+1)

Aplicăm limitele:

[(1/2)ln(2x+1)]_0^2 = (1/2)ln5 - (1/2)ln1

Cum ln1 = 0, rezultă:

ln5/2

Răspuns final: ln5/2.

III.2.c Primitivă cu condiție

Funcția este:

g(x) = (f(x) - 2x)/√x, pentru x > 0

Simplificăm numărătorul:

f(x) - 2x = 5x^2 + 1

Deci:

g(x) = (5x^2 + 1)/√x

Scriem pe termeni:

g(x) = 5x^2/√x + 1/√x = 5x√x + 1/√x

O primitivă este:

G(x) = ∫(5x√x + 1/√x) dx

Folosind puteri:

5x√x = 5x^(3/2), iar 1/√x = x^(-1/2)

Integrăm:

∫5x^(3/2) dx = 2x^(5/2) = 2x^2√x

∫x^(-1/2) dx = 2x^(1/2) = 2√x

Deci:

G(x) = 2x^2√x + 2√x + C

Folosim condiția G(1) = 5:

2 * 1^2 * 1 + 2 * 1 + C = 5

4 + C = 5, deci C = 1.

Răspuns final: G(x) = 2x^2√x + 2√x + 1, pentru x > 0.

Cum se acordă punctele în barem

Baremul oficial precizează două idei utile:

  • se acceptă orice soluție corectă, chiar dacă metoda diferă de cea din barem;
  • nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

În practică, la un subpunct de 5 puncte, baremul poate acorda puncte pentru:

  • înlocuirea corectă a datelor;
  • alegerea formulei potrivite;
  • calculul intermediar;
  • concluzia finală;
  • verificarea sau justificarea cerută.

De aceea, un răspuns de tipul a = 3 sau x = 1, fără ecuația din care rezultă, este mai slab decât o rezolvare cu doi sau trei pași clari.

Ce să repeți după acest model

Dacă ai lucrat modelul BAC 2026 la Matematică M_tehnologic, repetă în ordinea aceasta:

  1. Fracții, radicali, ecuații simple și probabilități.
  2. Distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment.
  3. Determinantul unei matrice de ordin 2.
  4. Adunarea, înmulțirea și egalitatea matricelor.
  5. Legile de compoziție definite prin formulă.
  6. Derivata unei funcții raționale simple.
  7. Monotonia folosită pentru inegalități.
  8. Integrale de polinoame și integrale de forma u'/u.

Pentru nota de trecere, Subiectul I este prioritar. După aceea, cele mai accesibile subpuncte sunt de obicei cele de tip calcul direct: II.1.a, II.2.a, III.2.a și părți din III.2.b. Nu te baza doar pe acestea, dar folosește-le ca bază de punctaj.

Greșeli frecvente

  • Confunzi M_tehnologic cu M_st-nat și lucrezi alt model.
  • Scrii doar răspunsul final, fără pașii care apar în barem.
  • La probabilitate, numeri cazurile favorabile, dar uiți cazurile posibile.
  • În geometria analitică, folosești punctul A(6,8) ca și cum ar fi mijlocul M.
  • La triunghi, citești greșit AC = 3AB și ajungi la AB = 18.
  • La matrice, verifici o singură intrare când trebuie să arăți egalitatea completă.
  • La legea de compoziție, tratezi ∘ ca pe înmulțirea obișnuită.
  • La integrale, uiți factorul 1/2 în formula pentru ∫1/(2x+1) dx.

Recapitulare rapidă

Înainte să consideri modelul rezolvat, verifică dacă:

  • poți reproduce Subiectul I fără să te uiți la soluții;
  • știi formula determinantului pentru matrice 2 x 2;
  • poți aplica regula unei legi de compoziție;
  • știi să derivezi 1/u;
  • poți explica de ce monotonia ajută la o inegalitate;
  • recunoști integrala logaritmică u'/u;
  • scrii pași intermediari, nu doar rezultate finale.

Întrebări frecvente

Este același lucru M2 cu M_tehnologic la BAC 2026?

În documentele oficiale pentru BAC 2026, varianta se numește Matematică M_tehnologic. Mulți elevi o caută ca M2, dar este mai sigur să verifici eticheta oficială, ca să nu o confunzi cu M_st-nat.

Unde găsesc modelul oficial BAC 2026 la matematică?

Pe subiecte.edu.ro, în secțiunea Bacalaureat 2026, Modele de subiecte, Probe scrise, E.c Matematică. Acolo se află arhiva oficială cu modelele.

Câte puncte primesc din oficiu la matematică?

Se acordă 10 puncte din oficiu. Cele trei subiecte valorează împreună 90 de puncte, iar nota finală este punctajul total împărțit la 10.

Se punctează o metodă diferită de cea din barem?

Da. Baremul precizează că orice soluție corectă primește punctajul corespunzător, chiar dacă diferă de soluția din barem. Metoda trebuie însă să fie clară și corect justificată.

Ce exerciții sunt cele mai accesibile pentru nota de trecere?

Pentru majoritatea elevilor, Subiectul I este baza. Apoi merită lucrate subpunctele de calcul direct: determinant, lege de compoziție prin înlocuire, integrale simple și exerciții cu formulă clară.

Care este diferența dintre M_tehnologic și M_st-nat?

Sunt variante diferite de matematică pentru profiluri diferite. Acest articol rezolvă modelul M_tehnologic, destinat filierei tehnologice. Dacă ești la științele naturii, caută varianta M_st-nat.

Surse și verificare