BacPath

Actualizat pe 30 octombrie 2026

Model BAC 2026 Matematică M1 rezolvat: subiect oficial, barem și explicații

Subiectul oficial pentru BAC 2026 Matematică M1, cu barem explicat, rezolvări pe pași, punctaj și greșeli frecvente.

Acesta este ghidul pentru modelul BAC 2026 Matematică M1 rezolvat, adică pentru modelul oficial Matematică M_mate-info. Ministerul publică subiectul și baremul, iar aici găsești rezolvarea explicată pe pași, cu atenție la ce se punctează și la greșelile care pot costa puncte.

Modelul nu este subiectul care va pica la examen. Este o variantă de antrenament, construită pe formatul oficial: trei subiecte obligatorii, câte 30 de puncte fiecare, plus 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

Pe scurt

  • M1 se referă, în limbajul folosit de elevi, la proba Matematică M_mate-info.
  • Proba este pentru filiera teoretică, profil real, specializarea matematică-informatică, și pentru filiera vocațională, profil militar, specializarea matematică-informatică.
  • Modelul are 90 de puncte pe exerciții și 10 puncte din oficiu.
  • Nota se calculează astfel: (punctaj total) : 10.
  • Baremul oficial acceptă orice metodă corectă, chiar dacă este diferită de metoda din barem.
  • Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Descarcă modelul oficial BAC 2026 Matematică M1 și baremul

Sursa principală pentru model este portalul oficial subiecte.edu.ro, în zona:

Bacalaureat -> Modele de subiecte -> Probe scrise -> E c Matematică

În practică, elevii caută de obicei două documente:

Document Ce conține Cum îl folosești
Subiectul oficial Cerințele pe care le rezolvi Îl lucrezi cronometrat, fără să te uiți în barem
Baremul oficial Rezultate, pași punctați și reguli de notare Îl folosești după rezolvare, pentru autocorectare
Rezolvarea explicată Pașii dintre enunț și barem Te ajută să înțelegi metoda și să scrii complet

Atenție la formulare: baremul oficial nu este mereu o rezolvare pedagogică completă. De multe ori arată calculul minim necesar pentru punctaj. De aceea, mai jos sunt dezvoltate etapele intermediare.

Pentru cine este Matematică M1 / M_mate-info

În modelul oficial, proba apare ca Matematică M_mate-info. Este destinată elevilor de la:

  • filiera teoretică, profil real, specializarea matematică-informatică;
  • filiera vocațională, profil militar, specializarea matematică-informatică.

Dacă ești la științe ale naturii, tehnologic sau pedagogic, nu folosi acest model ca variantă principală de lucru. Structura generală poate semăna, dar programa și dificultatea diferă.

Structura subiectului: punctaj, timp de lucru, subiecte obligatorii

Modelul are trei subiecte, fiecare de 30 de puncte:

Parte Conținut principal Punctaj
Subiectul I 6 exerciții scurte, fiecare de 5 puncte 30p
Subiectul al II-lea algebră: matrice, sistem, lege de compoziție 30p
Subiectul al III-lea analiză: derivate, monotonie, integrale, limită 30p
Din oficiu puncte acordate automat 10p

Pentru autocorectare, nu împărți doar cele 90 de puncte la 10. Mai întâi adaugi cele 10 puncte din oficiu, apoi împarți totalul la 10.

Exemplu: dacă ai 58 de puncte din exerciții, calculul este 58 + 10 = 68, deci nota estimată este 6,80.

Cum citești baremul oficial

Baremul împarte frecvent un exercițiu de 5 puncte în două blocuri, de exemplu 3p + 2p sau 2p + 3p.

De obicei:

  • primul bloc punctează alegerea metodei, scrierea relației corecte sau calculul de bază;
  • al doilea bloc punctează finalizarea, verificarea condițiilor și concluzia.

La examen, nu ajunge să scrii doar rezultatul final. Dacă ai calculat a = -3, dar nu ai arătat compunerea funcțiilor, poți pierde puncte. Scrie pașii suficient de clar încât corectorul să vadă de unde vine rezultatul.

Rezolvare Subiectul I, exercițiile 1-6

Subiectul I verifică rapid formule de bază, atenție la condiții și calcule scurte. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1: progresie aritmetică

Numerele x, 8, 2x + 1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Pasul 1: pentru trei termeni consecutivi, termenul din mijloc este media vecinilor:

(x + 2x + 1) / 2 = 8

Pasul 2: rezolvăm ecuația:

3x + 1 = 16
3x = 15
x = 5

Răspuns final: x = 5.

Ce se punctează: relația de progresie și rezolvarea corectă până la valoarea finală.

Exercițiul 2: compunerea funcțiilor

Avem f(x) = 2x + 1 și g(x) = x + 4. Cerința cere numărul real a pentru care (f o g)(a) = -a.

Pasul 1: calculăm g(a):

g(a) = a + 4

Pasul 2: înlocuim în f:

f(g(a)) = f(a + 4) = 2(a + 4) + 1 = 2a + 9

Pasul 3: folosim condiția din enunț:

2a + 9 = -a
3a = -9
a = -3

Răspuns final: a = -3.

Ce se punctează: compunerea corectă și rezolvarea ecuației obținute.

Exercițiul 3: ecuație logaritmică

Ecuația este:

2log_5 x = log_5(4x + 5)

Pasul 1: notăm condiția de existență. Pentru log_5 x, trebuie să avem x > 0.

Pasul 2: transformăm partea stângă:

2log_5 x = log_5(x^2)

Pasul 3: egalăm argumentele:

x^2 = 4x + 5
x^2 - 4x - 5 = 0
(x - 5)(x + 1) = 0

Pasul 4: verificăm soluțiile:

  • x = 5 convine, deoarece x > 0;
  • x = -1 nu convine, deoarece logaritmul nu este definit pentru numere negative.

Răspuns final: x = 5.

Greșeală frecventă: păstrarea soluției x = -1. La logaritmi, condiția de existență trebuie verificată mereu.

Exercițiul 4: numărare cu cifre distincte

Mulțimea este A = {1, 3, 5, 7, 8}. Trebuie formate numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor impară.

Pasul 1: cifra zecilor trebuie să fie impară. Din A, avem 4 variante:

1, 3, 5, 7

Pasul 2: după alegerea zecilor, cifra unităților trebuie să fie diferită. Rămân 4 variante, deoarece mulțimea are 5 elemente.

Pasul 3: aplicăm regula produsului:

4 x 4 = 16

Răspuns final: 16 numere.

Ce se punctează: numărul de alegeri pentru zeci și numărul total prin regula produsului.

Exercițiul 5: vectori în coordonate

Punctele sunt A(0,5) și B(3,4). Se cere punctul C pentru care:

3OC = OA + OB

Pasul 1: scriem vectorii:

OA = (0, 5)
OB = (3, 4)

Pasul 2: adunăm:

OA + OB = (3, 9)

Pasul 3: împărțim la 3:

OC = (1, 3)

Răspuns final: C(1,3).

Verificare rapidă: 3OC = 3(1,3) = (3,9), exact OA + OB.

Exercițiul 6: geometrie în triunghi dreptunghic

Se dă triunghiul ABC, cu A = pi/2, C = pi/3, iar AE = 2, unde CE este bisectoarea unghiului C. Trebuie arătat că distanța de la B la dreapta CE este 2sqrt(3).

Pasul 1: calculăm unghiul B:

B = pi - pi/2 - pi/3 = pi/6

Pasul 2: pentru că CE este bisectoare, avem:

ECB = pi/6

Deci ECB = EBC, de unde rezultă EB = EC.

Pasul 3: folosim ideea din barem: în triunghiul CEB, înălțimile către laturile egale duc la egalitatea:

d(B, CE) = d(C, BE)

Cum BE este pe dreapta AB, iar AC este perpendiculară pe AB, rezultă:

d(C, BE) = AC

Pasul 4: calculăm AC din triunghiul dreptunghic ACE:

tg(ACE) = AE / AC
tg(pi/6) = 1 / sqrt(3)
1 / sqrt(3) = 2 / AC
AC = 2sqrt(3)

Răspuns final: d(B, CE) = 2sqrt(3).

Ce se punctează: relațiile de unghiuri și egalitatea distanțelor, apoi calculul cu tangenta.

Rezolvare Subiectul al II-lea: matrice, sistem, lege de compoziție

La Subiectul al II-lea, punctajul se pierde des din lipsa concluziei. Scrie explicit când o matrice este inversabilă, ce valori sunt excluse și de ce o soluție convine.

II.1.a: determinantul matricei pentru a = 0

Matricea este:

A(a) = | a  0  -2 |
       | 1  1  1-a |
       | 2  1  -2 |

Pentru a = 0:

A(0) = | 0  0  -2 |
       | 1  1   1 |
       | 2  1  -2 |

Calculul determinantului dă:

det(A(0)) = 2

Răspuns final: det(A(0)) = 2.

Ce se punctează: înlocuirea lui a = 0 în matrice și calculul determinantului.

II.1.b: valorile pentru care matricea este inversabilă

O matrice pătratică este inversabilă dacă determinantul ei este diferit de zero.

Pasul 1: calculăm determinantul general:

det(A(a)) = a^2 - 3a + 2

Pasul 2: factorizăm:

a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2)

Pasul 3: determinantul este zero pentru:

a = 1 sau a = 2

Prin urmare, matricea este inversabilă pentru toate valorile reale în afară de acestea.

Răspuns final: a in R \ {1, 2}.

Greșeală frecventă: să scrii doar rădăcinile determinantului. Cerința cere valorile pentru care matricea este inversabilă, deci trebuie excluse rădăcinile.

II.1.c: soluțiile sistemului pentru a = 2

Pentru a = 2, baremul conduce la familia de soluții:

(x0, y0, z0) = (alpha, 1, alpha - 2), alpha in R

Trebuie demonstrat:

x0z0 + y0 >= 0

Înlocuim coordonatele soluției:

x0z0 + y0 = alpha(alpha - 2) + 1

Calculăm:

alpha(alpha - 2) + 1 = alpha^2 - 2alpha + 1 = (alpha - 1)^2

Un pătrat este mereu mai mare sau egal cu zero:

(alpha - 1)^2 >= 0

Răspuns final: x0z0 + y0 >= 0, pentru orice soluție reală a sistemului.

Ce se punctează: forma generală a soluțiilor și transformarea expresiei într-un pătrat.

II.2.a: calcul direct pentru legea de compoziție

Legea este definită pe M = (1, +infinity) prin:

x * y = (xy - 1) / ((x - 1)(y - 1))

Pentru 3 * 5:

3 * 5 = (3 x 5 - 1) / ((3 - 1)(5 - 1))
      = 14 / (2 x 4)
      = 14 / 8
      = 7 / 4

Răspuns final: 3 * 5 = 7/4.

Ce se punctează: înlocuirea corectă în lege și simplificarea fracției.

II.2.b: ecuația x * x = 3

Pentru x in M, deci x > 1, avem:

x * x = (x^2 - 1) / (x - 1)^2

Factorizăm numărătorul:

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Cum x > 1, avem x - 1 != 0, deci:

x * x = (x + 1) / (x - 1)

Rezolvăm ecuația:

(x + 1) / (x - 1) = 3
x + 1 = 3x - 3
4 = 2x
x = 2

Verificăm condiția: 2 > 1, deci 2 in M.

Răspuns final: x = 2.

II.2.c: demonstrarea inegalității (x * 2) * x > 2

Pasul 1: calculăm x * 2:

x * 2 = (2x - 1) / (x - 1)

Pasul 2: folosim din nou legea pentru (x * 2) * x. După înlocuire și simplificare, se obține:

(x * 2) * x = (2x^2 - 2x + 1) / (x(x - 1))

Pasul 3: rescriem expresia:

(2x^2 - 2x + 1) / (x(x - 1)) = 2 + 1 / (x(x - 1))

Pasul 4: pentru x in M, avem x > 1, deci:

x(x - 1) > 0
1 / (x(x - 1)) > 0

Rezultă:

2 + 1 / (x(x - 1)) > 2

Răspuns final: (x * 2) * x > 2, pentru orice x in M.

Ce se punctează: calculul compunerii și justificarea semnului pozitiv al termenului adăugat la 2.

Rezolvare Subiectul al III-lea: derivate, monotonie, integrale și limită

Subiectul al III-lea cere mai multă justificare. La derivate și integrale, baremul punctează nu doar rezultatul, ci și metoda: derivare corectă, interpretarea semnului, primitivă potrivită, aplicarea limitei.

III.1.a: derivata funcției cu logaritmi

Funcția este:

f(x) = x + (ln x)^2 - x ln x, x in (0, +infinity)

Derivăm termen cu termen:

(x)' = 1
((ln x)^2)' = 2ln x / x
(x ln x)' = ln x + 1

Deci:

f'(x) = 1 + 2ln x / x - (ln x + 1)

Simplificăm:

f'(x) = 2ln x / x - ln x
      = (2ln x - xln x) / x
      = ((2 - x)ln x) / x

Răspuns final: f'(x) = ((2 - x)ln x) / x.

Ce se punctează: derivarea produsului x ln x și aducerea la forma cerută.

III.1.b: tangente paralele cu axa Ox

O tangentă este paralelă cu axa Ox atunci când panta ei este zero. Panta este derivata în punctul respectiv.

Deci trebuie:

f'(a) = 0

Înlocuim formula derivatei:

((2 - a)ln a) / a = 0

Pentru a > 0, numitorul nu este zero. Rezolvăm:

(2 - a)ln a = 0

Produsul este zero dacă:

2 - a = 0 sau ln a = 0

De aici:

a = 2 sau a = 1

Răspuns final: abscisele sunt 1 și 2.

Verificare rapidă: ambele valori aparțin domeniului (0, +infinity).

III.1.c: ecuația f(x) = 0 are soluție unică

Trebuie să arătăm două lucruri: există o soluție și nu pot exista două sau mai multe.

Pasul 1: folosim semnul derivatei.

f'(x) = ((2 - x)ln x) / x

Pentru x > 0, semnul depinde de (2 - x)ln x.

Interval Semnul lui ln x Semnul lui 2 - x Semnul lui f'(x) Concluzie
(0,1] negativ sau zero pozitiv negativ sau zero f descrește
[1,2] pozitiv sau zero pozitiv sau zero pozitiv sau zero f crește
(2,+infinity) pozitiv negativ negativ f descrește strict

Pasul 2: pe primele două intervale, funcția rămâne pozitivă. Avem:

f(1) = 1

În plus, lim_{x -> 0+} f(x) = +infinity. Pe (0,1], funcția descrește până la 1, deci nu ajunge la zero. Pe [1,2], funcția crește de la 1, deci nu ajunge la zero.

Pasul 3: pe (2,+infinity), funcția este strict descrescătoare, iar:

f(2) = 2 + (ln 2)^2 - 2ln 2 = 1 + (ln 2 - 1)^2 > 0
lim_{x -> +infinity} f(x) = -infinity

Cum funcția este continuă și trece de la o valoare pozitivă spre -infinity, ecuația are o soluție pe (2,+infinity).

Pasul 4: pentru că pe (2,+infinity) funcția este strict descrescătoare, nu poate tăia axa de două ori.

Răspuns final: ecuația f(x) = 0 are soluție unică.

Ce se punctează: studiul semnului derivatei, folosirea continuității și concluzia de unicitate.

III.2.a: integrală cu radical

Funcția este:

f(x) = x^2 - 2 + sqrt(x^2 + 4)

Cerința cere:

integrala de la 0 la 3 din (f(x) - sqrt(x^2 + 4)) dx

Pasul 1: simplificăm expresia din integrală:

f(x) - sqrt(x^2 + 4) = x^2 - 2

Pasul 2: integrăm:

integrala de la 0 la 3 din (x^2 - 2) dx
= [x^3 / 3 - 2x] de la 0 la 3
= 9 - 6
= 3

Răspuns final: integrala este 3.

Greșeală frecventă: să încerci să integrezi radicalul, deși el se reduce imediat prin înlocuirea lui f(x).

III.2.b: integrală cu substituție recunoscută

Cerința folosește expresia:

f(x) - x^2 + 2

Pasul 1: simplificăm numitorul:

f(x) - x^2 + 2 = sqrt(x^2 + 4)

Integrala devine:

integrala de la 0 la sqrt(5) din x / sqrt(x^2 + 4) dx

Pasul 2: recunoaștem derivata:

(sqrt(x^2 + 4))' = x / sqrt(x^2 + 4)

Pasul 3: calculăm:

[sqrt(x^2 + 4)] de la 0 la sqrt(5)
= sqrt(9) - sqrt(4)
= 3 - 2
= 1

Răspuns final: integrala este 1.

Ce se punctează: simplificarea numitorului și alegerea primitivei potrivite.

III.2.c: limită cu primitivă și l'Hôpital

Se dă F primitiva lui f, cu F(0) = 0, și trebuie demonstrat:

lim_{x -> 0} (1 / x^2) * integrala de la 0 la x din F(t) dt = 0

Scriem limita ca raport:

lim_{x -> 0} [integrala de la 0 la x din F(t) dt] / x^2

Pentru x -> 0, numărătorul tinde la 0, iar numitorul tinde la 0. Putem aplica regula lui l'Hôpital.

Pasul 1: derivăm numărătorul și numitorul:

lim_{x -> 0} F(x) / (2x)

Din nou avem forma 0/0, deoarece F(0) = 0.

Pasul 2: aplicăm încă o dată l'Hôpital:

lim_{x -> 0} F'(x) / 2 = lim_{x -> 0} f(x) / 2

Pasul 3: calculăm f(0):

f(0) = 0^2 - 2 + sqrt(0^2 + 4) = -2 + 2 = 0

Deci:

lim_{x -> 0} f(x) / 2 = 0 / 2 = 0

Răspuns final: limita este 0.

Ce se punctează: transformarea în raport, aplicarea corectă a regulii lui l'Hôpital și folosirea condiției F(0) = 0.

Cum îți estimezi nota pe modelul BAC 2026 M1

După ce lucrezi modelul, corectează pe bucăți de 5 puncte. Nu nota doar cu „corect” sau „greșit”. La BAC, o rezolvare parțială poate primi punctaj intermediar, în limitele baremului.

O variantă practică de autocorectare:

  1. Notează punctajul obținut la fiecare item.
  2. Adună punctele de la Subiectul I, II și III.
  3. Adaugă cele 10 puncte din oficiu.
  4. Împarte totalul la 10.
  5. Marchează exercițiile unde ai pierdut puncte din lipsă de justificare, nu doar din calcul.

Model:

Subiectul I: 24p
Subiectul II: 18p
Subiectul III: 16p
Total exerciții: 58p
Cu puncte din oficiu: 68p
Nota estimată: 6,80

Greșeli frecvente la modelul M1 2026

  • Spui că baremul este „rezolvarea oficială completă”. Mai corect: baremul este schema oficială de punctare, iar rezolvarea explicată dezvoltă pașii.
  • Uiți condiția x > 0 la ecuația logaritmică și păstrezi soluția x = -1.
  • Scrii doar a = 1, a = 2 la determinant, deși cerința cere valorile pentru care matricea este inversabilă. Răspunsul corect exclude aceste valori.
  • Nu verifici că x = 2 aparține mulțimii M = (1, +infinity) la legea de compoziție.
  • La tangenta paralelă cu Ox, uiți legătura esențială: tangenta este paralelă cu axa dacă derivata este zero.
  • La integrale, nu simplifici expresia înainte de integrare și ajungi la calcule mai grele decât cere modelul.
  • Îți calculezi nota fără cele 10 puncte din oficiu.
  • Tratezi modelul ca predicție pentru examen. Modelul este material oficial de antrenament, nu listă cu ce va pica.

Lista de verificare înainte să treci mai departe

Înainte să consideri modelul lucrat complet, verifică:

  • ai rezolvat subiectul fără barem, cel puțin prima dată;
  • ai scris condițiile de existență la logaritmi și fracții;
  • ai tras concluzia cerută, nu doar calculele intermediare;
  • ai justificat semnul expresiilor folosite în demonstrații;
  • ai verificat dacă soluțiile aparțin domeniului cerut;
  • ai adăugat cele 10 puncte din oficiu la estimarea notei;
  • ai notat separat greșelile de calcul și greșelile de redactare.

Întrebări frecvente

Este acesta modelul oficial BAC 2026 la Matematică M1?

Da. Modelul corespunde probei oficiale Matematică M_mate-info, publicată în zona de modele de subiecte pentru Bacalaureat 2026 de pe subiecte.edu.ro.

Există rezolvare oficială completă sau doar barem?

Ministerul publică subiectul și baremul oficial. Baremul arată pașii punctați și rezultatele, dar nu explică mereu fiecare etapă ca într-o lecție. De aceea, o rezolvare pas cu pas dezvoltă baremul fără să îl înlocuiască.

Ce profiluri dau Matematică M1?

Modelul Matematică M_mate-info este pentru specializarea matematică-informatică de la profil real și pentru specializarea matematică-informatică de la profil militar.

Câte puncte are fiecare subiect la Matematică M1?

Fiecare dintre cele trei subiecte are 30 de puncte. În total sunt 90 de puncte pe cerințe, plus 10 puncte din oficiu.

Se punctează o metodă diferită de cea din barem?

Da, dacă metoda este corectă și duce la rezolvarea cerinței. Baremul oficial precizează că soluțiile corecte, chiar diferite de cele prezentate în barem, primesc punctajul corespunzător.

Modelul BAC 2026 arată ce va pica la examen?

Nu. Modelul arată formatul, nivelul și tipurile de competențe urmărite, dar nu este o predicție. Folosește-l ca antrenament, apoi lucrează și variante din anii anteriori.

Cum folosesc cel mai bine acest model?

Lucrează-l o dată în 3 ore, fără barem. Abia apoi verifică fiecare item, notează punctele pierdute și reia exercițiile unde ai greșit metoda, nu doar calculul.

Surse și verificare

Informațiile matematice din articol au fost verificate după enunțul modelului și după baremul oficial. Dacă lucrezi pentru examen, descarcă întotdeauna documentul final din sursa oficială subiecte.edu.ro.