BacPath

Publicat pe 18 mai 2026

Exerciții cu funcția de gradul 2 la BAC M2, rezolvate pas cu pas

Ghid cu exerciții rezolvate pentru funcția de gradul al II-lea la BAC M2: formule, vârf, semn, inecuații, Viete și barem.

La exerciții cu funcția de gradul 2 BAC M2, cel mai important este să recunoști rapid tiparul: vârf de parabolă, intersecții cu axele, semn, inecuație, relațiile lui Viete, parametru sau poziția unei drepte față de parabolă. Nu ajunge să știi formula rădăcinilor. Trebuie să alegi formula potrivită, să arăți pașii și să scrii concluzia exact în limbajul cerinței.

Funcția de gradul al II-lea apare în programa de BAC la matematică, inclusiv pentru M2, prin grafic, intersecții cu axele, ecuația asociată, axa de simetrie, extrem, monotonie, semn, inecuații și relațiile lui Viete. La Științele Naturii poate apărea și în contexte de analiză sau integrale, iar la Tehnologic cerințele sunt de obicei mai procedurale.

Pe scurt

  • Forma standard este f:R -> R, f(x)=ax^2+bx+c, cu a != 0.
  • Graficul este o parabolă. Dacă a>0, are minim. Dacă a<0, are maxim.
  • Pentru rădăcini calculezi Delta=b^2-4ac.
  • Vârful este V(-b/(2a), -Delta/(4a)), dar poți calcula mai sigur xV=-b/(2a), apoi yV=f(xV).
  • Intersecția cu Oy este mereu (0,c).
  • La semn, funcția are semnul lui a în afara rădăcinilor și semn opus între rădăcini, când Delta>0.
  • La BAC, scrie calculele intermediare. Baremul poate acorda punctaj parțial pentru metodă, nu doar pentru rezultat.

Ce trebuie să știi despre funcția de gradul al II-lea pentru BAC M2

O funcție de gradul al II-lea are forma:

f(x)=ax^2+bx+c, unde a, b, c sunt numere reale și a != 0.

Condiția a != 0 contează. Dacă a=0, expresia nu mai este de gradul al II-lea, ci devine cel mult o funcție de gradul I.

Diferența dintre funcție și ecuație este simplă:

Situație Ce cauți Exemplu
Funcție proprietăți ale graficului sau valori ale funcției vârf, minim, maxim, semn, imagine
Ecuație valorile lui x pentru care expresia devine zero ax^2+bx+c=0

La BAC, o cerință poate începe cu funcția f(x)=ax^2+bx+c, dar apoi să te trimită la ecuația f(x)=0. În acel moment rezolvi ecuația asociată, nu schimbi tema exercițiului.

Formulele esențiale

Folosește tabelul ca listă de lucru. Nu memora doar formulele, ci și momentul în care le aplici.

Ce se cere Formula sau metoda
Discriminant Delta=b^2-4ac
Rădăcini reale, dacă Delta>=0 x1=(-b-sqrt(Delta))/(2a), x2=(-b+sqrt(Delta))/(2a)
Vârful parabolei xV=-b/(2a), yV=f(xV)
Axa de simetrie x=-b/(2a)
Intersecția cu Oy pui x=0, deci punctul este (0,c)
Relațiile lui Viete x1+x2=-b/a, x1*x2=c/a
Forma canonică f(x)=a(x-xV)^2+yV

Pentru monotonie și imagine, te uiți la semnul lui a:

Semnul lui a Monotonie Extrem Imagine
a>0 descrește pe (-inf, xV], crește pe [xV, +inf) minim în V [yV, +inf)
a<0 crește pe (-inf, xV], descrește pe [xV, +inf) maxim în V (-inf, yV]

Exerciții funcția de gradul 2 BAC M2: metoda de lucru

Când vezi o funcție de gradul al II-lea, nu începe direct cu formula rădăcinilor. Începe cu cerința.

  1. Identifică forma ax^2+bx+c.
  2. Scrie coeficienții a, b, c.
  3. Citește ce se cere: vârf, rădăcini, semn, minim, maxim, Viete sau intersecții.
  4. Alege formula.
  5. Înlocuiește valorile și arată calculul.
  6. Scrie răspunsul final ca punct, interval, valoare sau condiție, după cerință.
  7. Verifică dacă răspunsul respectă toate condițiile din enunț.

Tipar 1: determină vârful parabolei

Exercițiu: Se dă f(x)=x^2-6x+8. Determină vârful parabolei.

Pasul 1: identificăm coeficienții.

a=1, b=-6, c=8.

Pasul 2: calculăm abscisa vârfului.

xV=-b/(2a)=-(-6)/(2*1)=6/2=3.

Pasul 3: calculăm ordonata vârfului prin înlocuire.

yV=f(3)=3^2-6*3+8=9-18+8=-1.

Răspuns final: V(3,-1).

Verificare rapidă: Dacă folosim discriminantul, Delta=(-6)^2-4*1*8=36-32=4, iar yV=-Delta/(4a)=-4/4=-1. Rezultatul coincide.

Tipar 2: determină minimul sau maximul funcției

Exercițiu: Se dă f(x)=x^2-9. Determină valoarea minimă a funcției.

Pasul 1: identificăm semnul lui a.

Avem a=1, deci a>0. Parabola este orientată în sus, deci funcția are minim.

Pasul 2: calculăm xV.

În funcția x^2-9, avem b=0, deci:

xV=-0/(2*1)=0.

Pasul 3: calculăm valoarea minimă.

f(0)=0^2-9=-9.

Răspuns final: valoarea minimă este -9, atinsă pentru x=0.

De ce contează semnul lui a: dacă a<0, funcția nu ar avea minim, ci maxim. Aceasta este una dintre greșelile care schimbă complet răspunsul.

Tipar 3: găsește intersecțiile cu axele

Exercițiu: Se dă f(x)=-x^2+2x+8. Determină intersecțiile graficului cu axele de coordonate.

Pentru intersecția cu Ox, punem f(x)=0:

-x^2+2x+8=0.

Înmulțim cu -1, ca să lucrăm mai ușor:

x^2-2x-8=0.

Factorizăm:

(x-4)(x+2)=0.

Rezultă x=4 sau x=-2.

Deci intersecțiile cu Ox sunt (-2,0) și (4,0).

Pentru intersecția cu Oy, punem x=0:

f(0)=-0^2+2*0+8=8.

Răspuns final: graficul intersectează Ox în (-2,0) și (4,0), iar Oy în (0,8).

Verificare rapidă: termenul liber este c=8, deci punctul de pe Oy trebuie să fie (0,8).

Tipar 4: rezolvă o inecuație de gradul al II-lea

Exercițiu: Rezolvă în R inecuația x^2-5x+4 <= 0.

Pasul 1: rezolvăm ecuația asociată.

x^2-5x+4=0.

Factorizăm:

(x-1)(x-4)=0.

Rădăcinile sunt x1=1 și x2=4.

Pasul 2: stabilim semnul.

Avem a=1>0, deci parabola este orientată în sus. Funcția este negativă sau zero între rădăcini și pozitivă în afara lor.

Pasul 3: alegem intervalul cerut de semnul <=0.

Răspuns final în R: x in [1,4].

Dacă enunțul cerea soluții întregi, atunci răspunsul devenea {1,2,3,4}.

Verificare rapidă: alegem un număr din interval, de exemplu x=2: 2^2-5*2+4=4-10+4=-2, care este <=0. Alegem un număr din afara intervalului, de exemplu x=0: rezultatul este 4, deci nu convine.

Tipar 5: folosește relațiile lui Viete

Exercițiu: Ecuația x^2-(2m+1)x+3m=0 are rădăcinile x1 și x2. Știind că x1+x2+x1*x2=11, determină m.

Pasul 1: identificăm coeficienții.

a=1, b=-(2m+1), c=3m.

Pasul 2: aplicăm relațiile lui Viete.

x1+x2=-b/a=2m+1.

x1*x2=c/a=3m.

Pasul 3: folosim condiția din enunț.

x1+x2+x1*x2=11.

Înlocuim:

(2m+1)+3m=11.

5m+1=11.

5m=10.

m=2.

Pasul 4: verificăm dacă ecuația are rădăcini reale pentru m=2.

Ecuația devine x^2-5x+6=0, iar Delta=25-24=1>=0.

Răspuns final: m=2.

Tipar 6: exercițiu cu parametru și extrem

Exercițiu: Se dă f(x)=mx^2-8x-3. Determină m astfel încât funcția să aibă valoarea maximă egală cu 5.

Pasul 1: observăm condiția de maxim.

O funcție de gradul al II-lea are maxim doar dacă a<0. Aici a=m, deci trebuie m<0. De asemenea, m != 0, ca funcția să rămână de gradul al II-lea.

Pasul 2: folosim formula pentru ordonata vârfului.

Pentru a=m, b=-8, c=-3:

Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4*m*(-3)=64+12m.

yV=-Delta/(4a)=-(64+12m)/(4m).

Simplificăm:

yV=-(16+3m)/m=-16/m-3.

Pasul 3: impunem valoarea maximă.

-16/m-3=5.

-16/m=8.

m=-2.

Pasul 4: verificăm restricția.

m=-2<0, deci funcția are într-adevăr maxim.

Răspuns final: m=-2.

Greșeală de evitat: dacă obții o valoare pentru m, nu te opri înainte să verifici restricția din problemă.

Tipar 7: poziția unei drepte față de o parabolă

Exercițiu: Determină poziția relativă a dreptei y=2x+1 față de parabola y=x^2-3x+2.

Pasul 1: egalăm expresiile, deoarece punctele comune au aceeași valoare a lui y.

x^2-3x+2=2x+1.

Pasul 2: aducem totul în membrul stâng.

x^2-5x+1=0.

Pasul 3: calculăm discriminantul.

Delta=(-5)^2-4*1*1=25-4=21.

Pasul 4: interpretăm.

Pentru că Delta>0, ecuația are două rădăcini reale distincte. Asta înseamnă că dreapta intersectează parabola în două puncte.

Rădăcinile sunt:

x1=(5-sqrt(21))/2, x2=(5+sqrt(21))/2.

Punctele de intersecție se obțin înlocuind în y=2x+1:

P1((5-sqrt(21))/2, 6-sqrt(21)).

P2((5+sqrt(21))/2, 6+sqrt(21)).

Răspuns final: dreapta este secantă la parabolă, deoarece are două puncte comune cu aceasta.

Cum se punctează orientativ un exercițiu de 5 puncte

Baremul oficial poate avea o împărțire diferită, dar un exercițiu cu funcția de gradul al II-lea este punctat de obicei pentru pașii vizibili ai metodei.

Ce scrii în lucrare Punctaj orientativ
Identifici corect a, b, c sau tipul cerinței 1p
Scrii formula potrivită, de exemplu Delta, xV, Viete 1p
Înlocuiești corect valorile și faci calculele 2p
Scrii concluzia completă, ca punct, interval, valoare sau condiție 1p

Pentru punctaj, concluzia contează mult. x=3 nu este același lucru cu V(3,-1) dacă cerința cere vârful. La fel, 8 nu este suficient dacă se cere intersecția cu Oy; trebuie să scrii punctul (0,8).

Greșeli frecvente

  • Uiți condiția a != 0 și tratezi ca parabolă o funcție care nu mai este de gradul al II-lea.
  • Confunzi coeficientul b cu termenul liber c la intersecția cu Oy.
  • Calculezi doar xV, dar uiți yV, deși vârful cere două coordonate.
  • Scrii axa de simetrie ca număr, de exemplu 3, în loc de ecuația dreptei x=3.
  • Greșești semnele în Delta, mai ales când b sau c sunt negative.
  • Aplici mecanic regula „între rădăcini este negativ”, fără să verifici semnul lui a.
  • Spui că funcția are minim, deși a<0 și are maxim.
  • La inecuații, găsești rădăcinile corecte, dar alegi intervalul greșit.
  • La Viete, scrii x1+x2=b/a în loc de x1+x2=-b/a.
  • La parametri, obții o valoare pentru parametru, dar nu verifici condițiile din enunț.

Exerciții scurte de verificare

Încearcă să le rezolvi fără să te uiți la soluție, apoi compară pașii.

1. Vârf și axă de simetrie

Pentru f(x)=x^2+4x+1, avem a=1, b=4, c=1.

xV=-4/(2*1)=-2.

yV=f(-2)=(-2)^2+4*(-2)+1=4-8+1=-3.

Răspuns: V(-2,-3), iar axa de simetrie este x=-2.

2. Semnul funcției

Pentru f(x)=-x^2+9, rezolvăm -x^2+9=0, deci x^2=9.

Rădăcinile sunt x=-3 și x=3. Deoarece a=-1<0, funcția este pozitivă între rădăcini și negativă în afara lor.

Răspuns: f(x)>=0 pentru x in [-3,3].

3. Relații Viete

Pentru ecuația 2x^2-6x+5=0, avem:

x1+x2=-b/a=6/2=3.

x1*x2=c/a=5/2.

Răspuns: suma rădăcinilor este 3, iar produsul este 5/2.

Lista finală de verificare

Înainte să treci mai departe de un exercițiu cu funcția de gradul al II-lea, verifică:

  • am scris corect a, b, c;
  • am observat dacă a este pozitiv sau negativ;
  • am calculat Delta doar când chiar îmi trebuie;
  • am ales formula potrivită pentru cerință;
  • am păstrat semnele corecte la înlocuire;
  • am scris răspunsul final în forma cerută;
  • am verificat restricțiile, mai ales la parametri;
  • am lăsat pașii în lucrare, nu doar rezultatul final.

Întrebări frecvente

Ce formule trebuie să știu pentru funcția de gradul 2 la BAC M2?

Trebuie să știi discriminantul, formula rădăcinilor, vârful parabolei, axa de simetrie, intersecția cu Oy, relațiile lui Viete, semnul funcției și regulile pentru minim sau maxim.

Funcția de gradul 2 apare la Subiectul I sau la Subiectul III?

Poate apărea în exerciții scurte, dar și în contexte de analiză la Subiectul al III-lea. În modelele oficiale pentru 2026 apar expresii de gradul al II-lea în cerințe care pot include limite, derivare, integrale sau inegalități.

Cum găsesc vârful parabolei?

Calculezi xV=-b/(2a), apoi înlocuiești în funcție: yV=f(xV). Această metodă este sigură la M2, pentru că reduce riscul să greșești formula yV=-Delta/(4a).

Cum știu dacă funcția are minim sau maxim?

Te uiți la semnul lui a. Dacă a>0, parabola este orientată în sus și funcția are minim. Dacă a<0, parabola este orientată în jos și funcția are maxim.

Cum rezolv o inecuație de gradul al II-lea?

Mai întâi rezolvi ecuația asociată, găsești rădăcinile, apoi stabilești semnul funcției pe intervale. La final alegi intervalele care respectă semnul cerut de inecuație.

Care este diferența dintre funcție de gradul II și ecuație de gradul II?

Funcția f(x)=ax^2+bx+c descrie o regulă și un grafic. Ecuația ax^2+bx+c=0 caută valorile lui x pentru care expresia devine zero.

Când folosesc relațiile lui Viete?

Le folosești când cerința vorbește despre suma sau produsul rădăcinilor, mai ales în exerciții cu parametru. Formulele sunt x1+x2=-b/a și x1*x2=c/a.

Este diferită funcția de gradul 2 la M2 Tehnologic față de M2 Științele Naturii?

Formulele de bază sunt aceleași. Diferența apare mai ales în tipul de exerciții: la Științele Naturii pot apărea mai des legături cu analiza, iar la Tehnologic cerințele sunt de obicei mai directe și procedurale.

Surse și verificare