Ecuații trigonometrice BAC rezolvate: formule și exemple pe dificultăți

La ecuațiile trigonometrice de BAC trebuie să recunoști forma ecuației, să alegi formula potrivită, să scrii toate familiile de soluții și să nu pierzi cazuri prin împărțire la sin x sau cos x. Mai jos ai ecuații trigonometrice BAC rezolvate pas cu pas, de la formele de bază până la factorizări, substituții și formule de dublu unghi.

Pe scurt

• Ecuațiile trigonometrice apar mai ales la profilurile M_mate-info și M_științele naturii.
• La sin x = a și cos x = a, verifici întâi dacă a este în intervalul [-1, 1].
• La tg x = a și ctg x = a, perioada este pi, nu 2pi.
• Dacă se cere soluția generală, scrii familii cu k in Z.
• Dacă se cere un interval, de exemplu [0, 2pi], alegi doar valorile care aparțin acelui interval.
• La factorizare rezolvi fiecare caz separat. Nu împarți printr-un factor care poate fi zero.

Ce sunt ecuațiile trigonometrice la BAC

O ecuație trigonometrică are necunoscuta în argumentul unei funcții trigonometrice: sin, cos, tg sau ctg. La BAC, scopul este de obicei să reduci ecuația la una dintre formele fundamentale:

• sin x = a
• cos x = a
• tg x = a
• ctg x = a

Pot apărea și forme care se transformă în ecuații algebrice simple:

2sin^2 x - 3sin x + 1 = 0

Aici notezi t = sin x, rezolvi ecuația în t, apoi revii la valorile lui x.

Formulele fundamentale pentru ecuații trigonometrice

Folosește formulele doar după ce ai verificat domeniul și forma ecuației.

Ecuație	Condiție	Soluție generală
sin x = a	a in [-1, 1]	x = arcsin a + 2k*pi sau x = pi - arcsin a + 2k*pi, k in Z
cos x = a	a in [-1, 1]	x = +/- arccos a + 2k*pi, k in Z
tg x = a	x != pi/2 + k*pi	x = arctg a + k*pi, k in Z
ctg x = a	x != k*pi	x = arcctg a + k*pi, k in Z

De ce apare +k*pi la tangentă? Pentru că tg(x + pi) = tg x.

Tabel rapid cu valori uzuale

Aceste valori sunt suficiente pentru multe exerciții scurte de BAC.

Unghi	0	pi/6	pi/4	pi/3	pi/2
sin x	0	1/2	sqrt(2)/2	sqrt(3)/2	1
cos x	1	sqrt(3)/2	sqrt(2)/2	1/2	0
tg x	0	sqrt(3)/3	1	sqrt(3)	nedefinită

Pentru valorile negative, folosești cercul trigonometric sau simetriile. De exemplu, tg x = -1 dă x = -pi/4 + k*pi, echivalent cu x = 3pi/4 + k*pi.

Pașii standard de rezolvare

1. Identifici tipul ecuației. Este fundamentală, are factorizare, are sin 2x, sau seamănă cu o ecuație de gradul al doilea?
2. Stabilești domeniul. Acest pas contează mai ales pentru tg, ctg, fracții și împărțiri.
3. Transformi în formă cunoscută. Folosești formule precum sin 2x = 2sin x cos x sau cos 2x = 1 - 2sin^2 x.
4. Rezolvi fiecare caz. Dacă ai produs egal cu zero, rezolvi separat fiecare factor egal cu zero.
5. Scrii răspunsul complet. Pentru soluția generală pui k in Z. Pentru interval, listezi doar valorile cerute.
6. Verifici rapid. Înlocuiești o soluție reprezentativă în ecuația inițială sau verifici dacă nu ai încălcat domeniul.

Exemple ușoare: forme fundamentale

Exemplul 1: sin x = 1/2, x in R

Acesta este un exercițiu de formă fundamentală cu sinus.

1. Identificăm valoarea uzuală:

arcsin(1/2) = pi/6

2. La sinus apar două soluții într-o perioadă, deoarece aceeași valoare a sinusului se găsește în două poziții pe cerc:

x = pi/6 + 2k*pi
x = pi - pi/6 + 2k*pi

3. Simplificăm a doua familie:

x = 5pi/6 + 2k*pi

Răspuns final:

x = pi/6 + 2k*pi sau x = 5pi/6 + 2k*pi, k in Z

Verificare rapidă: sin(pi/6) = 1/2 și sin(5pi/6) = 1/2.

Notă de redactare: pentru x in R, un singur unghi nu este suficient.

Exemplul 2: cos x = sqrt(2)/2, x in [0, 2pi]

Aici se cer soluțiile dintr-un interval.

1. Identificăm unghiul de referință:

cos(pi/4) = sqrt(2)/2

2. Cosinusul este pozitiv în cadranele I și IV.

3. În intervalul [0, 2pi], soluțiile sunt:

x = pi/4
x = 2pi - pi/4 = 7pi/4

Răspuns final:

x in {pi/4, 7pi/4}

Verificare rapidă: ambele valori sunt în [0, 2pi] și au același cosinus.

Exemplul 3: tg x = -1, x in R

Tangenta are perioada pi, deci soluțiile se repetă cu k*pi.

1. Identificăm valoarea:

arctg(-1) = -pi/4

2. Scriem soluția generală:

x = -pi/4 + k*pi, k in Z

Răspuns final:

x = -pi/4 + k*pi, k in Z

O formă echivalentă este x = 3pi/4 + k*pi, k in Z.

Exemple medii: factorizare și dublu unghi

Exemplul 4: 2sin x cos x - sin x = 0, x in R

Acest exercițiu verifică dacă știi să factorizezi fără să pierzi soluții.

1. Scoatem factor comun:

2sin x cos x - sin x = sin x(2cos x - 1)

Deci:

sin x(2cos x - 1) = 0

2. Rezolvăm primul caz:

sin x = 0
x = k*pi, k in Z

3. Rezolvăm al doilea caz:

2cos x - 1 = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2

Pentru cos x = 1/2:

x = +/- pi/3 + 2k*pi, k in Z

Răspuns final:

x = k*pi sau x = +/- pi/3 + 2k*pi, k in Z

Greșeală de evitat: nu împărți prin sin x, fiindcă pierzi soluțiile x = k*pi.

Exemplul 5: sin 2x = sin x, x in R

Folosim formula de dublu unghi:

sin 2x = 2sin x cos x

1. Înlocuim:

2sin x cos x = sin x

2. Aducem totul în stânga:

2sin x cos x - sin x = 0

3. Factorizăm și rezolvăm:

sin x(2cos x - 1) = 0
sin x = 0 => x = k*pi
2cos x - 1 = 0 => cos x = 1/2
x = +/- pi/3 + 2k*pi

Răspuns final:

x = k*pi sau x = +/- pi/3 + 2k*pi, k in Z

Verificare rapidă: pentru x = pi/3, sin(2pi/3) = sin(pi/3).

Exemple mai dificile pentru BAC

Exemplul 6: 2sin^2 x - 3sin x + 1 = 0, x in R

Este o ecuație de gradul al doilea în sin x.

1. Facem substituția:

t = sin x

Pentru că t = sin x, trebuie să avem:

t in [-1, 1]

2. Rezolvăm ecuația în t:

2t^2 - 3t + 1 = 0

(t - 1)(2t - 1) = 0

3. Obținem:

t = 1 sau t = 1/2

Ambele valori aparțin lui [-1, 1], deci le păstrăm.

4. Revenim la x.

Pentru t = 1:

sin x = 1
x = pi/2 + 2k*pi

Pentru t = 1/2:

sin x = 1/2
x = pi/6 + 2k*pi sau x = 5pi/6 + 2k*pi

Răspuns final:

x = pi/2 + 2k*pi
sau x = pi/6 + 2k*pi
sau x = 5pi/6 + 2k*pi, k in Z

Verificare rapidă: pentru sin x = 1, obții 2 - 3 + 1 = 0. Pentru sin x = 1/2, obții 1/2 - 3/2 + 1 = 0.

Exemplul 7: sqrt(3)cos x - sin x = 0, x in R

Este un exemplu de reducere la tangentă. Verificăm întâi cazul cos x = 0.

1. Verificăm dacă cos x = 0 poate da soluții.

Dacă cos x = 0, atunci sin x = +/-1. Ecuația devine:

sqrt(3)*0 - sin x = 0
-sin x = 0

Ar cere sin x = 0, contradicție. Deci cos x = 0 nu dă soluții.

2. Putem împărți prin cos x:

sqrt(3) - sin x / cos x = 0

3. Folosim tg x = sin x / cos x:

sqrt(3) - tg x = 0
tg x = sqrt(3)

4. Rezolvăm ecuația fundamentală:

x = pi/3 + k*pi, k in Z

Răspuns final:

x = pi/3 + k*pi, k in Z

Exemplul 8: cos 2x = cos x, x in R

Folosim regula:

cos u = cos v => u = +/- v + 2k*pi

1. Aici u = 2x și v = x.

2. Primul caz:

2x = x + 2k*pi
x = 2k*pi

3. Al doilea caz:

2x = -x + 2k*pi
3x = 2k*pi
x = 2k*pi/3

Răspuns final:

x = 2k*pi sau x = 2k*pi/3, k in Z

În redactare, poți păstra reuniunea celor două familii. Dacă simplifici, fă-o atent.

Exemplul 9: sin x + cos x = 1, x in R

Aceasta este o metodă cu unghi auxiliar, utilă pentru variante puțin mai pretențioase.

1. Folosim identitatea și reducem ecuația:

sin x + cos x = sqrt(2)sin(x + pi/4)
sqrt(2)sin(x + pi/4) = 1
sin(x + pi/4) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2
sin(x + pi/4) = sqrt(2)/2

2. Pentru u = x + pi/4, rezolvăm sin u = sqrt(2)/2:

x + pi/4 = pi/4 + 2k*pi
sau x + pi/4 = 3pi/4 + 2k*pi

3. Scădem pi/4:

x = 2k*pi
x = pi/2 + 2k*pi

Răspuns final:

x = 2k*pi sau x = pi/2 + 2k*pi, k in Z

Verificare rapidă: pentru x = 0, obții 1. Pentru x = pi/2, obții tot 1.

Cum alegi soluțiile într-un interval

Dacă enunțul cere x in [0, 2pi], nu lași răspunsul cu k in Z. Scrii soluția generală, apoi alegi valorile lui k care dau soluții în interval.

Exemplu:

sin x = 1/2, x in [0, 2pi]

Soluția generală este:

x = pi/6 + 2k*pi sau x = 5pi/6 + 2k*pi

Pentru k = 0, obținem:

x = pi/6
x = 5pi/6

Pentru k = 1, valorile depășesc 2pi. Pentru k = -1, sunt negative. Deci:

x in {pi/6, 5pi/6}

Aceasta este forma potrivită pe interval.

Cum se scrie pentru punctaj în lucrare

La subiectele oficiale de matematică, cerințele scurte pot avea 5 puncte. Punctajul exact depinde de barem, dar o redactare clară te ajută să primești punctaj intermediar.

O schemă sigură de redactare este:

1. Scrii formula sau transformarea folosită.
2. Arăți reducerea la ecuații fundamentale.
3. Rezolvi fiecare caz.
4. Marchezi răspunsul final.
5. Pui k in Z sau alegi soluțiile din interval.

De exemplu, la sin x(2cos x - 1) = 0, scrie explicit:

sin x = 0 sau 2cos x - 1 = 0

Această linie arată că tratezi ambele cazuri.

Greșeli frecvente

• Scrii o singură soluție pentru sin x = a, deși în R apar familii de soluții.
• Uiți k in Z la soluția generală.
• Folosești perioada 2pi la tangentă, în loc de pi.
• Împarți prin sin x sau cos x fără să verifici dacă factorul poate fi zero.
• Confunzi sin 2x cu 2sin x. Formula corectă este sin 2x = 2sin x cos x.
• Schimbi semnul în formulele pentru cos 2x: cos 2x = 1 - 2sin^2 x și cos 2x = 2cos^2 x - 1.
• Nu impui t in [-1, 1] când notezi t = sin x sau t = cos x.
• La sin u = sin v, scrii doar u = v + 2k*pi și uiți cazul u = pi - v + 2k*pi.
• Amesteci gradele cu radianii.

Lista de verificare înainte de test

Verifică rapid dacă poți face aceste lucruri:

• recunoști formele sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a;
• știi valorile uzuale pentru 0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2;
• scrii corect perioada pentru sinus, cosinus și tangentă;
• rezolvi separat cazurile după factorizare;
• verifici domeniul înainte să împarți prin sin x sau cos x;
• alegi soluțiile dintr-un interval, dacă enunțul cere asta;
• marchezi răspunsul final clar, cu k in Z unde este cazul.

Întrebări frecvente

Care este primul pas la o ecuație trigonometrică?

Primul pas este să identifici forma ecuației. Verifici dacă este deja fundamentală, dacă se poate factoriza, dacă apare o formulă de dublu unghi sau dacă trebuie făcută o substituție.

Ce formule trebuie să știu pentru BAC?

Formulele pentru sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, valorile uzuale și identități precum sin^2 x + cos^2 x = 1, sin 2x = 2sin x cos x, cos 2x = 1 - 2sin^2 x.

De ce la sin x = a sunt două soluții într-o perioadă?

Pentru că aceeași valoare a sinusului apare, în general, în două puncte ale cercului trigonometric într-o perioadă.

Când folosesc +2k*pi și când folosesc +k*pi?

Pentru sinus și cosinus folosești de obicei +2k*pi, deoarece perioada este 2pi. Pentru tangentă și cotangentă folosești +k*pi, deoarece perioada este pi.

Pot împărți prin sin x sau cos x?

Poți împărți doar după ce verifici cazul în care factorul este zero. Dacă împarți direct prin sin x, poți pierde soluții.

Apar ecuații trigonometrice la BAC M1 și M2?

Sunt relevante mai ales pentru M_mate-info și M_științele naturii. La profilul tehnologic, trigonometria apare mai ales prin calcule de bază și geometrie.

Cum aleg soluțiile din intervalul [0, 2pi]?

Scrii soluția generală, apoi testezi valorile lui k care dau rezultate în interval. La final listezi doar acele valori.

Surse și verificare

• OMEC 6059/2025 privind organizarea Bacalaureatului 2026, publicat pe subiecte.edu.ro: sursa pentru programa aplicabilă BAC 2026.
• Programa oficială de matematică pentru Bacalaureat, publicată pe edu.ro: sursa pentru funcții trigonometrice, formule și ecuații trigonometrice fundamentale.
• Modelele oficiale și baremele de matematică publicate pe subiecte.edu.ro: sursa pentru structura subiectelor, timpul de lucru, punctaj și reguli de notare.