BacPath

Actualizat pe 27 august 2026

Ecuații logaritmice BAC matematică rezolvate: formule, pași și exemple

Rezolvă ecuații logaritmice de BAC cu formule, condiții de existență, exemple pas cu pas, verificare și greșeli frecvente.

La ecuațiile logaritmice de BAC, ordinea corectă este simplă: scrii condițiile de existență, transformi logaritmii cu proprietățile potrivite, rezolvi ecuația obținută și verifici soluțiile în condițiile inițiale. Cele mai multe puncte se pierd când elevul sare peste domeniu sau aplică greșit formula pentru sumă, diferență ori putere.

Articolul de mai jos îți arată metoda de lucru pentru exerciții de tip BAC, cu formulele strict necesare și exemple rezolvate pas cu pas. Exemplele sunt potrivite mai ales pentru pregătirea la matematică M1, unde programa oficială include ecuații exponențiale și logaritmice. Pentru orice profil, verifică programa și modelele valabile pentru sesiunea ta.

Pe scurt

  • Pentru log_a f(x), trebuie a > 0, a != 1 și f(x) > 0.
  • Dacă baza este fixă, scrii de obicei doar condițiile pentru argumente.
  • log_a f(x) = log_a g(x) devine f(x) = g(x), dar numai după condiții.
  • log_a f(x) = c devine f(x) = a^c.
  • log_a M + log_a N = log_a(MN), nu log_a(M + N).
  • La final, păstrezi doar soluțiile care respectă domeniul și scrii mulțimea soluțiilor.

Ce este o ecuație logaritmică la BAC

O ecuație logaritmică este o ecuație în care necunoscuta apare într-un logaritm. Cel mai des, necunoscuta este în argument:

log_2(x - 1) = 3

Poate apărea și într-o expresie care se transformă cu proprietățile logaritmilor:

log_2 x + log_2(x - 2) = 3

La BAC, exercițiul nu verifică doar rezultatul. Verifică și redactarea: domeniu, proprietate, calcul și concluzie. În Subiectul I, o cerință valorează de regulă 5 puncte, iar baremul poate acorda punctaj intermediar.

Formule de logaritmi pe care trebuie să le știi

Nu ai nevoie de teorie lungă. Pentru ecuații logaritmice de nivel BAC, formulele utile sunt acestea:

Situație Formula Cum o folosești
Definiția logaritmului log_a b = x înseamnă a^x = b Transformi o ecuație logaritmică într-una algebrică
Logaritm din 1 log_a 1 = 0 Recunoști rapid rezultatul
Logaritm din bază log_a a = 1 Simplifici calcule scurte
Putere în argument log_a(a^x) = x Scapi de logaritm când baza coincide
Produs log_a(MN) = log_a M + log_a N Unești o sumă de logaritmi
Raport log_a(M/N) = log_a M - log_a N Unești o diferență de logaritmi
Putere log_a(M^r) = r log_a M Mută coeficientul în exponent, cu atenție la domeniu
Schimbarea bazei log_a b = log_c b / log_c a Utilă rar în Subiectul I, dar bună la simplificări

În aceste formule, condițiile sunt importante: a > 0, a != 1, iar argumentele logaritmilor trebuie să fie pozitive.

Ce înseamnă lg și ln

În subiectele de matematică, lg x înseamnă logaritm zecimal:

lg x = log_10 x

De exemplu:

lg100 = 2, deoarece 10^2 = 100
lg10 = 1, deoarece 10^1 = 10

ln x înseamnă logaritm natural, cu baza e. Îl întâlnești mai ales la analiza funcțiilor, derivate și integrale. Primul lucru rămâne același: pentru ln x, domeniul începe cu x > 0.

Pașii standard de rezolvare

Folosește aceeași ordine la fiecare exercițiu. Te ajută să nu pierzi puncte pe redactare.

  1. Scrie condițiile de existență.
  2. Aplică proprietatea potrivită: aceeași bază, produs, raport, definiție sau substituție.
  3. Rezolvă ecuația algebrică obținută.
  4. Verifică soluțiile în condițiile inițiale.
  5. Scrie răspunsul final ca mulțime de soluții.

Model scurt de redactare:

Condiții: ...
Din proprietatea logaritmilor, ...
Rezolvăm ecuația ...
Soluția convine condițiilor.
Rezultă S = {...}.

Condiții de existență: ce scrii la început

Pentru log_a f(x), condițiile sunt:

a > 0
a != 1
f(x) > 0

Dacă baza este un număr fix admis, nu trebuie să o verifici de fiecare dată. De exemplu, la log_2(x - 1), baza 2 este deja pozitivă și diferită de 1, deci scrii:

x - 1 > 0
x > 1

Dacă baza depinde de necunoscută, condițiile se scriu și pentru bază. De exemplu, la log_{x - 1}(x + 2):

x - 1 > 0
x - 1 != 1
x + 2 > 0

Deci:

x > 1, x != 2

La BAC, scrie condițiile înainte de transformări. Dacă le lași doar la final, redactarea devine mai greu de punctat.

Exemplu oficial de calcul cu logaritmi

Într-un subiect oficial de BAC 2024, M_mate-info, apare calculul:

2lg100 + lg2 + lg5

Arată pașii, nu doar numărul final.

Pasul 1: calculăm lg100.

lg100 = 2

De ce? Pentru că 100 = 10^2.

Pasul 2: unim lg2 + lg5.

lg2 + lg5 = lg(2 * 5) = lg10 = 1

Pasul 3: înlocuim în expresie.

2lg100 + lg2 + lg5 = 2 * 2 + 1 = 5

Răspuns final: 5.

Verificare rapidă: proprietatea folosită este cea pentru produs, iar lg10 = 1.

Tipul 1: logaritmi cu aceeași bază

Modelul este:

log_a f(x) = log_a g(x)

Dacă baza este aceeași și condițiile sunt respectate, poți egala argumentele:

f(x) = g(x)

Exemplu rezolvat

Rezolvă ecuația:

log_2(x - 1) = log_2 5

Pasul 1: scriem condiția.

x - 1 > 0
x > 1

Pasul 2: egalăm argumentele, pentru că avem aceeași bază.

x - 1 = 5

Pasul 3: rezolvăm.

x = 6

Pasul 4: verificăm domeniul.

6 > 1

Răspuns final: S = {6}.

Tipul 2: logaritm egal cu un număr

Modelul este:

log_a f(x) = c

Folosim definiția logaritmului:

f(x) = a^c

Exemplu rezolvat

Rezolvă ecuația:

log_3(2x - 1) = 2

Pasul 1: scriem condiția.

2x - 1 > 0
x > 1/2

Pasul 2: transformăm cu definiția logaritmului.

2x - 1 = 3^2
2x - 1 = 9

Pasul 3: rezolvăm ecuația.

2x = 10
x = 5

Pasul 4: verificăm.

5 > 1/2

Răspuns final: S = {5}.

Tipul 3: suma sau diferența de logaritmi

Pentru sumă, folosești produsul:

log_a M + log_a N = log_a(MN)

Pentru diferență, folosești raportul:

log_a M - log_a N = log_a(M/N)

Atenție: formulele se aplică numai când logaritmii au aceeași bază și argumentele sunt pozitive.

Exemplu cu sumă

Rezolvă ecuația:

log_2 x + log_2(x - 2) = 3

Pasul 1: scriem condițiile.

x > 0
x - 2 > 0

Deci:

x > 2

Pasul 2: unim logaritmii.

log_2[x(x - 2)] = 3

Pasul 3: transformăm cu definiția logaritmului.

x(x - 2) = 2^3
x(x - 2) = 8

Pasul 4: rezolvăm ecuația de gradul al doilea.

x^2 - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0

Rezultă:

x = 4 sau x = -2

Pasul 5: păstrăm doar soluția care respectă domeniul x > 2.

x = 4

Răspuns final: S = {4}.

Exemplu cu diferență

Rezolvă ecuația:

log_3(x + 6) - log_3 x = 1

Pasul 1: condiții.

x + 6 > 0
x > 0

Deci:

x > 0

Pasul 2: folosim formula pentru raport.

log_3((x + 6)/x) = 1

Pasul 3: trecem la forma fără logaritm.

(x + 6)/x = 3^1
(x + 6)/x = 3

Pasul 4: rezolvăm.

x + 6 = 3x
6 = 2x
x = 3

Pasul 5: verificăm domeniul.

3 > 0

Răspuns final: S = {3}.

Tipul 4: coeficient în fața logaritmului

Când ai un coeficient în fața logaritmului, îl poți muta ca exponent:

r log_a M = log_a(M^r)

Dar condiția inițială rămâne M > 0. Aici se păstrează des soluții greșite.

Exemplu rezolvat

Rezolvă ecuația:

2log_2(x - 1) = log_2 16

Pasul 1: condiție.

x - 1 > 0
x > 1

Pasul 2: mutăm coeficientul ca exponent.

log_2((x - 1)^2) = log_2 16

Pasul 3: egalăm argumentele.

(x - 1)^2 = 16

Pasul 4: rezolvăm.

x - 1 = 4 sau x - 1 = -4
x = 5 sau x = -3

Pasul 5: verificăm în condiția inițială x > 1.

x = 5 convine
x = -3 nu convine

Răspuns final: S = {5}.

Tipul 5: substituție cu t = log_a x

Folosești substituția când apare de mai multe ori aceeași expresie logaritmică, de exemplu:

(log_2 x)^2 - 3log_2 x + 2 = 0

Pasul 1: condiție.

x > 0

Pasul 2: notăm:

t = log_2 x

Ecuația devine:

t^2 - 3t + 2 = 0

Pasul 3: rezolvăm ecuația în t.

(t - 1)(t - 2) = 0
t = 1 sau t = 2

Pasul 4: revenim la x.

Dacă t = 1, atunci:

log_2 x = 1
x = 2^1
x = 2

Dacă t = 2, atunci:

log_2 x = 2
x = 2^2
x = 4

Pasul 5: verificăm condiția x > 0.

2 > 0 și 4 > 0

Răspuns final: S = {2, 4}.

Greșeală explicată: suma argumentelor nu este produs

Privește ecuația:

log_2(x - 1) + log_2(x + 1) = log_2 8

Greșit ar fi să scrii:

(x - 1) + (x + 1) = 8

De ce este greșit? Pentru că formula corectă este:

log_a M + log_a N = log_a(MN)

Rezolvarea corectă începe așa:

x - 1 > 0
x + 1 > 0

Deci:

x > 1

Apoi:

log_2[(x - 1)(x + 1)] = log_2 8
(x - 1)(x + 1) = 8
x^2 - 1 = 8
x^2 = 9
x = 3 sau x = -3

Din condiția x > 1, rămâne doar:

x = 3

Răspuns final: S = {3}.

Cum se punctează în barem

Baremul oficial poate fi diferit de la o variantă la alta, deci nu există o împărțire universală pentru toate exercițiile. Totuși, pentru o cerință de 5 puncte, redactarea bună urmărește de obicei aceste etape:

Etapă Ce trebuie să apară în lucrare
Condiții Argumentele logaritmilor sunt pozitive, iar baza este admisă dacă depinde de necunoscută
Transformare Folosești corect proprietatea logaritmilor sau definiția
Calcul Rezolvi ecuația algebrică fără să sari pași importanți
Verificare Elimini soluțiile care nu respectă domeniul
Concluzie Scrii clar S = {...}

Regula practică: chiar dacă nu termini exercițiul, scrie domeniul și transformarea corectă. În baremele oficiale se pot acorda punctaje intermediare, iar orice metodă corectă poate primi punctajul corespunzător.

Greșeli frecvente la ecuații logaritmice

  1. Uiți condițiile de existență.
  2. Scrii condițiile, dar nu verifici soluțiile finale.
  3. Aplici formula falsă log_a(M + N) = log_a M + log_a N.
  4. Egalezi argumentele când bazele sunt diferite, de exemplu log_2 f(x) = log_3 g(x).
  5. Confunzi lg x cu ln x.
  6. Muți coeficientul în exponent, dar uiți condiția inițială a argumentului.
  7. Păstrezi toate soluțiile unei ecuații de gradul al doilea, fără filtrare prin domeniu.
  8. Copiezi doar rezultatul final dintr-o rezolvare și nu arăți pașii care pot fi punctați.

Mini-test de antrenament

Rezolvă singur, apoi verifică răspunsurile.

Exercițiul 1

log_5(x - 2) = 1

Răspuns:

x - 2 > 0
x - 2 = 5
x = 7
S = {7}

Exercițiul 2

log_2 x + log_2 4 = 5

Răspuns:

x > 0
log_2(4x) = 5
4x = 32
x = 8
S = {8}

Recapitulare pentru lucrare

Înainte să treci la următorul exercițiu, verifică rapid:

  • Am scris condițiile pentru toate argumentele.
  • Am verificat baza dacă depinde de necunoscută.
  • Am folosit proprietatea corectă pentru sumă, diferență sau coeficient.
  • Am rezolvat ecuația algebrică obținută.
  • Am eliminat soluțiile care nu respectă domeniul.
  • Am scris răspunsul final sub forma S = {...}.

Întrebări frecvente

Care este primul pas la o ecuație logaritmică?

Primul pas este să scrii condițiile de existență: argument pozitiv, bază pozitivă și bază diferită de 1.

Când pot egala argumentele logaritmilor?

Poți egala argumentele când logaritmii au aceeași bază și condițiile sunt respectate. Din log_2 f(x) = log_2 g(x) poți scrie f(x) = g(x).

Ce condiții se pun la logaritmi?

Pentru log_a f(x), condițiile sunt a > 0, a != 1 și f(x) > 0. Dacă baza este un număr fix admis, de obicei scrii doar condiția pentru argument.

Ce înseamnă lg la BAC?

lg x înseamnă logaritm zecimal, adică log_10 x. De exemplu, lg100 = 2 și lg10 = 1.

Ce diferență este între lg și ln?

lg are baza 10, iar ln are baza e. În ambele cazuri, argumentul trebuie să fie pozitiv.

Pot pierde puncte dacă nu verific soluția?

Da. La logaritmi, verificarea domeniului este esențială, mai ales după ecuații de gradul al doilea sau transformări cu puteri.

Apar ecuații logaritmice la BAC matematică M1 și M2?

Ecuațiile logaritmice sunt menționate în programa oficială pentru M_mate-info. Pentru M2 sau alte profiluri, lucrează după programa exactă și modelele oficiale ale profilului tău, deoarece conținuturile pot diferi.

Cum rezolv o ecuație cu sumă de logaritmi?

Scrii condițiile, apoi folosești log_a M + log_a N = log_a(MN). Transformi cu definiția logaritmului și verifici soluțiile.

Surse și verificare