BacPath

Actualizat pe 19 octombrie 2026

Determinanți BAC Matematică M1: formule, exerciții rezolvate și modele de barem

Învață determinanții pentru BAC Matematică M1: formule 2x2 și 3x3, Sarrus, matrice inversabilă, sisteme și greșeli frecvente.

La determinanți BAC Matematică M1, trebuie să știi mai ales să calculezi determinanți de ordin 2 și 3, să folosești regula det(A) != 0 pentru matrice inversabilă și să legi determinantul de sistemele de ecuații. În subiectele de tip mate-info, determinanții apar de obicei la Subiectul al II-lea, exercițiul 1, împreună cu matrice și parametri.

Ideea de lucru este simplă: identifici matricea, alegi metoda de calcul, scrii determinantul, apoi folosești rezultatul în cerință. Nu ajunge să dai doar răspunsul final. La BAC contează și pașii, mai ales când baremul împarte cele 5 puncte ale subpunctului între calcul, factorizare și concluzie.

Pe scurt

  • Pentru 2x2, folosești formula ad - bc.
  • Pentru 3x3, folosești regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie sau coloană.
  • O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul.
  • Dacă determinantul depinde de un parametru, rezolvi det(A(a)) = 0, apoi excluzi valorile găsite.
  • Pentru sisteme, determinant nenul înseamnă soluție unică. Determinant nul înseamnă că sistemul nu are soluție unică, dar poate avea fie nicio soluție, fie infinit de multe soluții.

Unde apar determinanții la BAC M1

La Matematică M1, determinanții apar cel mai des la SUBIECTUL al II-lea, exercițiul 1. Acest exercițiu are trei subpuncte, fiecare de câte 5 puncte, iar determinantul poate apărea în primul sau în al doilea subpunct.

Tiparele cele mai frecvente sunt:

  • „Arătați că det(A) = ...” sau „Arătați că det(A(0)) = ...”.
  • „Determinați valorile parametrului a pentru care matricea A(a) este inversabilă.”
  • „Rezolvați sistemul...” după ce determinantul sugerează dacă sistemul are soluție unică sau nu.
  • „Folosiți o relație matricială...” după un calcul de determinant.

În modelul oficial pentru BAC 2026, profil mate-info, apare chiar acest tipar: o matrice A(a), un calcul numeric de determinant și apoi determinarea valorilor pentru care matricea este inversabilă. Baremul folosește condiția det(A(a)) != 0.

Formule de bază pentru determinanți

Determinantul de ordin 2

Pentru matricea:

| a  b |
| c  d |

formula este:

D = ad - bc

Exemplu scurt:

| 3  -1 |
| 2   4 |

D = 3 * 4 - (-1) * 2
D = 12 + 2
D = 14

De ce contează: determinanții de ordin 2 apar în dezvoltarea unui determinant 3x3. Dacă greșești semnul aici, greșești aproape sigur tot exercițiul.

Determinantul de ordin 3 prin regula lui Sarrus

Pentru:

| a  b  c |
| d  e  f |
| g  h  i |

formula este:

D = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

O poți reține ca suma produselor pe diagonalele coborâtoare minus suma produselor pe diagonalele urcătoare. La BAC, regula lui Sarrus este potrivită când matricea are numere simple și nu are o linie sau o coloană cu multe zerouri.

Dezvoltarea după o linie sau coloană

Când ai zerouri, dezvoltarea este mai rapidă. Pe prima linie, semnele sunt:

+  -  +

Pentru:

| a  b  c |
| d  e  f |
| g  h  i |

dezvoltarea după prima linie este:

D = a * | e  f | - b * | d  f | + c * | d  e |
        | h  i |       | g  i |       | g  h |

Folosește această metodă când o linie sau o coloană are două zerouri. Scrii mai puțin și ai mai puține semne de urmărit.

Metoda rapidă pentru determinant 3x3

Când vezi un determinant 3x3, nu începe automat cu Sarrus. Alege metoda în 10 secunde.

Situația din determinant Metoda recomandată De ce
Numere mici, fără multe zerouri Sarrus Calcul direct, ușor de urmărit
O linie cu două zerouri Dezvoltare după acea linie Rămâne un singur determinant 2x2
O coloană cu două zerouri Dezvoltare după acea coloană Reduci mult calculul
Parametru a în mai multe locuri Sarrus sau operații pe linii Important este să obții corect polinomul

Regula practică pentru examen: metoda bună este cea pe care o poți scrie curat în lucrare. Dacă folosești operații pe linii, notează exact ce modifici, pentru că unele operații schimbă determinantul.

Proprietăți utile la BAC

Nu ai nevoie de teorie universitară pentru determinanți la M1. Ai nevoie de câteva proprietăți folosite în exerciții și în barem:

  • det(I_n) = 1, unde I_n este matricea unitate.
  • det(AB) = det(A) * det(B).
  • Dacă două linii sau două coloane sunt egale, determinantul este 0.
  • Dacă schimbi între ele două linii, determinantul își schimbă semnul.
  • Dacă înmulțești o linie cu k, determinantul se înmulțește cu k.
  • Dacă aduni la o linie un multiplu al altei linii, determinantul nu se schimbă.

Atenție la o capcană frecventă: în general, det(A + B) nu este egal cu det(A) + det(B). Nu folosi această relație într-o rezolvare.

Exercițiul 1: determinant 3x3 numeric, rezolvat pas cu pas

Cerință de tip BAC: Arătați că:

D = |  0   0  -2 |
    | -1   1   1 |
    |  2  -1   2 |

D = 2

Rezolvare

Pasul 1: identificăm metoda potrivită. Prima linie are două zerouri, deci dezvoltăm după prima linie. Semnele pe prima linie sunt + - +.

Pasul 2: păstrăm doar termenul nenul. Elementele 0 și 0 nu contribuie la determinant. Rămâne elementul -2, aflat pe poziția a treia din prima linie, cu semn +.

D = (-2) * | -1   1 |
           |  2  -1 |

Pasul 3: calculăm determinantul de ordin 2.

| -1   1 |
|  2  -1 | = (-1) * (-1) - 1 * 2
          = 1 - 2
          = -1

Pasul 4: înmulțim cu elementul din dezvoltare.

D = (-2) * (-1)
D = 2

Răspuns final: D = 2, deci egalitatea cerută este demonstrată.

Verificare rapidă: rezultatul este pozitiv, deoarece în calcul apare produsul dintre două numere negative: (-2) și (-1).

Exercițiul 2: determinant 3x3 prin Sarrus

Cerință: Calculați determinantul:

D = |  1   2   0 |
    | -1   3   1 |
    |  2   0  -1 |

Rezolvare

Pasul 1: alegem regula lui Sarrus. Nu avem o linie cu două zerouri, iar numerele sunt mici.

Pasul 2: scriem produsele pozitive.

aei = 1 * 3 * (-1) = -3
bfg = 2 * 1 * 2 = 4
cdh = 0 * (-1) * 0 = 0

Suma pozitivă este:

-3 + 4 + 0 = 1

Pasul 3: scriem produsele negative.

ceg = 0 * 3 * 2 = 0
bdi = 2 * (-1) * (-1) = 2
afh = 1 * 1 * 0 = 0

Suma care se scade este:

0 + 2 + 0 = 2

Pasul 4: calculăm determinantul.

D = 1 - 2
D = -1

Răspuns final: D = -1.

Verificare rapidă: determinantul este nenul, deci dacă această matrice ar fi matricea coeficienților unui sistem, sistemul ar avea soluție unică.

Exercițiul 3: determinant cu parametru și matrice inversabilă

Acesta este unul dintre cele mai importante tipare pentru determinanți BAC Matematică M1. În modelul oficial pentru BAC 2026, baremul ajunge la:

det(A(a)) = -a^2 + 3a - 2

Cerința este de tipul: determinați valorile lui a pentru care matricea A(a) este inversabilă.

Rezolvare

Pasul 1: scriem condiția de inversabilitate.

A(a) este inversabilă <=> det(A(a)) != 0

Deci:

-a^2 + 3a - 2 != 0

Pasul 2: găsim valorile pentru care determinantul este zero. Mai întâi rezolvăm ecuația:

-a^2 + 3a - 2 = 0

Înmulțim cu -1:

a^2 - 3a + 2 = 0

Factorizăm:

(a - 1)(a - 2) = 0

Rezultă:

a = 1 sau a = 2

Pasul 3: formulăm răspunsul pentru inversabilitate. Valorile 1 și 2 anulează determinantul, deci tocmai aceste valori trebuie excluse.

A(a) este inversabilă pentru a in R \ {1, 2}

Răspuns final: a in R \ {1, 2}.

Verificare rapidă: pentru a = 1, determinantul este -1 + 3 - 2 = 0. Pentru a = 2, determinantul este -4 + 6 - 2 = 0. Aceste valori nu pot rămâne în răspunsul final.

Exercițiul 4: determinant și sistem de ecuații

Determinantul apare uneori ca instrument pentru un sistem. Important este să nu tragi concluzia greșită.

Cerință de antrenament: Fie sistemul:

x + y + z = 2
2x + 2y + 2z = 4
x - y + z = 0

Arătați că determinantul matricei coeficienților este 0, apoi determinați soluțiile sistemului.

Rezolvare

Pasul 1: scriem matricea coeficienților.

A = | 1   1   1 |
    | 2   2   2 |
    | 1  -1   1 |

Pasul 2: observăm relația dintre linii. Linia a doua este de două ori prima linie:

L2 = 2 * L1

Dacă două linii sunt proporționale, determinantul este 0.

det(A) = 0

Pasul 3: nu spunem automat „nu are soluții”. Determinantul nul arată doar că sistemul nu are soluție unică. Trebuie să verificăm ecuațiile.

Ecuația a doua este de fapt prima ecuație înmulțită cu 2:

2x + 2y + 2z = 4

Nu aduce o condiție nouă.

Pasul 4: rezolvăm sistemul redus. Rămân:

x + y + z = 2
x - y + z = 0

Scădem a doua ecuație din prima:

(x + y + z) - (x - y + z) = 2 - 0
2y = 2
y = 1

Înlocuim în prima ecuație:

x + 1 + z = 2
x + z = 1

Alegem z = t, unde t in R. Atunci:

x = 1 - t
y = 1
z = t

Răspuns final:

(x, y, z) = (1 - t, 1, t), unde t in R

Verificare rapidă: în a doua ecuație, obținem 2(1 - t) + 2 + 2t = 4, deci egalitatea este adevărată pentru orice t in R.

Cum se punctează în barem

La Subiectul al II-lea, exercițiul 1 are de regulă trei subpuncte de câte 5 puncte. La determinanți, punctajul poate fi împărțit între pașii calculați, nu doar pe răspunsul final.

Un barem de tip determinant cu parametru poate puncta astfel:

Ce scrii în lucrare De ce ajută la punctaj
Formula sau metoda de calcul Arăți că știi de unde pornește determinantul
Calculul determinantului Obții expresia corectă, de obicei un polinom
Ecuația det(A(a)) = 0 Găsești valorile nepermise
Condiția det(A(a)) != 0 Legi calculul de inversabilitate
Răspunsul final ca mulțime Închizi cerința exact, fără ambiguitate

Baremele oficiale acceptă soluții corecte alternative. Poți folosi Sarrus, dezvoltare după o linie sau operații pe linii, dacă pașii sunt corecți. În baremele oficiale se precizează și că nu se acordă fracțiuni de punct, dar pot exista punctaje intermediare în limitele indicate.

Tipare care se repetă la Subiectul II.1

Pentru pregătire, merită să recunoști aceste formulări:

  1. „Arătați că...”
    Nu scrii doar rezultatul. Arăți calculul până ajungi exact la egalitatea cerută.

  2. „Determinați valorile parametrului...”
    Calculezi determinantul în funcție de parametru, rezolvi ecuația de anulare și formulezi mulțimea finală.

  3. „Matricea este inversabilă...”
    Folosești direct condiția det(A) != 0. Dacă determinantul este zero, matricea nu este inversabilă.

  4. „Sistemul are soluție unică...”
    Verifici determinantul matricei coeficienților. Dacă este nenul, sistemul are soluție unică.

  5. „Determinați soluțiile sistemului...” când determinantul este zero
    Nu te oprești la determinant. Verifici compatibilitatea și, dacă există soluții, le scrii cu parametru.

Pentru recapitularea mai largă a formulelor, poți folosi și ghidul cu formule BAC Matematică M1. Dacă determinantul cu parametru duce la ecuații de gradul al doilea, repetă și polinoamele pentru BAC M1.

Greșeli frecvente la determinanți

  • Uiți termenii negativi din Sarrus. Scrie separat suma pozitivă și suma care se scade.
  • Copiezi greșit matricea. O singură valoare schimbată poate modifica tot determinantul.
  • Confunzi A(a) cu A(0) sau A(1). Când substitui parametrul, verifică atent cerința.
  • Dai ca răspuns det(A(a)) = 0 pentru inversabilitate. Pentru inversabilitate trebuie exact invers: det(A(a)) != 0.
  • Nu excluzi rădăcinile. Dacă determinantul se anulează pentru a = 1 și a = 2, răspunsul final este R \ {1, 2}.
  • Folosești relația falsă det(A + B) = det(A) + det(B). Aceasta nu este o proprietate generală.
  • Aplici operații pe linii fără să urmărești efectul. Schimbarea a două linii schimbă semnul determinantului, iar înmulțirea unei linii cu k înmulțește determinantul cu k.
  • Crezi că determinantul zero înseamnă automat „nu are soluții”. La sisteme, determinantul zero înseamnă doar că nu ai soluție unică.

Set de antrenament

Lucrează aceste exerciții pe caiet, cu pașii scriși complet. După fiecare, verifică dacă ai formulat și concluzia, nu doar calculul.

  1. Calculați:
| 2  -1 |
| 3   4 |
  1. Calculați prin Sarrus:
| 1   0   2 |
| 3  -1   1 |
| 2   1   0 |
  1. Calculați prin dezvoltare după prima linie:
| 0   5   0 |
| 2  -1   3 |
| 1   4  -2 |

  1. Dacă det(A(a)) = a^2 - 5a + 6, determinați valorile lui a pentru care A(a) nu este inversabilă.

  2. Dacă det(B(m)) = -m(m - 3), determinați valorile lui m pentru care B(m) este inversabilă.

Răspunsuri scurte pentru verificare

  1. 11
  2. 9
  3. 35
  4. a = 2 sau a = 3
  5. m in R \ {0, 3}

Lista de verificare înainte de BAC

Înainte să consideri capitolul „determinanți” pregătit, verifică dacă poți face aceste lucruri fără să te blochezi:

  • calculezi corect un determinant 2x2;
  • alegi între Sarrus și dezvoltare pentru 3x3;
  • scrii semnele + - + la dezvoltarea după prima linie;
  • folosești condiția det(A) != 0 pentru matrice inversabilă;
  • rezolvi ecuația obținută din det(A(a)) = 0;
  • formulezi răspunsul final ca mulțime de valori admise sau excluse;
  • explici ce înseamnă determinantul zero pentru un sistem;
  • scrii pașii suficient de clar pentru punctaj parțial.

Întrebări frecvente

Ce formule de determinanți trebuie să știu pentru BAC M1?

Trebuie să știi determinantul de ordin 2, formula ad - bc, și determinantul de ordin 3, de obicei prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie sau coloană. Pentru BAC M1, acestea sunt formulele folosite cel mai des în exercițiile cu matrice.

Se dă determinant 4x4 la BAC M1?

În tiparele uzuale de BAC M1, determinanții ceruți direct sunt mai ales 2x2 și 3x3. Regula lui Sarrus se folosește doar pentru 3x3, nu pentru 4x4.

Cum știu când o matrice este inversabilă?

O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este diferit de zero. În lucrare, scrie explicit condiția: A inversabilă <=> det(A) != 0.

Ce fac dacă determinantul depinde de un parametru?

Calculezi det(A(a)), rezolvi ecuația det(A(a)) = 0, apoi excluzi valorile găsite dacă cerința cere inversabilitate. Nu lăsa răspunsul doar sub forma unei ecuații.

Pot folosi regula lui Sarrus în barem?

Da, pentru determinanți 3x3, regula lui Sarrus este o metodă corectă. Baremele oficiale acceptă soluții corecte alternative, deci poți folosi și dezvoltarea după o linie sau coloană, dacă scrii calculul clar.

Câte puncte valorează determinanții la BAC M1?

Determinantul apare de obicei în cadrul unui subpunct de 5 puncte la Subiectul al II-lea, exercițiul 1. Uneori determinantul este doar prima parte a exercițiului, iar subpunctele următoare folosesc matrice, parametri sau sisteme.

Surse și verificare