BAC matematică M2 Subiectul 2 rezolvare: matrice și legi de compoziție

Pentru bac matematica M2 subiectul 2 rezolvare, ideea principală este simplă: Subiectul al II-lea verifică algebra, de obicei prin matrice, determinanți, ecuații matriciale și legi de compoziție sau polinoame. Nu ai nevoie doar de răspunsuri finale, ci de o ordine clară a pașilor, pentru că baremul punctează calculele intermediare și concluzia.

Pe scurt

• Subiectul al II-lea la matematică pentru profilul tehnologic, căutat frecvent ca M2, valorează 30 de puncte.
• În modelele și subiectele recente, apar două probleme mari, cu subpuncte de câte 5 puncte.
• La matrice trebuie să știi determinantul, produsul de matrice, matricea identitate, inversabilitatea și ecuațiile de tip A X = B.
• La legile de compoziție trebuie să folosești exact formula din enunț, să verifici domeniul și să transformi cerința într-o ecuație obișnuită.
• Pentru punctaj, scrie formula, înlocuirea, calculul și concluzia. Un răspuns final fără pași pierde ușor puncte.

Ce intră la Subiectul al II-lea la matematică M2

Subiectul al II-lea este partea de algebră. În varianta pentru profil tehnologic, apare frecvent o problemă cu matrice și determinanți, apoi o problemă cu o lege de compoziție sau cu polinoame.

Nu toate variantele sunt identice, dar tiparele se repetă suficient încât merită învățate ca algoritmi. Când vezi cerința, primul pas nu este să calculezi la întâmplare, ci să identifici tipul exercițiului.

Zona din subiect	Ce recunoști în enunț	Ce trebuie să faci
Matrice	A, B, I_2, O_2, det(A), A X = B	Calculezi determinant, produs, inversă sau egalitate de matrice
Determinant cu parametru	apare x, m sau a într-o matrice	Transformi determinantul într-o ecuație sau inecuație
Lege de compoziție	apare o operație nouă, de tipul x*y = ...	Înlocuiești în formula dată și verifici proprietăți
Element neutru sau simetric	apar cuvintele „neutru”, „simetric”, „invers”	Rezolvi egalități valabile pentru orice x sau pentru un x fix

Formule esențiale pentru matrice și determinanți

Pentru BAC M2, cele mai multe exerciții cu matrice se pot porni din câteva formule de bază. Scrie formula în lucrare înainte să înlocuiești valorile. Asta arată corectorului metoda, nu doar rezultatul.

Determinantul unei matrice 2x2

Dacă

A = [[a, b],
     [c, d]]

atunci

det(A) = ad - bc

De ce folosim formula: cerințele despre inversabilitate, determinant nul sau determinant cu parametru pornesc de aici. Dacă det(A) != 0, matricea este inversabilă.

Înmulțirea matricelor

La produsul A B, elementul de pe linia i și coloana j se obține prin:

linia i din A înmulțită cu coloana j din B, apoi adunate produsele

Greșeala tipică este să înmulțești element cu element. La matrice nu faci așa, decât dacă enunțul cere explicit altă operație, lucru rar la BAC.

Matricea identitate

Pentru ordinul 2:

I_2 = [[1, 0],
       [0, 1]]

Pentru orice matrice compatibilă A:

A I_2 = I_2 A = A

Ai grijă: xI_2 nu este numărul x. Este matricea:

xI_2 = [[x, 0],
        [0, x]]

Inversa unei matrice 2x2

Dacă

A = [[a, b],
     [c, d]]

și det(A) = ad - bc != 0, atunci

A^(-1) = 1/(ad - bc) * [[d, -b],
                         [-c, a]]

Nu folosi inversa înainte să verifici determinantul. Condiția det(A) != 0 este parte din rezolvare și poate aduce punctaj.

Cum rezolvi cerințele cu matrice: a), b), c)

La Subiectul al II-lea, cerințele sunt de obicei așezate în dificultate crescătoare. Punctul a) verifică un calcul direct. Punctul b) cere o relație sau o ecuație. Punctul c) combină rezultatele și introduce un parametru, o inecuație sau o condiție.

Punctul a): ia punctele prin calcul curat

Când vezi „calculați det(A)” sau „arătați că det(A)=1”, nu sări la concluzie. Scrie:

1. formula determinantului;
2. valorile lui a, b, c, d;
3. calculul numeric;
4. concluzia cerută.

Ce se punctează: formula și înlocuirea corectă pot primi puncte chiar dacă greșești un calcul aritmetic la final.

Punctul b): egalează matricele pe elemente

Dacă ai o relație de forma 3A - 5I_2 = xB, calculezi mai întâi membrul stâng. Apoi compari elementele corespunzătoare din cele două matrice.

Două matrice sunt egale dacă au aceleași elemente pe aceleași poziții. Nu este suficient să compari doar un element, decât dacă apoi verifici că aceeași valoare funcționează și pentru celelalte.

Punctul c): transformă problema în ecuație obișnuită

La punctul c), mulți elevi se blochează pentru că enunțul pare lung. În practică, metoda rămâne aceeași:

1. calculezi matricea cerută;
2. adaugi, scazi sau înmulțești ce apare în enunț;
3. calculezi determinantul;
4. obții o ecuație sau inecuație cu x;
5. rezolvi și verifici dacă răspunsul respectă cerința.

Sfat de barem: dacă nu termini punctul c), scrie măcar determinantul ajuns la forma algebrică. Baremul poate acorda puncte intermediare pentru calculul corect, chiar dacă intervalul final lipsește.

Exemplul 1: determinant 2x2 rezolvat pe pași

Enunț tipic: Se consideră matricea

A = [[2, 1],
     [3, 2]]

Arătați că det(A)=1.

Rezolvare pas cu pas

1. Identificăm elementele matricei:

a = 2, b = 1, c = 3, d = 2

2. Scriem formula:

det(A) = ad - bc

3. Înlocuim valorile:

det(A) = 2*2 - 1*3

4. Calculăm:

det(A) = 4 - 3 = 1

Răspuns final: det(A)=1.

Verificare rapidă: rezultatul este nenul, deci matricea ar fi inversabilă dacă o cerință următoare ar cere acest lucru.

Exemplul 2: ecuație cu I_2 rezolvată pe pași

Enunț tipic: Se consideră

A = [[1, 2],
     [0, 1]]

și

B = [[-1, 3],
     [0, -1]]

Determinați numărul real x pentru care:

3A - 5I_2 = xB

Rezolvare pas cu pas

1. Calculăm 3A:

3A = [[3, 6],
      [0, 3]]

2. Calculăm 5I_2:

5I_2 = [[5, 0],
        [0, 5]]

3. Scădem matricele:

3A - 5I_2 = [[3, 6],
             [0, 3]]
            -
            [[5, 0],
             [0, 5]]

3A - 5I_2 = [[-2, 6],
             [0, -2]]

4. Scriem xB:

xB = [[-x, 3x],
      [0, -x]]

5. Egalăm elementele corespunzătoare:

-x = -2
3x = 6
-x = -2

Din toate relațiile rezultă aceeași valoare:

x = 2

Răspuns final: x=2.

Verificare rapidă: pentru x=2,

2B = [[-2, 6],
      [0, -2]]

care este exact matricea 3A - 5I_2.

Exemplul 3: determinant cu parametru la punctul c)

Enunț tipic: Determinați valorile reale ale lui x pentru care:

det([[x+1, 1],
     [2, x]]) <= 2

Rezolvare pas cu pas

1. Notăm matricea:

M(x) = [[x+1, 1],
        [2, x]]

2. Aplicăm formula determinantului 2x2:

det(M(x)) = (x+1)*x - 1*2

3. Dezvoltăm:

det(M(x)) = x^2 + x - 2

4. Folosim cerința det(M(x)) <= 2:

x^2 + x - 2 <= 2

5. Mutăm totul în stânga:

x^2 + x - 4 <= 0

6. Calculăm rădăcinile ecuației asociate:

x^2 + x - 4 = 0

Delta = 1^2 - 4*1*(-4) = 1 + 16 = 17

x1 = (-1 - sqrt(17))/2
x2 = (-1 + sqrt(17))/2

7. Pentru că avem o parabolă cu coeficientul lui x^2 pozitiv, expresia este <= 0 între rădăcini.

Răspuns final:

x ∈ [(-1 - sqrt(17))/2, (-1 + sqrt(17))/2]

Ce se punctează: calculul determinantului, transformarea în inecuație de gradul al doilea și scrierea intervalului final.

Ecuații matriciale: când alegi inversa și când alegi sistemul

Pentru o ecuație de tipul:

(A - I_2)X = 2A

ai două metode acceptabile la nivel BAC:

• verifici dacă A - I_2 este inversabilă și folosești inversa;
• pui X = [[p, q], [r, s]] și egalezi elementele.

A doua metodă este uneori mai rapidă, mai ales la matrice 2x2 cu valori mici.

Exemplu scurt cu sistem pe elemente

Fie

A = [[2, 1],
     [1, 1]]

Atunci:

A - I_2 = [[1, 1],
           [1, 0]]

Luăm:

X = [[p, q],
     [r, s]]

Calculăm:

(A - I_2)X =
[[1, 1],
 [1, 0]]
*
[[p, q],
 [r, s]]
=
[[p+r, q+s],
 [p, q]]

Pe de altă parte:

2A = [[4, 2],
      [2, 2]]

Egalăm elementele:

p + r = 4
q + s = 2
p = 2
q = 2

Rezultă:

p = 2
q = 2
r = 2
s = 0

Răspuns final:

X = [[2, 2],
     [2, 0]]

Verificare rapidă: înmulțind [[1,1],[1,0]] cu [[2,2],[2,0]], obținem [[4,2],[2,2]], adică 2A.

Formule și pași pentru legi de compoziție

O lege de compoziție este o operație definită printr-o formulă. Dacă enunțul spune:

x*y = xy - 2x - 2y + 6

nu ai voie să tratezi * ca pe înmulțirea obișnuită. Folosești exact formula dată.

Algoritm pentru cerințele cu lege de compoziție

1. Citește domeniul: R, R+, [0,+∞) sau altă mulțime.
2. Scrie formula legii exact cum apare în enunț.
3. Pentru calcul direct, înlocuiește x și y.
4. Pentru ecuații, transformă expresia într-o ecuație obișnuită.
5. Pentru element neutru, caută e astfel încât x*e=x și e*x=x.
6. Pentru element simetric, după ce ai elementul neutru e, cauți y astfel încât x*y=e.
7. Verifică dacă soluțiile aparțin domeniului.

Exemplu: calcul direct și element neutru

Enunț tipic: Pe R se definește legea:

x*y = xy - 2x - 2y + 6

Determinați x pentru care x*1=3, apoi aflați elementul neutru.

Partea 1: rezolvăm x*1=3

1. Înlocuim y=1 în formulă:

x*1 = x*1 - 2x - 2*1 + 6

2. Simplificăm:

x*1 = x - 2x - 2 + 6

x*1 = -x + 4

3. Folosim cerința:

-x + 4 = 3

-x = -1

x = 1

Răspuns pentru prima cerință: x=1.

Partea 2: aflăm elementul neutru

Căutăm e astfel încât:

x*e = x

pentru orice x.

1. Înlocuim y=e:

x*e = xe - 2x - 2e + 6

2. Impunem egalitatea cu x:

xe - 2x - 2e + 6 = x

3. Mutăm termenii:

xe - 3x - 2e + 6 = 0

4. Grupăm după x:

x(e - 3) - 2e + 6 = 0

Pentru ca egalitatea să fie adevărată pentru orice x, coeficientul lui x trebuie să fie 0:

e - 3 = 0

e = 3

Verificăm și termenul constant:

-2*3 + 6 = 0

Deci valoarea funcționează.

Răspuns final: elementul neutru este e=3.

Verificare rapidă: operația este comutativă, deoarece formula xy - 2x - 2y + 6 nu se schimbă dacă inversăm x și y. Totuși, dacă legea nu este clar comutativă, verifică și e*x=x.

Cum scrii rezolvarea ca să fie punctată

Baremul oficial poate accepta și soluții corecte diferite de varianta propusă în barem. Asta nu înseamnă că poți scrie doar răspunsul. Corectorul trebuie să vadă de unde vine rezultatul.

Pentru un subpunct de 5 puncte, punctajul este adesea împărțit între calcul intermediar și concluzie. De aceea, o rezolvare bună arată așa:

Ce scrii	De ce contează
Formula folosită	Arată metoda
Înlocuirea valorilor	Arată că ai citit corect enunțul
Calculul intermediar	Poate aduce punctaj parțial
Concluzia	Răspunde exact la cerință
Verificarea domeniului	Evită soluții care nu sunt admise

Lucrarea are 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea punctajului total la 10. Totuși, nu trata punctele din oficiu ca pe o plasă de siguranță pentru Subiectul II. Două sau trei subpuncte rezolvate corect aici pot schimba mult nota.

Greșeli frecvente la Subiectul II

• Confunzi I_2 cu numărul 1. În calcule, xI_2 este matricea [[x,0],[0,x]].
• Calculezi determinantul 2x2 cu ad + bc în loc de ad - bc.
• Înmulțești matricele element cu element, nu linie cu coloană.
• Folosești inversa fără să verifici mai întâi det(A) != 0.
• La determinant cu parametru, rezolvi ecuația, dar uiți că cerința era inecuație.
• La legi de compoziție, presupui că x*y = y*x fără verificare.
• Cauți elementul neutru doar din x*e=x, dar nu verifici și e*x=x când legea nu este comutativă.
• Testezi asociativitatea doar cu două valori numerice. Pentru demonstrație, trebuie calcul general cu x, y, z, dacă enunțul cere asta.
• Scrii doar răspunsul final și pierzi punctele pentru pașii intermediari.

Lista de verificare înainte de examen

Înainte să consideri Subiectul al II-lea pregătit, verifică dacă poți face aceste lucruri fără să cauți formula:

• calculezi determinantul unei matrice 2x2;
• înmulțești două matrice 2x2 prin metoda linie cu coloană;
• scrii corect I_2, xI_2 și O_2;
• verifici inversabilitatea prin det(A) != 0;
• rezolvi o ecuație matricială prin inversă sau prin sistem pe elemente;
• transformi un determinant cu parametru într-o ecuație sau inecuație;
• folosești exact formula unei legi de compoziție;
• găsești elementul neutru și verifici domeniul;
• scrii pașii, nu doar răspunsul final.

Întrebări frecvente

Ce este Subiectul 2 la BAC matematică M2?

Este Subiectul al II-lea, partea de algebră din proba de matematică pentru profilul M_tehnologic, numit frecvent M2. În modelele recente, include de obicei matrice, determinanți și o problemă de algebră precum lege de compoziție sau polinoame.

Câte puncte are Subiectul al II-lea?

Subiectul al II-lea valorează 30 de puncte. În modelele și subiectele recente, este împărțit în două probleme mari, cu subpuncte de câte 5 puncte.

Ce formule trebuie să știu la matrice pentru BAC M2?

Trebuie să știi determinantul 2x2, produsul de matrice, matricea identitate I_2, condiția de inversabilitate det(A) != 0 și formula inversei pentru matrice 2x2.

Cum verific dacă o matrice este inversabilă?

Calculezi determinantul. Dacă determinantul este nenul, matricea este inversabilă. Dacă determinantul este 0, matricea nu este inversabilă.

Ce este o lege de compoziție?

Este o operație definită printr-o formulă, de exemplu x*y = xy - 2x - 2y + 6. La BAC, folosești formula din enunț, nu presupui că simbolul * înseamnă înmulțire obișnuită.

Cum aflu elementul neutru al unei legi de compoziție?

Cauți un element e pentru care x*e=x și e*x=x pentru orice x din domeniu. Dacă legea este comutativă, verificarea se scurtează, dar tot trebuie să arăți clar calculul.

Ce fac dacă mă blochez la punctul c)?

Scrie pașii pe care îi poți face: matricea cerută, determinantul, ecuația sau inecuația obținută. Chiar dacă nu finalizezi, acești pași pot fi punctați în limitele baremului.

Se punctează rezolvările diferite de barem?

Da, baremele oficiale precizează că soluțiile corecte diferite de cea din barem primesc punctajul corespunzător. Important este ca metoda să fie corectă și pașii să fie suficient de clari.

Surse și verificare

Informațiile despre structură, punctaj și tipare au fost verificate pe baza documentelor și notelor de cercetare indicate pentru acest articol. Exemplele din ghid sunt modele de lucru construite pentru explicație, nu variante oficiale de examen.

• CNCE, subiecte.edu.ro, Modele de subiecte Bacalaureat 2026
• CNCE, subiecte.edu.ro, Proba E.c Matematică, modele 2026
• Ordinul 6059/2025 privind organizarea Bacalaureatului 2026
• Termeni și condiții, subiecte.edu.ro
• Barem oficial BAC 2025 Matematică M_tehnologic, Varianta 1
• Subiect BAC 2025 Matematică M_tehnologic, Varianta 1
• Model BAC 2026 Matematică M_tehnologic