BAC Matematică M1 Subiectul 3 rezolvare: tipare, formule și exemple pentru mate-info

Pentru bac matematica M1 subiectul 3 rezolvare, cheia nu este să memorezi o singură variantă, ci să recunoști tiparele de analiză matematică. La M1, Subiectul III valorează 30 de puncte și are, de regulă, două probleme: una cu funcții, derivate, monotonie, tangente sau asimptote, iar alta cu primitive, integrale definite și proprietăți ale integralelor. Dacă scrii domeniul, formula, calculul intermediar și concluzia, poți obține punctaj chiar și când nu rezolvi perfect cerința finală.

Pe scurt

Ce apare des	Ce scrii prima dată	Ce urmărește baremul
Funcții cu ln, e^x, radicali sau fracții	Domeniul și restricțiile	Condiții corecte înainte de derivare
Derivate	Formula folosită și calculul complet	Derivata corectă și simplificarea ei
Monotonie și extreme	Semnul lui f'(x)	Tabel de semn și concluzie
Tangentă	f(a), f'(a), apoi formula tangentei	Valori intermediare vizibile
Integrale	Primitiva, apoi Leibniz-Newton	Evaluarea la capetele intervalului
Inegalități	Funcție auxiliară sau comparație de integranzi	Justificare, nu doar rezultat

Subiectul III pare greu fiindcă amestecă analiza cu algebră de liceu. Derivata sau integrala poate fi corectă, dar punctele se pierd la factorizare, semn, logaritmi, radicali, fracții sau evaluarea limitelor.

Ce este Subiectul III la Matematică M1

Subiectul III la Matematică M1 este partea de analiză matematică din proba pentru profilul mate-info. Programa M_mate-info se aplică, conform programei oficiale, filierei teoretice, profil real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profil militar, specializarea matematică-informatică.

În modelele și subiectele recente, structura generală este de 3 ore, toate subiectele obligatorii, 10 puncte din oficiu și 90 de puncte distribuite în trei subiecte de câte 30 de puncte. Subiectul III are două probleme mari, fiecare împărțită de obicei în a), b), c), câte 5 puncte pe subpunct.

Practic, te interesează două blocuri:

1. Funcții și derivate: domeniu, limite, continuitate, derivabilitate, tangentă, monotonie, extreme, concavitate, convexitate, asimptote, reprezentare grafică.
2. Primitive și integrale: primitive, integrale definite, formula Leibniz-Newton, integrare prin părți, schimbare de variabilă, arii, volume de rotație și unele limite cu integrale.

Cum este punctat Subiectul III

Subiectul III valorează 30 de puncte. În forma uzuală, ai două probleme de câte 15 puncte, iar fiecare problemă are trei subpuncte de câte 5 puncte.

Subpunct	Ce cere frecvent	Cum îl abordezi
a)	Calcul direct: derivată, primitivă, integrală, verificare	Scrie formula și calculele complet
b)	Interpretare: monotonie, tangentă, asimptotă, transformare	Folosește rezultatul de la a)
c)	Sinteză: inegalitate, parametru, număr de soluții, limită	Caută legătura cu a) și b)

Baremele oficiale pot acorda puncte intermediare. La monotonie, de exemplu, punctajul poate veni din derivată, semn și concluzia pe intervale. Dacă scrii doar „funcția este crescătoare”, fără calcul, pierzi pași punctabili.

Pentru „Arătați că”, nu copia forma din enunț. Trebuie să pornești de la expresia inițială, să aplici formula potrivită și să simplifici până ajungi la forma cerută.

Ce capitole trebuie să știi pentru Subiectul III M1

Pentru funcții, repetă prioritar domeniul de definiție, regulile de derivare, semnul derivatei, tangenta, limitele, asimptotele, extremele și ideile de concavitate sau convexitate. Pentru integrale, concentrează-te pe primitive uzuale, Leibniz-Newton, liniaritate, aditivitate, monotonie, integrare prin părți și schimbare de variabilă la nivel de BAC.

Algebra contează la fel de mult ca formula. Fără factorizări, semne, fracții, ln, e^x și radicali, rezolvarea se blochează chiar dacă ideea de analiză este bună.

Tiparul 1: funcție, domeniu, derivată, semn

Pentru o problemă cu funcție, ordinea sigură este aceasta:

1. Stabilește domeniul. Pentru ln u, ai nevoie de u > 0. Pentru radical de ordin par, ai nevoie de u >= 0. Pentru fracție, numitorul trebuie să fie diferit de zero.
2. Calculează derivata. Alege regula potrivită: sumă, produs, cât sau funcție compusă.
3. Factorizează derivata. Semnul se citește mai ușor din factori decât dintr-o expresie dezvoltată.
4. Studiază semnul lui f'(x). Separă factorii care schimbă semnul de factorii mereu pozitivi.
5. Scrie concluzia. Dacă f'(x) > 0, funcția este crescătoare. Dacă f'(x) < 0, funcția este descrescătoare.

Formule folosite des:

Situație	Formula
Putere	(x^n)' = n*x^(n-1)
Sumă	(u+v)' = u' + v'
Produs	(uv)' = u'v + uv'
Cât	(u/v)' = (u'v - uv') / v^2
Exponențială compusă	(e^u)' = u'e^u
Logaritm compus	(ln u)' = u'/u, cu u > 0
Radical	(sqrt(u))' = u'/(2sqrt(u)), unde expresia are sens

Exemplu scurt cu logaritm

Fie f(x)=ln(x^2+x+1).

1. Verificăm domeniul: x^2+x+1 are discriminantul 1-4=-3, deci este pozitiv pentru orice x real. Domeniul este R.
2. Folosim formula (ln u)' = u'/u, unde u=x^2+x+1.
3. Calculăm u'=2x+1.
4. Rezultă:

f'(x)=(2x+1)/(x^2+x+1).

Verificare rapidă: numitorul este pozitiv pentru orice x, deci semnul derivatei depinde doar de 2x+1. Acest lucru ajută imediat la monotonie.

Tiparul 2: tangentă, limite și asimptote

Pentru tangenta la grafic în punctul de abscisă a, folosește formula:

y - f(a) = f'(a)(x-a).

Pașii sunt mereu aceiași:

1. Calculezi f(a).
2. Calculezi f'(x).
3. Înlocuiești x=a și obții f'(a).
4. Scrii formula tangentei.
5. Simplifici ecuația.

Nu sări peste f(a) și f'(a).

Pentru asimptote, identifică mai întâi tipul cerut:

Tip de asimptotă	Ce verifici
Verticală	Limite laterale în punctele excluse din domeniu
Orizontală	lim f(x)=l la +inf sau -inf, apoi y=l
Oblică	m = lim f(x)/x, n = lim(f(x)-mx), apoi y=mx+n

Regula lui l'Hospital apare în programa M1 pentru forme de tip 0/0 și inf/inf. Folosește-o doar când forma este potrivită și notează întâi forma nedeterminată.

Tiparul 3: monotonie, extreme și număr de soluții

O cerință de monotonie nu se rezolvă prin încercări de valori. Se rezolvă prin semnul derivatei.

Exemplu: dacă ai ajuns la

f'(x)=x(x-2)/(x^2+1),

atunci x^2+1 > 0 pentru orice x. Semnul lui f'(x) vine din x(x-2).

Interval	Semnul lui x	Semnul lui x-2	Semnul lui f'(x)	Concluzie
(-inf,0)	minus	minus	plus	crescătoare
(0,2)	plus	minus	minus	descrescătoare
(2,+inf)	plus	plus	plus	crescătoare

Rezultă că funcția are un maxim local în x=0 și un minim local în x=2, dacă funcția este definită în aceste puncte.

Pentru număr de soluții ale unei ecuații de forma f(x)=m, nu încerca mereu să rezolvi ecuația direct. De multe ori, folosești monotonia, valorile extreme și intersecțiile graficului cu dreapta y=m.

Tiparul 4: inegalități cu funcții

Pentru o inegalitate de tipul f(x) >= 0, metoda standard este:

1. Definești funcția auxiliară g(x)=f(x).
2. Studiezi derivata g'(x).
3. Găsești monotonia și eventual minimul.
4. Verifici valoarea minimă.
5. Scrii concluzia pentru toate valorile cerute ale lui x.

De ce facem asta? Pentru că o inegalitate globală se demonstrează mai ușor dacă arăți că funcția are un minim nenegativ sau un maxim nepozitiv.

La subpunctul c), caută întâi legătura cu a) și b). Un minim găsit la b) poate rezolva o inegalitate de la c), iar monotonia poate decide numărul de soluții.

Tiparul 5: primitive și integrale definite

La problema cu primitive și integrale, ordinea sigură este:

1. Identifici forma integrandului.
2. Alegi formula de primitivare.
3. Scrii primitiva generală, cu +C dacă este integrală nedefinită.
4. Dacă ai integrală definită, aplici Leibniz-Newton.
5. Evaluezi atent la limita superioară și la limita inferioară.

Formule utile:

Integrand	Primitivă
x^n, n != -1	x^(n+1)/(n+1)+C
1/x	`ln
e^x	e^x+C
e^(ax+b)	(1/a)e^(ax+b)+C, dacă a != 0
u'/u	`ln

Formula Leibniz-Newton:

int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a), dacă F'=f.

La integralele definite, constanta C nu mai contează, deoarece se reduce la scădere. La primitive nedefinite sau la cerințe cu o condiție de tip F(a)=b, constanta este obligatorie.

Exemplu rezolvat de funcție cu derivată și monotonie

Luăm funcția:

f(x)=ln(x^2+x+1).

Pasul 1: domeniul

Trebuie să avem x^2+x+1 > 0.

Discriminantul este Delta = 1-4 = -3. Cum coeficientul lui x^2 este pozitiv, expresia este pozitivă pentru orice x real.

Domeniul: D=R.

Pasul 2: derivata

Folosim (ln u)' = u'/u, cu u=x^2+x+1.

u'=2x+1, deci:

f'(x)=(2x+1)/(x^2+x+1).

Pasul 3: semnul derivatei

Numitorul este pozitiv pentru orice x. Semnul vine din 2x+1.

2x+1=0 înseamnă x=-1/2.

Interval	Semnul lui 2x+1	Semnul lui f'(x)	Concluzie
(-inf,-1/2)	minus	minus	descrescătoare
(-1/2,+inf)	plus	plus	crescătoare

Pasul 4: minimul

Funcția scade până la x=-1/2 și crește după aceea, deci are minim în x=-1/2.

Calculăm:

f(-1/2)=ln(1/4-1/2+1)=ln(3/4).

Rezultat final: funcția este descrescătoare pe (-inf,-1/2), crescătoare pe (-1/2,+inf) și are minimul ln(3/4) în x=-1/2.

Verificare rapidă

Pentru x=0, avem f'(0)=1, deci funcția trebuie să fie crescătoare în jurul lui 0. Acest lucru se potrivește cu tabelul, deoarece 0 este în intervalul (-1/2,+inf).

Exemplu rezolvat de primitivă și integrală

Fie f(x)=4x+1/x, pe intervalul (0,+inf).

Cerința 1: determină primitiva F cu proprietatea F(1)=2

Primul termen:

int 4x dx = 2x^2.

Al doilea termen:

int 1/x dx = ln x, deoarece lucrăm pe (0,+inf).

Primitiva generală este:

F(x)=2x^2+ln x+C.

Folosim condiția F(1)=2:

F(1)=2*1^2+ln 1+C=2+0+C.

Deci:

2+C=2, de unde C=0.

Rezultat final: F(x)=2x^2+ln x.

Cerința 2: calculează int_1^e (4x+1/x) dx

Folosim primitiva găsită:

int_1^e (4x+1/x) dx = [2x^2+ln x]_1^e.

Evaluăm la limita superioară:

2e^2+ln e = 2e^2+1.

Evaluăm la limita inferioară:

2*1^2+ln 1 = 2.

Scădem:

(2e^2+1)-2 = 2e^2-1.

Rezultat final: int_1^e (4x+1/x) dx = 2e^2-1.

Verificare rapidă

Pe intervalul [1,e], funcția 4x+1/x este pozitivă. Integrala trebuie să fie pozitivă, iar 2e^2-1 este pozitiv. Rezultatul are sens.

Inegalități și limite cu integrale

Pentru inegalități cu integrale, nu începe prin a integra direct dacă nu ai o primitivă simplă. De multe ori, metoda este compararea integranzilor:

Dacă pe [a,b] ai f(x) <= g(x), atunci:

int_a^b f(x) dx <= int_a^b g(x) dx.

În redactare, arăți întâi că inegalitatea dintre integranzi este adevărată pe interval, apoi aplici monotonia integralei și scrii concluzia cerută.

Pentru limite cu integrale, citește atent forma. Unele cerințe folosesc o medie integrală sau o estimare pe interval. Nu aplica formule avansate fără să verifici dacă sunt cerute de nivelul BAC.

Cum scrii rezolvarea ca să iei punctaj parțial

La Subiectul III, redactarea matematică trebuie să fie vizibilă. Nu este suficient să ai rezultatul corect în minte.

Scrie așa:

1. Condiții: domeniul, intervalul, restricțiile.
2. Formula: regula de derivare, formula tangentei, Leibniz-Newton sau proprietatea integralei.
3. Înlocuire: valorile din enunț puse în formulă.
4. Calcul: simplificări intermediare, nu doar rezultatul.
5. Concluzie: răspunsul exact la cerință.

Pentru barem, un calcul parțial corect poate conta doar dacă este pe foaie. Baremurile oficiale menționează că metodele corecte alternative se punctează, dar soluția trebuie să fie coerentă și justificată.

Ce înveți prioritar dacă ai puțin timp

Dacă nu mai ai mult timp până la probă, începe cu subpunctele a). Prioritatea practică este: derivate pentru funcții compuse, domenii pentru ln, radicali și fracții, semnul derivatei, tangenta, primitive uzuale, Leibniz-Newton și proprietăți simple ale integralei definite.

După fiecare exercițiu, verifică baremul și notează unde ai pierdut puncte: domeniu, derivată, semn, concluzie, primitivă sau evaluare.

Greșeli frecvente la Subiectul III M1

• Nu verifici domeniul înainte de derivare.
• Uiți factorul u' la ln u, e^u sau sqrt(u).
• Dezvolți expresii prea mult și nu mai poți studia semnul.
• Confunzi semnul lui f' cu semnul lui f.
• La tangentă, folosești f'(x) în loc de f'(a).
• La asimptote, verifici doar o limită, deși cerința cere limite laterale sau comportament la ambele infinituri.
• La primitive, uiți constanta C când ai integrală nedefinită.
• La integrale definite, uiți să scazi valoarea în limita inferioară.
• La inegalități cu integrale, nu precizezi intervalul pe care compari funcțiile.
• La subpunctul c), începi de la zero și ignori rezultatele de la a) și b).

Lista de verificare finală

Înainte să treci mai departe, verifică dacă ai scris:

• domeniul funcției sau intervalul de lucru;
• formula folosită;
• calculul derivatei sau al primitivei;
• tabelul de semn, dacă se cere monotonie;
• valorile f(a) și f'(a), dacă se cere tangentă;
• evaluarea F(b)-F(a), dacă se cere integrală definită;
• concluzia exactă pentru cerință;
• legătura cu rezultatele anterioare, mai ales la subpunctul c).

Întrebări frecvente

Ce se dă la Subiectul 3 la BAC Matematică M1?

Apar cerințe de analiză matematică: funcții, derivate, limite, asimptote, monotonie, extreme, primitive, integrale definite și proprietăți ale integralelor.

Câte puncte are Subiectul III la Matematică M1?

Subiectul III are 30 de puncte. De regulă, este format din două probleme de câte 15 puncte, iar fiecare problemă are trei subpuncte de câte 5 puncte.

Este Subiectul III doar analiză matematică?

Tema principală este analiza matematică, dar rezolvarea cere multă algebră: factorizări, semne, fracții, logaritmi, exponențiale, radicali și simplificări.

Ce formule trebuie să știu pentru Subiectul III M1?

Prioritare sunt regulile de derivare, formula tangentei, primitivele uzuale și formula Leibniz-Newton.

Cum rezolv cerințele cu „Arătați că”?

Pornești de la expresia dată, aplici formula potrivită și simplifici pas cu pas până ajungi la forma din enunț. Nu este suficient să copiezi rezultatul cerut.

Cum iau punctaj parțial la Subiectul III?

Scrie pașii intermediari: domeniu, formulă, calcul, tabel de semn și concluzie. Un rezultat final fără justificare poate pierde puncte importante.

Ce învăț prima dată: derivate sau integrale?

Începe cu derivatele, deoarece apar frecvent în funcții, monotonie, extreme, tangente și inegalități. Apoi repetă primitivele și integralele definite.

Se poate lua notă de trecere fără Subiectul III?

Punctele din Subiectele I și II pot ajuta mult, dar nu este o strategie sigură să abandonezi complet Subiectul III. Subpunctele a) pot aduce puncte importante.

Surse și verificare

• Programa oficială BAC Matematică, edu.ro, pentru încadrarea M_mate-info și conținuturile de analiză: limite, derivabilitate, studiul funcțiilor, primitive și integrale.
• Subiecte examene naționale 2026, subiecte.edu.ro, pentru modele, subiecte și bareme oficiale.
• Modele de subiecte BAC 2026, probe scrise, pentru verificarea modelului M_mate-info și a baremului aferent.
• Baremurile oficiale trebuie consultate la fiecare variantă lucrată, deoarece arată punctajele intermediare și confirmă că metodele corecte alternative pot fi punctate.