BacPath

Actualizat pe 6 octombrie 2026

BAC 2025 Matematică Tehnologic rezolvare completă: Varianta 1

Rezolvare completă BAC 2025 Matematică M_tehnologic, Varianta 1: pași pentru toate subpunctele, răspunsuri finale și barem explicat.

Aceasta este rezolvarea completă pentru subiectul oficial BAC 2025 la Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie-iulie, Varianta 1. Găsești mai jos răspunsurile finale, pașii pentru toate cele 18 subpuncte și explicații despre ce verifică baremul, astfel încât să poți corecta lucrarea după metodă, nu doar după rezultat.

Pe scurt

Element Detaliu
Examen Bacalaureat 2025, Proba E.c), Matematică
Profil M_tehnologic
Pentru cine Filiera tehnologică: profil servicii, profil resurse, profil tehnic, toate calificările
Sesiune Iunie-iulie 2025
Variantă Varianta 1
Timp de lucru 3 ore
Punctaj 90 de puncte pe subiecte, plus 10 puncte din oficiu

Subiectul are trei părți de câte 30 de puncte. Fiecare subpunct valorează 5 puncte, iar nota finală se obține prin împărțirea punctajului total la 10.

Descarcă subiectul și baremul oficial

Pentru verificare, pornește de la documentele oficiale sau de la copiile PDF cu antetul Ministerului Educației:

Document Link
Portal oficial subiecte și bareme BAC 2025 subiecte.edu.ro, Bacalaureat 2025
Subiect oficial M_tehnologic, Varianta 1 PDF subiect
Barem oficial M_tehnologic, Varianta 1 PDF barem

În BacPath, subiectul este disponibil și în format Markdown la bac-2025-iunie-iulie-var01.md, iar soluția completă locală este la bac-2025-iunie-iulie-var01.md.

Sumar rapid: răspunsurile finale

Subpunct Răspuns final
I.1 Egalitatea este adevărată, calculul dă 1
I.2 a = 12
I.3 x = 1
I.4 P = 1/2
I.5 a = 5
I.6 Aria triunghiului este 8
II.1.a det A = 1
II.1.b x = 2
II.1.c x in [-3, 1]
II.2.a Pentru m = 1, f(1)=0
II.2.b m = -5
II.2.c m = -3, iar f(X)=(X^2+1)(X-3)
III.1.a f'(x)=(3-x)/e^x
III.1.b Tangenta este y = 3x - 2
III.1.c Se folosește monotonia lui (x-2)/e^x pe [1,4]
III.2.a Integrala este 2
III.2.b Integrala este ln 3
III.2.c a = 2

Cum este punctată lucrarea la Matematică M_tehnologic

Baremul oficial precizează că se acordă 10 puncte din oficiu și 90 de puncte pentru rezolvări. Fiecare dintre cele 18 subpuncte are 5 puncte.

La matematică, punctajul nu se ia doar pentru răspunsul final. De obicei, primești puncte pentru metoda corectă, înlocuirea datelor, calculul intermediar și concluzia. Baremul acceptă orice soluție corectă, chiar dacă metoda diferă de cea publicată oficial, dar nu acordă fracțiuni de punct.

Subiectul I rezolvat complet

Subiectul I are exerciții independente. Dacă greșești unul, nu afectează următorul, deci la examen este important să treci mai departe și să recuperezi puncte la cerințele pe care le stăpânești.

I.1. Calcul cu fracții

Cerința este să arăți că:

1/10 + 3*(1/2 - 1/5) = 1

Pasul 1: calculăm paranteza la același numitor:

1/2 - 1/5 = 5/10 - 2/10 = 3/10

Pasul 2: înmulțim cu 3:

3*(3/10) = 9/10

Pasul 3: adunăm:

1/10 + 9/10 = 10/10 = 1

Răspuns final: egalitatea este adevărată.

Ce verifică baremul: transformarea corectă a parantezei și finalizarea sumei la 1.

I.2. Funcție liniară

Avem f(x)=6x-3 și trebuie determinat a pentru care f(2)=a+f(0).

Pasul 1: calculăm valorile funcției:

f(2)=6*2-3=12-3=9

f(0)=6*0-3=-3

Pasul 2: înlocuim în condiție:

9 = a + (-3)

9 = a - 3

Pasul 3: rezolvăm:

a = 12

Răspuns final: a=12.

Barem: contează calculul separat pentru f(2) și f(0), apoi ecuația în a.

I.3. Ecuație exponențială

Ecuația este:

5^(2x)=5^(3-x)

Pentru aceeași bază pozitivă, diferită de 1, egalăm exponenții:

2x = 3 - x

Mutăm termenii cu x în aceeași parte:

3x = 3

x = 1

Verificare rapidă:

5^(2*1)=5^2, iar 5^(3-1)=5^2.

Răspuns final: x=1.

Barem: primești puncte pentru egalarea corectă a exponenților și pentru soluția finală.

I.4. Probabilitate pe mulțime finită

Mulțimea este:

A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Sunt 10 cazuri posibile. Trebuie să alegem n astfel încât:

6n > 25

Împărțim la 6:

n > 25/6

Cum 25/6 = 4 + 1/6, valorile din mulțime care verifică sunt:

5, 6, 7, 8, 9

Sunt 5 cazuri favorabile. Probabilitatea este:

P = 5/10 = 1/2

Răspuns final: 1/2.

Barem: se punctează numărul de cazuri posibile, cazurile favorabile și raportul corect.

I.5. Distanța dintre două puncte

Punctele sunt A(2,0), B(2,1) și C(6,4). Trebuie determinat a pentru care BC=a*AB.

Formula distanței dintre două puncte este:

d(P,Q)=sqrt((xQ-xP)^2+(yQ-yP)^2)

Calculăm AB:

AB=sqrt((2-2)^2+(1-0)^2)=sqrt(1)=1

Calculăm BC:

BC=sqrt((6-2)^2+(4-1)^2)=sqrt(4^2+3^2)=sqrt(25)=5

Înlocuim în relație:

5 = a*1

a = 5

Răspuns final: a=5.

Barem: contează calculul lungimii BC, calculul lungimii AB și folosirea relației din enunț.

I.6. Aria triunghiului dreptunghic

Triunghiul MNP este dreptunghic în M, deci MN și MP sunt catetele. Avem:

MN = 4*MP și MN = 8

Pasul 1: determinăm MP:

8 = 4*MP

MP = 2

Pasul 2: aplicăm formula ariei unui triunghi dreptunghic:

A = (cateta1*cateta2)/2

A = (MN*MP)/2 = (8*2)/2 = 8

Răspuns final: aria triunghiului este 8.

Barem: primești puncte pentru aflarea lui MP, apoi pentru formula ariei și calculul final.

Subiectul al II-lea rezolvat complet

Subiectul al II-lea combină matrice, determinant și polinoame. Aici se pierd puncte mai ales prin semne greșite și prin folosirea mecanică a formulelor.

II.1.a. Determinantul matricei A

Avem:

A = [[5,2],[2,1]]

Pentru o matrice [[a,b],[c,d]], determinantul este:

ad - bc

Aplicăm:

det A = 5*1 - 2*2 = 5 - 4 = 1

Răspuns final: det A=1.

Barem: formula determinantului și calculul corect al diagonalelor.

II.1.b. Egalitate de matrice

Trebuie să determinăm x pentru care:

3A - 5I2 = xB

Calculăm:

3A = [[15,6],[6,3]]

5I2 = [[5,0],[0,5]]

Scădem element cu element:

3A - 5I2 = [[15,6],[6,3]] - [[5,0],[0,5]] = [[10,6],[6,-2]]

Matricea B este:

B = [[5,3],[3,-1]]

Observăm prin calcul că:

2B = [[10,6],[6,-2]]

Deci:

3A - 5I2 = 2B

Răspuns final: x=2.

Barem: se punctează calculul lui 3A-5I2 și identificarea scalarului x.

II.1.c. Inegalitate cu determinant

Cerința este:

det(A*(B-A)+xI2) <= 2

Pasul 1: calculăm B-A:

B-A = [[5,3],[3,-1]] - [[5,2],[2,1]] = [[0,1],[1,-2]]

Pasul 2: calculăm produsul A*(B-A):

A*(B-A) = [[5,2],[2,1]] * [[0,1],[1,-2]]

Elementele sunt:

5*0+2*1 = 2

5*1+2*(-2) = 1

2*0+1*1 = 1

2*1+1*(-2) = 0

Deci:

A*(B-A) = [[2,1],[1,0]]

Pasul 3: adunăm xI2:

A*(B-A)+xI2 = [[x+2,1],[1,x]]

Pasul 4: calculăm determinantul:

det = (x+2)*x - 1*1 = x^2 + 2x - 1

Impunem condiția:

x^2 + 2x - 1 <= 2

x^2 + 2x - 3 <= 0

Factorizăm:

x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)

Parabola are coeficient pozitiv, deci este negativă sau zero între rădăcini.

Răspuns final: x in [-3,1].

Barem: metoda este punctată în etape: calculul matricei, determinantul în funcție de x, rezolvarea inegalității.

II.2.a. Valoarea polinomului

Polinomul este:

f(X)=X^3-3X^2+X+m

Pentru m=1, avem:

f(X)=X^3-3X^2+X+1

Calculăm:

f(1)=1^3-3*1^2+1+1

f(1)=1-3+1+1=0

Răspuns final: pentru m=1, f(1)=0.

Barem: substituția lui m=1 și calculul valorii în 1.

II.2.b. Relațiile lui Viete

Fie x1, x2, x3 rădăcinile polinomului:

X^3-3X^2+X+m

Polinomul este monic, deci relațiile lui Viete dau:

x1+x2+x3 = 3

x1*x2*x3 = -m

Condiția din enunț este:

2x1 + 2x2 + 2x3 = 1 + x1*x2*x3

Factorizăm partea stângă:

2(x1+x2+x3)=1+x1*x2*x3

Înlocuim cu Viete:

2*3 = 1 + (-m)

6 = 1 - m

m = -5

Răspuns final: m=-5.

Barem: cheia este semnul produsului rădăcinilor. Pentru polinomul X^3-3X^2+X+m, produsul este -m, nu m.

II.2.c. Teorema restului și divizibilitate

Știm că restul împărțirii lui f la X-2 este -5. Prin teorema restului:

f(2) = -5

Calculăm:

f(2)=2^3-3*2^2+2+m

f(2)=8-12+2+m=m-2

Impunem:

m-2 = -5

m = -3

Pentru m=-3, polinomul devine:

f(X)=X^3-3X^2+X-3

Factorizăm prin grupare:

X^3-3X^2+X-3 = X^2(X-3)+1*(X-3)

f(X)=(X^2+1)(X-3)

Răspuns final: m=-3, iar f este divizibil cu X^2+1.

Barem: se punctează folosirea teoremei restului, determinarea lui m și factorizarea finală.

Subiectul al III-lea rezolvat complet

Subiectul al III-lea verifică analiză matematică: derivată, tangentă, monotonie și integrale. Nu încerca să rezolvi prin valori ghicite. Scrie formula folosită și justifică semnul funcției sau al derivatei.

III.1.a. Derivata funcției cu exponențială

Funcția este:

f(x)=(x-2)/e^x

O rescriem mai ușor pentru derivare:

f(x)=(x-2)*e^(-x)

Aplicăm regula produsului:

f'(x)=1*e^(-x)+(x-2)*(-e^(-x))

Scoatem factor comun e^(-x):

f'(x)=e^(-x)*(1-(x-2))

f'(x)=e^(-x)*(3-x)

Cum e^(-x)=1/e^x, obținem:

f'(x)=(3-x)/e^x

Răspuns final: f'(x)=(3-x)/e^x, pentru orice x real.

Barem: forma rescrisă și aplicarea corectă a regulii produsului sunt pașii care arată metoda.

III.1.b. Tangenta la grafic în x=0

Formula tangentei în punctul de abscisă x0 este:

y - f(x0) = f'(x0)*(x - x0)

Aici x0=0.

Calculăm:

f(0)=(0-2)/e^0=-2

f'(0)=(3-0)/e^0=3

Înlocuim în formula tangentei:

y - (-2) = 3*(x-0)

y + 2 = 3x

Răspuns final: y=3x-2.

Barem: trebuie să apară atât f(0), cât și f'(0), apoi formula tangentei.

III.1.c. Inegalitate prin monotonie

Trebuie demonstrat că, pentru orice x in [1,4]:

-e^(x-1) <= x-2 <= e^(x-3)

Folosim funcția deja dată:

f(x)=(x-2)/e^x

Din punctul a):

f'(x)=(3-x)/e^x

Deoarece e^x>0, semnul lui f'(x) este semnul lui 3-x.

Pe intervalul [1,3], f'(x)>=0, deci funcția crește. Pe intervalul [3,4], f'(x)<=0, deci funcția descrește.

Calculăm valorile importante:

f(1)=(1-2)/e=-1/e

f(3)=(3-2)/e^3=1/e^3

f(4)=(4-2)/e^4=2/e^4

Maximul pe interval este 1/e^3, iar minimul este -1/e. Rezultă:

-1/e <= (x-2)/e^x <= 1/e^3

Înmulțim cu e^x, care este pozitiv, deci sensurile inegalităților nu se schimbă:

-e^(x-1) <= x-2 <= e^(x-3)

Răspuns final: inegalitatea este demonstrată pentru orice x in [1,4].

Barem: se punctează studiul monotoniei și valorile funcției pe interval, nu verificarea numerică pentru câteva valori.

III.2.a. Integrală cu funcție polinomială

Funcția este:

f(x)=x^2+4x+8

Trebuie calculată:

integral_0^1 (f(x)-x^2-8) dx

Simplificăm integrandul:

f(x)-x^2-8 = x^2+4x+8-x^2-8 = 4x

Integrala devine:

integral_0^1 4x dx

Primitiva lui 4x este 2x^2, deci:

[2x^2]_0^1 = 2*1^2 - 2*0^2 = 2

Răspuns final: integrala este 2.

Barem: se punctează simplificarea expresiei și calculul integralei definite.

III.2.b. Integrală de tip u'/u

Trebuie calculată:

integral_0^8 x/(f(x)-4x) dx

Mai întâi simplificăm numitorul:

f(x)-4x = x^2+4x+8-4x = x^2+8

Integrala devine:

integral_0^8 x/(x^2+8) dx

Acesta este tipar de forma u'/u, deoarece derivata lui x^2+8 este 2x. De aceea apare factorul 1/2:

integral x/(x^2+8) dx = (1/2)*ln(x^2+8)

Evaluăm între 0 și 8:

(1/2)*[ln(x^2+8)]_0^8

=(1/2)*(ln(8^2+8)-ln(0^2+8))

=(1/2)*(ln 72 - ln 8)

=(1/2)*ln(72/8)

=(1/2)*ln 9 = ln 3

Răspuns final: integrala este ln 3.

Barem: ai nevoie de numitorul corect, factorul 1/2 și înlocuirea limitelor.

III.2.c. Ecuație cu integrală și parametru

Trebuie determinat a in (0,+inf) pentru care:

integral_0^a 1/(f(x)-4) dx = 1/4

Calculăm numitorul:

f(x)-4 = x^2+4x+8-4 = x^2+4x+4 = (x+2)^2

Integrala devine:

integral_0^a 1/(x+2)^2 dx = 1/4

Scriem:

1/(x+2)^2 = (x+2)^(-2)

O primitivă este:

-1/(x+2)

Aplicăm limitele:

[-1/(x+2)]_0^a = -1/(a+2) - (-1/2)

= 1/2 - 1/(a+2)

Impunem condiția:

1/2 - 1/(a+2) = 1/4

Mutăm termenii:

1/(a+2)=1/4

a+2=4

a=2

Verificăm domeniul: 2 in (0,+inf), deci valoarea este acceptată.

Răspuns final: a=2.

Barem: se punctează transformarea numitorului în pătrat perfect, primitiva și rezolvarea ecuației în a.

Rezolvare rapidă vs. rezolvare pentru punctaj maxim

Dacă lucrezi varianta pentru antrenament, nu te opri la tabelul cu răspunsuri finale. La BAC, un rezultat corect scris fără pași poate să nu arate suficient pentru punctaj maxim.

Pentru punctaj bun, scrie de fiecare dată:

  1. metoda folosită;
  2. formula sau relația necesară;
  3. înlocuirea datelor din enunț;
  4. calculul intermediar;
  5. concluzia finală.

La Subiectul I, de multe ori două rânduri bine scrise sunt suficiente. La Subiectele al II-lea și al III-lea, baremul urmărește pașii, deci nu sări peste matricea intermediară, relațiile lui Viete, formula tangentei sau primitiva.

Greșeli frecvente

Exercițiu Greșeală frecventă Cum o eviți
I.1 Pierzi semnul în paranteză sau nu aduci la același numitor Scrie întâi 1/2-1/5=3/10
I.3 Nu egalezi exponenții Baza este aceeași, 5, deci compari puterile
I.4 Incluzi n=4 la cazuri favorabile Verifică: 6*4=24, nu este mai mare decât 25
I.5 Calculezi distanța fără pătrate Folosește formula completă cu radical
II.1 Confunzi înmulțirea cu scalarul și produsul de matrice La 3A înmulțești fiecare element cu 3
II.2 Greșești semnul din Viete Pentru termen liber m, produsul rădăcinilor este -m
III.1 Derivezi greșit (x-2)/e^x Rescrie ca (x-2)e^(-x)
III.2 Uiți factorul 1/2 la integrala cu x/(x^2+8) Leagă numărătorul de derivata numitorului

Cum îți estimezi punctajul folosind baremul

După ce ai lucrat varianta, corectează în trei treceri:

  1. Verifică răspunsul final pentru fiecare subpunct.
  2. Verifică dacă ai scris pașii care justifică răspunsul.
  3. Adună punctele pe subpuncte și adaugă cele 10 puncte din oficiu.

Exemplu de interpretare: dacă ai făcut corect 11 subpuncte întregi, ai 11*5=55 puncte, plus 10 puncte din oficiu, deci nota orientativă este 6,50. Dacă ai rezolvări parțiale, folosește baremul oficial pentru a vedea unde primești puncte intermediare.

Este această variantă pentru M2 Științele naturii?

Nu. Această pagină rezolvă varianta oficială M_tehnologic, pentru filiera tehnologică. Elevii de la Științele naturii trebuie să folosească varianta lor, notată separat în documentele oficiale.

Confuzia apare deoarece mulți elevi caută informal „M2 tehnologic”. În documentele oficiale, denumirea pe care trebuie să o verifici este M_tehnologic.

Ce să repeți după această variantă

Dacă ai pierdut puncte la Subiectul I, repetă formulele de bază: fracții, funcție liniară, probabilitate, distanța dintre două puncte și aria triunghiului dreptunghic.

Dacă ai pierdut puncte la Subiectul al II-lea, lucrează separat matrice 2x2, determinant, relațiile lui Viete și teorema restului.

Dacă Subiectul al III-lea a fost greu, reia derivata funcției cu exponențială, ecuația tangentei, monotonia pe interval și integralele standard.

Pentru antrenament în aceeași categorie M_tehnologic, poți lucra apoi variantele locale bac-2025-model.md, bac-2025-simulare.md, bac-2025-sesiunea-speciala-var03.md și bac-2025-august-septembrie-var09.md, dacă sunt disponibile în arhiva ta de lucru.

Checklist final pentru lucrarea ta

Bifează înainte să consideri varianta corectată complet:

  • Am verificat că am folosit varianta M_tehnologic, nu alt profil.
  • Am comparat fiecare subpunct cu baremul, nu doar cu răspunsul final.
  • Am scris formulele importante: determinant, distanță, Viete, tangentă, primitivă.
  • Am păstrat pașii intermediari la matrice, polinoame, derivate și integrale.
  • Am adăugat cele 10 puncte din oficiu înainte să calculez nota.
  • Am notat temele pe care trebuie să le repet.

Întrebări frecvente

Unde găsesc subiectul oficial BAC 2025 la Matematică Tehnologic?

Subiectul și baremul sunt publicate pe portalul oficial subiecte.edu.ro, în secțiunea Bacalaureat 2025, subiecte și bareme. Pentru Varianta 1 M_tehnologic există și copii PDF accesibile prin linkurile din secțiunea de surse.

Aceasta este varianta pentru M_tehnologic sau pentru Științele naturii?

Este varianta pentru M_tehnologic, adică filiera tehnologică. Nu este varianta M_st-nat pentru Științele naturii.

Câte puncte are fiecare subiect la BAC Matematică M_tehnologic?

Fiecare dintre cele trei subiecte are 30 de puncte. În total sunt 90 de puncte pentru rezolvare și 10 puncte din oficiu.

Se acordă puncte parțiale la Matematică?

Da, baremul include punctaje intermediare pentru pași corecți. Totuși, nu se acordă fracțiuni de punct, iar punctajul final respectă baremul oficial.

Care sunt răspunsurile finale la BAC 2025 Matematică Tehnologic?

Pe scurt: I.2 a=12, I.3 x=1, I.4 1/2, I.5 a=5, I.6 aria 8, II.1.b x=2, II.1.c [-3,1], II.2.b m=-5, II.2.c m=-3, III.1.b y=3x-2, III.2.c a=2. Tabelul complet este mai sus.

Cum se calculează nota finală din punctaj?

Aduni punctele obținute, inclusiv cele 10 puncte din oficiu, apoi împarți totalul la 10. De exemplu, 73 de puncte înseamnă nota 7,30.

Ce exerciții au fost mai accesibile în varianta 2025?

Pentru mulți elevi, cele mai accesibile sunt exercițiile independente de la Subiectul I și primele cerințe de la Subiectul al II-lea. Totuși, accesibilitatea depinde de ce ai repetat: matricele, Viete și integralele pot aduce puncte bune dacă scrii metoda corectă.

Ce ar trebui să repet dacă nu am știut Subiectul al III-lea?

Repetă derivarea lui (x-2)/e^x, formula tangentei, studiul monotoniei cu semnul derivatei și integralele definite cu primitive standard. La III.2.b, exersează separat tiparul u'/u.

Surse și verificare