BacPath

Actualizat pe 20 iulie 2026

BAC 2025 Matematică M2 Științele Naturii: rezolvare completă, subiect și barem

Rezolvare completă BAC 2025 Matematică M2 Științele Naturii, Varianta 1: răspunsuri finale, pași de calcul, barem și greșeli.

Ai aici rezolvarea completă pentru subiectul oficial BAC 2025 la Matematică M2 Științele Naturii, adică M_șt-nat, sesiunea iunie-iulie, Varianta 1. Rezolvarea este scrisă pas cu pas, cu răspunsurile finale, calculele intermediare și explicații despre ce trebuie să apară în lucrare pentru punctaj.

Pagina se referă strict la varianta pentru filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii. Nu este varianta M1 Mate-Info și nu este varianta pentru profil tehnologic.

Pe scurt

  • Proba este E.c) Matematică M_șt-nat, Varianta 1, BAC 2025, sesiunea iunie-iulie.
  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Subiectul are 90 de puncte lucrate: 30p la Subiectul I, 30p la Subiectul al II-lea și 30p la Subiectul al III-lea.
  • Se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea punctajului total la 10.
  • Fiecare subpunct vizibil valorează 5 puncte.
  • Baremul acceptă orice metodă corectă, chiar dacă diferă de traseul oficial.

Subiect și barem BAC 2025 Matematică M2 Științele Naturii

Subiectul oficial este pentru Examenul național de bacalaureat 2025, Proba E.c), Matematică M_șt-nat, Varianta 1. În antet sunt precizate filiera teoretică, profilul real și specializarea științe ale naturii.

Pentru verificare, folosește pagina oficială de arhivă de pe subiecte.edu.ro și PDF-urile cu antetul Ministerului Educației și CNCE. Baremul oficial arată punctajul și un traseu scurt de rezolvare, dar nu dezvoltă mereu toți pașii. De aceea, mai jos ai soluția completă, în ordinea subiectului.

Pentru cine este această rezolvare: elevii de la Științele Naturii care caută bac 2025 matematica M2 stiinte rezolvare completa. Dacă ai lucrat după o variantă M1, tehnologică sau din sesiunea august, rezultatele nu se potrivesc integral.

Răspunsuri finale pe scurt

Subpunct Răspuns final Ideea-cheie
I.1 a_3 = 26 rația progresiei este r = 11
I.2 a = -2 calculezi f(2) și rezolvi ecuația liniară
I.3 x in {0, 4} scrii condițiile logaritmilor, apoi egalezi argumentele
I.4 10 numere cifra unităților este 2 sau 8, apoi alegi zecile
I.5 AO = AC C(4, 2), iar ambele lungimi sunt 5
I.6 BC = 6 cos B = AB / BC
II.1.a det A = 2 determinant 2x2
II.1.b B = A^{-1} verifici AB = BA = I_2
II.1.c X = [[4, -8], [1, -1]] folosești relația din punctul b
II.2.a 1 * 4 = 3 înlocuire directă în lege
II.2.b x in {0, 7} sqrt(9x^2) = 3x, deoarece x >= 0
II.2.c x = 1 reduci la 3 = 3^x
III.1.a derivata cerută regula câtului și derivata lui 2sqrt(x)
III.1.b y = 0 limita la +infty este 0
III.1.c a = 2/3 tangenta paralelă cu Ox are panta 0
III.2.a integrala este 4 integrandul devine x^3
III.2.b integrala este 1/18 integrandul devine 1/[9(x+1)^2]
III.2.c m = 7 integrezi (x + 3/x)ln x pe [1, e]

Subiectul 2025 în 5 minute

Varianta 2025 pentru M_șt-nat a combinat exerciții scurte de algebră și geometrie cu matrice, lege de compoziție, derivate, asimptotă, tangentă și integrale definite.

Capitolele care au contat direct:

Zonă Ce a apărut
Subiectul I progresie aritmetică, funcție liniară, ecuație logaritmică, numărare, geometrie analitică, trigonometrie
Subiectul al II-lea matrice 2x2, inversă, ecuație matriceală, lege de compoziție pe [0, +infty)
Subiectul al III-lea funcție cu radical, derivată, asimptotă orizontală, tangentă paralelă cu Ox, integrale definite

Pentru recapitulare după acest subiect, poți reveni la formulele de bază din Formule BAC matematică M2 Științele Naturii, apoi să lucrezi separat matricele și integralele.

Rezolvare Subiectul I BAC 2025 Matematică M2 Științele Naturii

I.1 Progresie aritmetică

Avem a_1 = 4 și a_2 = 15. Într-o progresie aritmetică, rația este diferența dintre doi termeni consecutivi:

r = a_2 - a_1 = 15 - 4 = 11

Calculăm termenul al treilea:

a_3 = a_2 + r = 15 + 11 = 26

Răspuns final: a_3 = 26.

Pentru punctaj: scrie rația și calculul lui a_3. Dacă pui doar rezultatul, pierzi șansa la punctaj intermediar.

I.2 Funcție de gradul I

Funcția este f(x) = 3x - 2. Începem cu valoarea cunoscută:

f(2) = 3 * 2 - 2 = 4

De asemenea:

f(a) = 3a - 2

Cerința devine:

f(a) + f(2) = 2a
3a - 2 + 4 = 2a
3a + 2 = 2a
a = -2

Răspuns final: a = -2.

Verificare rapidă: f(-2) = -8, iar f(-2) + f(2) = -8 + 4 = -4 = 2 * (-2).

I.3 Ecuație logaritmică

Ecuația este:

log_2(x^2 - 3x + 2) = log_2(2 + x)

Pasul 1: scriem condițiile de existență:

x^2 - 3x + 2 > 0
2 + x > 0

Prima condiție se factorizează:

(x - 1)(x - 2) > 0
x in (-infty, 1) union (2, +infty)

A doua condiție dă x > -2. Pe domeniul admis, baza logaritmului este 2, deci funcția logaritmică este injectivă. Putem egala argumentele:

x^2 - 3x + 2 = x + 2
x^2 - 4x = 0
x(x - 4) = 0

Rezultă x = 0 sau x = 4. Ambele verifică domeniul.

Răspuns final: x in {0, 4}.

Pentru punctaj: condițiile sunt parte importantă a rezolvării complete. Nu începe direct cu egalarea argumentelor.

I.4 Numere pare cu cifre distincte

Mulțimea cifrelor este A = {1, 2, 3, 5, 7, 8}. Numărul are două cifre, este par și are cifre distincte.

Pasul 1: cifra unităților trebuie să fie pară. Din mulțime putem alege doar 2 sau 8, deci avem 2 variante.

Pasul 2: după ce am ales unitățile, cifra zecilor se alege dintre celelalte 5 cifre.

2 * 5 = 10

Răspuns final: se pot forma 10 numere.

Verificare rapidă: pentru unități 2 ai 5 variante la zeci, iar pentru unități 8 ai încă 5 variante.

I.5 Geometrie analitică

Punctele sunt O(0, 0), A(0, 5), B(8, 4), iar C este mijlocul segmentului OB.

Calculăm coordonatele lui C:

C((0 + 8)/2, (0 + 4)/2) = C(4, 2)

Calculăm lungimile:

AO = sqrt((0 - 0)^2 + (5 - 0)^2) = 5
AC = sqrt((4 - 0)^2 + (2 - 5)^2)
AC = sqrt(16 + 9) = 5

Răspuns final: AO = AC.

Pentru punctaj: ai nevoie de coordonatele mijlocului și de formula distanței. Concluzia vine după ce arăți că ambele lungimi sunt 5.

I.6 Trigonometrie în triunghi dreptunghic

Triunghiul ABC este dreptunghic în A, deci BC este ipotenuza. Pentru unghiul B, cateta alăturată este AB.

Folosim definiția cosinusului:

cos B = AB / BC

Din enunț, cos B = 2/3 și AB = 4, deci:

4 / BC = 2 / 3
2BC = 12
BC = 6

Răspuns final: BC = 6.

Greșeală de evitat: nu folosi sin B în loc de cos B. Raportul corect aici este cateta alăturată supra ipotenuză.

Rezolvare Subiectul al II-lea BAC 2025 Matematică M2 Științele Naturii

II.1.a Determinantul matricei

Matricea este:

A = [[-2, 8], [-1, 3]]

Pentru o matrice 2x2, determinantul este ad - bc:

det A = (-2) * 3 - 8 * (-1)
det A = -6 + 8 = 2

Răspuns final: det A = 2.

Pentru punctaj: formula determinantului și înlocuirea corectă sunt suficiente pentru metoda de bază.

II.1.b Inversa matricei

Se dă:

B = 1/2 * (I_2 - A)

Calculăm mai întâi I_2 - A:

I_2 - A = [[1, 0], [0, 1]] - [[-2, 8], [-1, 3]]
I_2 - A = [[3, -8], [1, -2]]

Deci:

B = [[3/2, -4], [1/2, -1]]

Pentru a arăta că B este inversa lui A, verificăm produsul:

AB = [[-2, 8], [-1, 3]] * [[3/2, -4], [1/2, -1]]
AB = [[1, 0], [0, 1]] = I_2

Verificăm și produsul în cealaltă ordine:

BA = [[3/2, -4], [1/2, -1]] * [[-2, 8], [-1, 3]]
BA = [[-3 + 4, 12 - 12], [-1 + 1, 4 - 3]]
BA = [[1, 0], [0, 1]] = I_2

Cele două produse confirmă faptul că matricea dată este inversa lui A.

Răspuns final: B = A^{-1}.

Greșeală de evitat: nu presupune că produsele de matrice sunt comutative. Pentru inversă, arată produsul cu identitatea.

II.1.c Ecuație matriceală

Ecuația este:

(A - I_2)X = 2A

Din punctul b avem:

A^{-1} = 1/2 * (I_2 - A)
I_2 - A = 2A^{-1}
A - I_2 = -2A^{-1}

Înlocuim în ecuație:

-2A^{-1}X = 2A
A^{-1}X = -A

Înmulțim la stânga cu A:

X = -A^2

Calculăm:

A^2 = [[-2, 8], [-1, 3]] * [[-2, 8], [-1, 3]]
A^2 = [[-4, 8], [-1, 1]]

Prin urmare:

X = [[4, -8], [1, -1]]

Răspuns final: X = [[4, -8], [1, -1]].

Verificare rapidă: (A - I_2)X = [[-3, 8], [-1, 2]] * [[4, -8], [1, -1]] = [[-4, 16], [-2, 6]] = 2A.

II.2.a Lege de compoziție

Pe M = [0, +infty) se definește:

x * y = x + y - sqrt(xy)

Calculăm direct:

1 * 4 = 1 + 4 - sqrt(1 * 4)
1 * 4 = 5 - 2 = 3

Răspuns final: 1 * 4 = 3.

Pentru punctaj: înlocuirea directă trebuie să respecte exact formula legii.

II.2.b Ecuație cu lege de compoziție

Căutăm x in M, deci x >= 0. Cerința este:

x * (9x) = x^2

Calculăm partea stângă:

x * (9x) = x + 9x - sqrt(x * 9x)

Pentru că x >= 0, avem:

sqrt(9x^2) = 3x

Deci:

x * (9x) = 10x - 3x = 7x

Ecuația devine:

7x = x^2
x^2 - 7x = 0
x(x - 7) = 0

Rezultă x = 0 sau x = 7, iar ambele aparțin lui M.

Răspuns final: x in {0, 7}.

Greșeală de evitat: sqrt(9x^2) nu se scrie +-3x aici. Cum x este în [0, +infty), rezultatul este 3x.

II.2.c Ecuație exponențială în legea de compoziție

Cerința este:

2^x * 2^(x+2) = 6^x

Aplicăm formula legii:

2^x * 2^(x+2)
= 2^x + 2^(x+2) - sqrt(2^x * 2^(x+2))

Simplificăm pe rând:

2^(x+2) = 4 * 2^x
sqrt(2^x * 2^(x+2)) = sqrt(2^(2x+2)) = 2^(x+1)

Atunci:

2^x * 2^(x+2)
= 2^x + 4 * 2^x - 2^(x+1)
= 5 * 2^x - 2 * 2^x
= 3 * 2^x

Ecuația devine:

3 * 2^x = 6^x
3 * 2^x = 2^x * 3^x

Împărțim la 2^x, care este pozitiv:

3 = 3^x
x = 1

Răspuns final: x = 1.

Verificare rapidă: pentru x = 1, avem 2 * 8 = 2 + 8 - sqrt(16) = 6, iar 6^1 = 6.

Rezolvare Subiectul al III-lea BAC 2025 Matematică M2 Științele Naturii

III.1.a Derivata funcției cu radical

Funcția este:

f(x) = 2sqrt(x) / (x^2 + x + 2), x in (0, +infty)

Notăm:

u(x) = 2sqrt(x)
v(x) = x^2 + x + 2

Derivatele sunt:

u'(x) = 1 / sqrt(x)
v'(x) = 2x + 1

Folosim regula câtului:

f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2

Înlocuim:

f'(x)
= [(1/sqrt(x))(x^2 + x + 2) - 2sqrt(x)(2x + 1)]
  / (x^2 + x + 2)^2

Aducem numărătorul la același factor:

(1/sqrt(x))(x^2 + x + 2) - 2sqrt(x)(2x + 1)
= [x^2 + x + 2 - 2x(2x + 1)] / sqrt(x)

Simplificăm:

x^2 + x + 2 - 4x^2 - 2x = -3x^2 - x + 2

Răspuns final:

f'(x) = (-3x^2 - x + 2) / [(x^2 + x + 2)^2 * sqrt(x)]

Pentru punctaj: trebuie să apară regula câtului, derivatele lui u și v, apoi forma finală simplificată.

III.1.b Asimptota orizontală spre +infty

Asimptota orizontală are forma y = L, unde:

L = lim_{x -> +infty} f(x)

Calculăm:

lim_{x -> +infty} 2sqrt(x) / (x^2 + x + 2)
= lim_{x -> +infty} 2x^(1/2) / x^2
= lim_{x -> +infty} 2 / x^(3/2)
= 0

Răspuns final: asimptota orizontală spre +infty este y = 0.

Verificare rapidă: numitorul crește ca x^2, iar numărătorul ca sqrt(x), deci fracția tinde la 0.

III.1.c Tangentă paralelă cu axa Ox

Tangenta la grafic este paralelă cu axa Ox atunci când panta este 0. Asta înseamnă:

f'(a) = 0

Din derivata de la punctul a, pentru a > 0, numitorul este pozitiv. Deci trebuie să anulăm numărătorul:

-3a^2 - a + 2 = 0

Schimbăm semnul:

3a^2 + a - 2 = 0

Factorizăm:

3a^2 + a - 2 = (3a - 2)(a + 1)

Rezultă:

a = 2/3 sau a = -1

Cum a in (0, +infty), păstrăm doar valoarea pozitivă.

Răspuns final: a = 2/3.

Greșeală de evitat: soluția a = -1 se elimină, deoarece nu aparține domeniului funcției.

III.2.a Integrală definită

Funcția este:

f(x) = x^3 + 3x + 3

Integrandul se simplifică:

f(x) - 3x - 3 = x^3 + 3x + 3 - 3x - 3 = x^3

Calculăm integrala:

int_0^2 x^3 dx = [x^4 / 4]_0^2
= 2^4 / 4 - 0
= 16 / 4
= 4

Răspuns final: int_0^2 (f(x) - 3x - 3) dx = 4.

Pentru punctaj: scrie întâi simplificarea integrandului. Apoi aplică formula primitivei și limitele.

III.2.b Integrală cu pătrat la numitor

Simplificăm expresia din numitor:

f(x) - x^3 = x^3 + 3x + 3 - x^3 = 3x + 3 = 3(x + 1)

Atunci:

1 / (f(x) - x^3)^2 = 1 / [9(x + 1)^2]

Integrala devine:

int_0^1 1 / [9(x + 1)^2] dx
= (1/9) int_0^1 (x + 1)^(-2) dx

O primitivă este:

int (x + 1)^(-2) dx = -1/(x + 1) + C

Aplicăm limitele:

(1/9) [-1/(x + 1)]_0^1
= (1/9)(-1/2 + 1)
= (1/9)(1/2)
= 1/18

Răspuns final: int_0^1 1 / (f(x) - x^3)^2 dx = 1/18.

Greșeală de evitat: nu pierde pătratul. Numitorul este (3x + 3)^2 = 9(x + 1)^2, nu 3(x + 1).

III.2.c Integrală cu ln x

Cerința este să determinăm m din egalitatea:

int_1^e [(f(x) - 3) / x^2] * ln x dx = (e^2 + m) / 4

Simplificăm:

f(x) - 3 = x^3 + 3x
(f(x) - 3) / x^2 = x + 3/x

Integrala devine:

int_1^e (x + 3/x) ln x dx

O separăm în două integrale:

int_1^e x ln x dx + int_1^e (3/x) ln x dx

Pentru prima integrală folosim integrarea prin părți:

int x ln x dx = (x^2/2)ln x - x^2/4 + C

Aplicăm limitele:

int_1^e x ln x dx
= [(x^2/2)ln x - x^2/4]_1^e
= e^2/4 + 1/4
= (e^2 + 1) / 4

Pentru a doua integrală:

int_1^e (3/x) ln x dx
= 3[(ln x)^2 / 2]_1^e
= 3/2

Adunăm:

(e^2 + 1)/4 + 3/2
= (e^2 + 1)/4 + 6/4
= (e^2 + 7)/4

Comparăm cu forma din enunț:

(e^2 + 7)/4 = (e^2 + m)/4

Răspuns final: m = 7.

Verificare rapidă: limitele importante sunt ln 1 = 0 și ln e = 1. Dacă le folosești greșit, rezultatul pentru m se schimbă.

Cum se punctează rezolvarea în barem

Baremul oficial pentru Varianta 1 precizează că orice soluție corectă primește punctajul corespunzător, chiar dacă metoda diferă de cea din barem. Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru pași parțiali corecți.

Practic, pentru fiecare subpunct de 5 puncte, gândește lucrarea în trei părți:

  1. Metoda: formula corectă, condiția de existență, regula de derivare, primitiva sau relația matricială.
  2. Calculul: înlocuirile și simplificările intermediare.
  3. Concluzia: răspunsul final scris clar.

Exemplu la I.3: chiar dacă rezultatul final este x in {0, 4}, rezolvarea completă trebuie să includă condițiile logaritmilor. Exemplu la II.1.c: dacă transformi corect ecuația matricială, dar greșești o înmulțire, poți păstra puncte de metodă.

Greșeli frecvente la această variantă

  • Lucrezi varianta greșită: M1 Mate-Info, M_tehnologic sau altă sesiune.
  • Copiezi doar baremul și îl tratezi ca rezolvare completă.
  • Omiți condițiile de existență la ecuația logaritmică de la I.3.
  • Numeri toate numerele de două cifre la I.4 și uiți condiția de număr par.
  • Scrii sqrt(9x^2) = +-3x la II.2.b, deși x >= 0.
  • La matrice, schimbi ordinea înmulțirii fără justificare.
  • La III.1.a, uiți derivata lui 2sqrt(x) sau factorul sqrt(x) din numitor.
  • La III.2.b, pierzi pătratul din numitor.
  • La III.2.c, uiți integrarea prin părți pentru x ln x sau valorile ln 1 = 0, ln e = 1.

Ce să recapitulezi după ce lucrezi subiectul 2025

După această variantă, merită să revii la capitolele care au produs cele mai multe locuri de pierdut puncte:

Dacă ai greșit aici Recapitulează
I.3 condiții de existență și ecuații logaritmice
II.1 determinant, inversă și ecuații matriceale
II.2 legi de compoziție și radicali pe intervale pozitive
III.1 regula câtului, limite și tangente
III.2 integrale definite, primitive și integrare prin părți

Checklist de final pentru o rezolvare barem-friendly:

  • Am scris varianta corectă: BAC 2025, Matematică M_șt-nat, Varianta 1.
  • Am lucrat toate cele 18 subpuncte în ordinea oficială.
  • Am pus condițiile înaintea calculelor la logaritmi, radicali și funcții cu domeniu restrâns.
  • Am scris formulele, nu doar rezultatele.
  • Am verificat răspunsurile finale în cerință.
  • Am lăsat concluziile vizibile, mai ales la punctele de tip „Arătați”.

Întrebări frecvente

Unde găsesc subiectul la Matematică M2 Științele Naturii BAC 2025?

Subiectul și baremul se verifică din arhiva oficială de pe subiecte.edu.ro, secțiunea Bacalaureat 2025, Subiecte și bareme. Pentru varianta tratată aici, caută proba E.c) Matematică M_șt-nat, Varianta 1, sesiunea iunie-iulie.

Care sunt răspunsurile finale la BAC 2025 Matematică M2 Științele Naturii?

Pe scurt: a_3=26, a=-2, x in {0,4}, 10 numere, AO=AC, BC=6, det A=2, B=A^{-1}, X=[[4,-8],[1,-1]], 1*4=3, x in {0,7}, x=1, asimptota y=0, a=2/3, integralele 4 și 1/18, iar m=7.

Este M2 același lucru cu M_șt-nat?

În căutările elevilor, M2 Științele Naturii este folosit pentru varianta de Matematică M_șt-nat. În documentele subiectului, formularea importantă este M_șt-nat, pentru filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii.

Câte puncte are fiecare subpunct la Matematică M2?

În această variantă, fiecare subpunct vizibil valorează 5 puncte. Subiectul I are 6 cerințe, Subiectul al II-lea are 6 subpuncte, iar Subiectul al III-lea are 6 subpuncte, în total 90 de puncte lucrate.

Cum se calculează nota după barem?

La cele 90 de puncte din cerințe se adaugă 10 puncte din oficiu. Nota finală se obține prin împărțirea punctajului total la 10.

Ce a picat la Subiectul al III-lea în 2025 la M2 Științele Naturii?

Subiectul al III-lea a avut o funcție cu radical pentru derivată, asimptotă orizontală și tangentă paralelă cu axa Ox, apoi o funcție polinomială pentru integrale definite, inclusiv o integrală cu ln x.

Pot folosi altă metodă decât cea din barem?

Da. Baremul precizează că orice soluție corectă primește punctajul corespunzător, chiar dacă metoda diferă. Important este ca metoda să fie matematic validă, iar pașii să ducă la același rezultat.

Surse și verificare

Verificarea articolului a urmărit ca toate cele 18 subpuncte să fie în ordinea oficială, cu rezultate conforme baremului: 26, -2, {0,4}, 10, AO=AC, BC=6, det A=2, B=A^{-1}, X=[[4,-8],[1,-1]], 3, {0,7}, 1, y=0, 2/3, 4, 1/18 și m=7.